安徽省合肥市高三数学第一次教学质量检测试题文

安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测数学文试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意结合交集的定义可得：.本题选择B选项.2. 已知函数则（ ）A. B. 2 C. 4 D. 11【答案】C【解析】由函数的解析式可得：，则.本题选择C选项.点睛：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值3. 已知为虚数单位，则（ ）A. 5 B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得：.本题选择A选项.4. 已知等差数，若，则的前7项的和等于（ ）A. 112 B. 51 C. 28 D. 18【答案】C【解析】由等差数列的通项公式结合题意有：，求解关于首项、公差的方程组可得：，则数列的前7项和为：.本题选择C选项.5. 某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】每小时60分钟内，新闻播放的时间为10分钟，由几何关系计算公式可得：此人能听到新闻的概率是.本题选择D选项.6. 函数的大致图像为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由函数的解析式可得：，函数为偶函数，关于轴对称，选项CD错误；当时，选项B错误；本题选择A选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项7. 执行如图程序框图，若输入的等于10，则输出的结果是（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】C【解析】结合流程图可知程序运行如下：首先初始化数据，此次循环满足，执行：，；此次循环满足，执行：，；此次循环满足，执行：，；此次循环满足，执行：，；此时的值出现循环状态，结合输入的值为，而可知最后一次循环时：执行：，；此次循环不满足，输出.本题选择C选项.点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节8. 将函数的图像先向右平移个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，得到的图像，则的可能取值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意结合辅助角公式有：，将函数的图像先向右平移个单位，所得函数的解析式为：，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，所得函数的解析式为：，而，据此可得：，据此可得：.本题选择D选项.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可得，该几何体是一个组合体，左右两端为半径为的半球，中间部分为底面半径为，高为的半个圆柱，其中球的表面积，半圆柱的侧面积，半圆柱裸露的面积，半球裸露的面积，综上可得，该几何体的表面积.本题选择C选项.10. 已知数列的前项和为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得：，.结合可得：，则数列是首项为，公比为的等比数列，据此有：，.本题选择A选项.11. 已知直线与曲线相切(其中为自然对数的底数)，则实数的值是（ ）A. B. C. 1 D. 2【答案】C【解析】由函数的解析式可得：，则切线的斜率：，令可得：，则函数在点，即处的切线方程为：，整理可得：,结合题中所给的切线的斜率有：.本题选择C选项.12. 如图，椭圆的焦点为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点.若是线段的三等分点，则的周长为（ ）A. 20 B. 10 C. D. 【答案】D【解析】由通径公式可得：，且，由中点坐标公式可得：，为线段的中点，结合中点坐标公式可得：，点在椭圆上，则：，由题意可知，则：，结合椭圆的性质可得：，由椭圆的定义可知，的周长为.本题选择D选项.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若实数满足，则的最小值为 _【答案】114. 已知平面向量满足，则在方向上的投影等于_【答案】【解析】由题意结合平面向量数量积的运算法则有：，据此可得，在方向上的投影等于.15. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦的长为2，则该双曲线的离心率等于_【答案】【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，一条渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，因为弦长为2，所以，所以16. 如图，已知平面四边形满足，将沿对角线翻折，使平面平面，则四面体外接球的体积为_【答案】【解析】由题意可知，ABD是等边三角形，找到ABD的中心，作平面，由题意可知，外接球的球心在直线上，由等边三角形的性质，有，利用面面垂直的性质可知：平面，则外接球的球心在直线上，结合可知点为外接球球心，外接球半径为ABD的外接圆圆心，设外接球半径为，则，外接球的体积.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在中，角所对的边分别为，.