高考数学总复习 第2单元 第11节 函数与方程课件 文 苏教版.ppt

第十一节函数与方程 基础梳理 1 函数零点的定义 1 把使函数y f x 的值为 的实数x称为函数y f x 的零点 2 函数y f x 的零点就是方程f x 0的 从图象上看 函数y f x 的零点就是它的图象与x轴交点的 2 函数零点的判定若函数y f x 在区间 a b 上的图象是一条不间断的曲线 且 则函数y f x 在区间 上有零点 即存在x0 a b 使得f x0 0 这个x0也就是f x 0的根 我们不妨把这一结论称为零点存在性定理 横坐标 0 解 a b f a f b 0 3 设x1 x2是实系数二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两实数根 根的分布与对应的y ax2 bx c图象以及其等价不等式组的关系如下表所示 f m 0 f m1 f m2 0或或 基础达标 1 f x x 的零点为 2 必修1p75例1改编 f x 2x2 4x a有两个不同的零点 则a的范围为 解析 令f x 0 则x2 4 x 2 2和2 解析 有两个不同的零点 则 0 16 4 2 a 0 a 2 2 3 三次方程x3 x2 2x 1 0在下列哪些连续整数之间没有根 填序号 2与 1之间 1与0之间 0与1之间 1与2之间 解析 设f x x3 x2 2x 1 f 2 f 1 0 f 1 f 0 0 f 1 f 2 0 f x 在 2 1 1 0 1 2 内均有根 故只有 符合题意 4 已知函数则函数f x 的零点个数为 5 已知方程x2 a 1 x a 2 0的根一个比1大 另一个比1小 则a的取值范围是 3 解析 1 由 2 由 x 0或x 4 所以函数f x 的零点个数为3 解析 函数f x x2 a 1 x a 2 的大致图象如图所示 于是有f 1 0 即1 a 1 a 2 0 解得a 1 1 经典例题 题型一求函数的零点 例1 求下列函数的零点 1 f x 4x 3 2 f x x2 2x 3 3 f x x 2 分析 根据函数零点与方程根之间的关系 求函数的零点 就是求相应方程的实数根 解 1 由4x 3 0 得x 即f x 4x 3的零点是 2 由 x2 2x 3 0 得x2 2x 3 0 解得x1 1 x2 3 即f x x2 2x 3的零点为 1 3 3 由 得x1 1 x2 3 即函数的两个零点分别为1 3 变式1 1求下列函数的零点 1 f x x3 1 2 解析 1 由x3 1 0 得x 1 所以f x x3 1的零点是1 2 由 得x1 2 1 所以的零点是 1 这是一个二重零点 题型二函数零点的存在性判断 例2 判断下列函数在给定的区间内是否存在零点 1 f x x2 3x 18 x 1 8 2 f x log2 x 2 x x 1 3 分析 利用函数零点的存在性定理或图象进行判断 解 1 方法一 f 1 12 3 1 18 200 f 1 f 8 0 f x x2 3x 18 x 1 8 存在零点 方法二 令f x 0 得x2 3x 18 0 x 1 8 x 6 x 3 0 x 6 1 8 x 3 1 8 f x x2 3x 18 x 1 8 有零点 2 方法一 f 1 log23 1 log22 1 0 f 3 log25 3 log28 3 0 f 1 f 3 0 故f x log2 x 2 x x 1 3 存在零点 方法二 设y log2 x 2 y x在同一直角坐标系中画出它们的图象 如图 由图象可以看出当1 x 3时 两图象有一个交点 因此f x log2 x 2 x x 1 3 存在零点 变式2 1若方程ax2 x 1 0在 0 1 内恰有一解 求a的取值范围 解析 由题意 设f x ax2 x 1 则f x 在 0 1 内恰有一个零点 画图易知有f 0 f 1 2 题型三函数与方程思想的综合应用 例3 对于函数f x 若存在x0 r 使f x0 x0成立 则称x0为f x 的不动点 已知函数f x ax2 b 1 x b 1 a 0 1 当a 1 b 2时 求函数f x 的不动点 2 若对任意实数b 函数f x 恒有两个相异的不动点 求a的取值范围 分析 函数的不动点 即方程f x x的根 函数有两个相异的不动点 即方程f x x有两个不相等的实根 解 1 f x x2 x 3 因为x0为f x 的不动点 因此有f x0 x02 x0 3 x0 解得x0 1或x0 3 所以3和 1为f x 的不动点 2 因为f x 恒有两个不动点 f x ax2 b 1 x b 1 x 即方程ax2 bx b 1 0有两个不等实根 由题设知b2 4a b 1 0 对任意b r恒成立 4a 2 4 4a 0 即a2 a 0 0 a 1 变式3 1已知函数f x x2 2ex m 1 g x x x 0 1 若g x m有零点 求m的取值范围 2 试确定m的取值范围 使得g x f x 0有两个相异实根 解析 1 方法一 由 等号成立的条件是x e 故g x 的值域是 2e 因而只需m 2e 则g x m就有零点 方法二 作出 x 0 的图象如图 可知若使g x m有零点 则只需m 2e 方法三 解方程g x m 得x2 mx e2 0 x 0 此方程有大于零的根 故等价于所以m 2e 2 若g x f x 0有两个相异的实根 即g x 与f x 的图象有两个不同的交点 作出 x 0 的图象如图 f x x2 2ex m 1 x e 2 m 1 e2 其对称轴为x e 开口向下 最大值为m 1 e2 故当m 1 e2 2e 即m e2 2e 1时 g x 与f x 有两个交点 即g x f x 0有两个相异实根 m的取值范围是m e2 2e 1 链接高考 2010上海改编 若x0是方程lgx x 2的解 则x0属于区间 0 1 1 1 25 1 25 1 75 1 75 2