（1）求证：是等腰三角形；（2）若，且的周长为5，求的面积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）根据正弦定理边化角有，据此可得，则，所以是等腰三角形； （2）由（1）结合余弦定理可得：.的周长为，得.由面积公式可得的面积.试题解析：（1）根据正弦定理，由可得 ，即，故，由得，故，所以是等腰三角形； （2）由（1）知，.又因为的周长为，得.故的面积.18. 一家大型购物商场委托某机构调查该商场的顾客使用移动支付的情况.调查人员从年龄在内的顾客中，随机抽取了180人，调查结果如表：（1）为推广移动支付，商场准备对使用移动支付的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该商场预计有12000人购物，试根据上述数据估计，该商场当天应准备多少个环保购物袋？（2）某机构从被调查的使用移动支付的顾客中，按分层抽样的方式抽取7人作跟踪调查，并给其中2人赠送额外礼品，求获得额外礼品的2人年龄都在内的概率.【答案】(1)7000个；(2).【解析】试题分析：（1）由表可知，该商场使用移动支付的顾客的比例为，据此估计该商场要准备环保购物袋 个；（2）按年龄分层抽样时，抽样比例为，所以应从内抽取3人，从内抽取2人，从内抽取1人，从内抽取1人.列出所有可能的基本事件，结合古典概型计算公式可得获得额外礼品的2人年龄都在内的概率为.试题解析：（1）由表可知，该商场使用移动支付的顾客的比例为，若当天该商场有12000人购物，则估计该商场要准备环保购物袋 个；（2）按年龄分层抽样时，抽样比例为，所以应从内抽取3人，从内抽取2人，从内抽取1人，从内抽取1人.记选出年龄在的3人为，其他4人为，7个人中选取2 人赠送额外礼品，有以下情况：， ，.共有21种不同的情况，其中获得额外礼品的2人都在的情况有3种，所以，获得额外礼品的2人年龄都在内的概率为.19. 如图，在多面体中，是正方形，平面，平面，点为棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）若,求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）设与交于点，则为的中点，由三角形中位线的性质可得平面，由面面垂直的性质定理可得，则平面.最后利用面面平行的判断定理可得平面平面.（2）连接.由几何关系可证得AC平面，且垂足为， 则.试题解析：（1）证明：设与交于点，则为的中点，.平面，平面，平面.平面，平面，且，为平行四边形，.平面，平面，平面.又，平面平面.（2）连接.在正方形中，又平面，.,AC平面，且垂足为， ,三棱锥的体积为.20. 已知抛物线上一点的纵坐标为4，且点到焦点的距离为5.（1）求抛物线的方程；（2）设斜率为的两条平行直线分别经过点和，如图.与抛物线交于两点，与抛 物线交两点.问：是否存在实数，使得四边形的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）由抛物线定义知，点到抛物线的准线的距离为5，据此计算可得，则抛物线的方程为.（2）设直线的方程为：.联立直线方程与抛物线方程有，结合弦长公式可得.同理可得，利用平行线直接距离公式可得四边形的高为，结合面积公式可得关于斜率的方程求解方程可得满足条件的的值为.试题解析：（1）由抛物线定义知，点到抛物线的准线的距离为5.抛物线的准线为，解得，抛物线的方程为.（2）由已知得，直线.由 消去得， 这时，恒成立，.同理，直线，由 消去得， 由得，又直线间的距离，则四边形的面积.解方程得，有唯一实数解2 (满足大于1)，满足条件的的值为.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式21. 已知函数 .（1）求函数的单调区间；（2）当时，求证：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）函数的定义域为，且.原问题转化为考查二次函数的性质可得：当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）当时，原问题等价于.构造函数，则.结合导函数的性质可知当时，取得最大值，即，成立.试题解析：（1）的定义域为，.考虑.当，即时，恒成立，在上单调递增；当，即或时，由得.若，则恒成立，此时在上单调递增；若，则，此时或； .综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）当时，.令，.当时，；当时， 在上单调递增，在上单调递减，即当时，取得最大值，故，即成立，得证.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系中，曲线 (为参数)，在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1）求曲线的普通方程；（2）若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求的最小值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）的极坐标方程即，利用极坐标方程与普通方程的关系可得曲线的普通方程为. （2）由（1）可知，圆的圆心为，半径为1. 设曲线上的动点，由动点在圆上可得：.由三角函数的性质可得，则的最小值为.试题解析：（1）由得：.因为，所以， 即曲线的普通方程为. （2）由（1）可知，圆的圆心