2020届高三第一次调研测试数学试题含附加题pdf版含答案

高三上学期高三上学期期末联考期末联考 数学试数学试卷卷 一 填空题一 填空题 1 已知集合 A 1 0 2 B 1 1 2 则 A B 2 已知复数 z 满足 1 i z 2i 其中 i 是虚数单位 则 z 的模为 3 某校高三数学组有 5 名党员教师 他们一天中在 学习强国 平台上的学习积分依次为 35 35 41 38 51 则这 5 名党员教师学习积分的平均值为 4 根据如图所示的伪代码 输出的 a 的值为 5 已知等差数列 an 的公差 d 不为 0 且 a1 a2 a4 成等比数列 则 1 a d 的值为 6 将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次 则恰好出现 2 次正面向上的概率为 7 在正三棱柱 ABC A1B1C1 中 AA1 AB 2 则三枝锥 A1 BB1C1 的体积为 8 已如函数 若当 x 6 时 函数 f x 取得最大值 则 的最小值为 9 已 知 函 数 f x m 2 x2 m 8 x m R 是 奇 函 数 若 对 于 任 意 的 x R 关 于 x 的 不 等 式 f x 2 1 f a 恒成立 则实数 a 的取值范围是 10 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 A B 分别在双曲线 C x2 y 2 1 的两条渐近线上 且 双曲线 C 经过线段 AB 的中点 若点 A 的横坐标为 2 则点 B 的横坐标为 11 尽管目前人类还无法准确预报地震 但科学家通过研究 已经对地震有所了解 例如 地震时释 放出的能量 E 单位 焦耳 与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE 4 8 1 5M 2008 年 5 月汶川 发生里氏 8 0 级地震 它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6 0 级地震释放出来 能量的 倍 12 已知 ABC 的面积为 3 且 AB AC 若 2CDDA 则 BD 的最小值为 13 在平面直角坐标系 xOy 中 已知圆 C1 x2 y 2 8 与圆 C2 x2 y 2 2x y a 0 相交于 A B 两点 若圆 C1 上存在点 P 使得 ABP 为等腰直角三角形 则实数 a 的值组成的集合为 14 已知函数若关于 x 的方程 f 2 x 2af x 1 a2 0 有五个不相等 的实数根 则实数 a 的取值范围是 二 解答题二 解答题 15 本小题满分 14 分 如图 在三棱锥 P ABC 中 PA 平面 ABC PC AB D E 分别为 BC AC 的中点 求证 1 AB 平面 PDE 2 平面 PAB 平面 PAC 16 本小题满分 14 分 在 ABC 中 已知 AC 4 BC 3 cosB 1 4 1 求 sin A 的值 2 求 BA BC的值 17 本小题满分 14 分 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 椭圆 E 22 22 1 0 xy ab ab 的焦距为 4 两条准线间的距 离为 8 A B 分别为椭圆 E 的左 右顶点 1 求椭圆 E 的标准方程 2 已知图中四边形 ABCD 是矩形 且 BC 4 点 M N 分别在边 BC CD 上 AM 与 BN 相交于第一象限内的点 P 若 M N 分别是 BC CD 的中点 证明 点 P 在椭圆 E 上 若点 P 在椭圆 E 上 证明 BM CN 为定值 并求出该定值 18 本小题满分 16 分 在平面内 将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度 这样的运动叫做图形的旋转 如图 小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标 他将边长为 a 的正三角形 ABC 绕其中心 O 逆时针旋 转 到三角形 A1B1C1 且 顺次连结 A A1 B B1 C C1 A 得到六边形徽标 AA1BB1CC1 1 当 6 时 求六边形徽标的面积 2 求六边形微标的周长的最大值 19 本小题满分 16 分 已知数列 an 满足 a1 1 且当 n 2 时 1 若 1 证明 数列 a2n 1 是等差数列 2 若 2 设 求数列 bn 的通项公式 设 证明 对于任意的 p m N 当 p m 都有 p Cm 20 本小题满分 16 分 设函数 其中 e 为自然对数的底数 1 当 a 0 时 求函数 f x 的单调减区间 2 已知函数 f x 的导函数 f x 有三个零点 x1 x2 x3 x1 x2 x 3 求 a 的取值范围 若 m1 m2 m1 m2 是函数 f x 的两个零点 证明 x1 m1 x1 1 2121 选做题 本题包括A A B B C C 三小题 请选定其中两题 并在答题卡相应的答题区域内作答 若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A A 选修4 2 矩阵与变换 本小题满分10 分 已知 向量是矩阵的属于特征值3 的一个特征向量 1 求矩阵 2 若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P 2 2 求点 P 的坐标 B B 选修4 4 坐标系与参数方程 本小题满分10 分 在平面直角坐标系xOy中 已知直线l的参数方程 t 为参数 椭圆C 的 参数方程为 为参数 求椭圆C 上的点到直线 l 的距离的最大值 C C 选修4 5 不等式选讲 本小题满分10 分 已知a b c都是正实数 且 证明 2222 本小题满分10 分 如图 在直四棱柱中ABCD A1B1C1D1中 AD BC AB AD AB AD AA1 2BC 2 1 求二面角C1 B1C D1的余弦值 2 若点P为棱AD的中点 点Q在棱AB上 且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为 4 15 15 求AQ 的长 2323 本小题满分10 分 一只口袋装有形状 大小完全相同的5 只小球 其中红球 黄球 绿球 黑球 白球各1 只 现从口袋中先后有放回地取球2n次 且每次取1 只球 1 当n 3时 求恰好取到3 次红球的概率 2 随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数 随机变量 求 Y 的数学期望 用 n 表示 数学参考答案与评分细则第 1页 共 16页 数数学学学学科科参参考考答答案案及及评评分分建建议议 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共计 70 分 1 1 已知集合 则 答案 2 已知复数满足 其中 是虚数单位 则的模为 答案 3 3 某校高三数学组有 5 名党员教师 他们一天中在 学习强国 平台上的学习积分依次为 则这 5 名党员教师学习积分的平均值为 答案 40 4 4 根据如图所示的伪代码 输出的a的值为 答案 11 5 5 已知等差数列的公差不为 0 且成等比数列 则的值为 答案 1 6 6 将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次 则恰好出现 2 次正面向上的概率为 答案 7 7 在正三棱柱中 则三棱锥的体积为 答案 8 8 已知函数 若当时 函数取得最大值 则的最小值 为 答案 5 9 9 已知函数是奇函数 若对于任意的 关于的不等 式恒成立 则实数的取值范围是 a 1 i 1 Whilei 4 a a i i i 1 End While Printa 第 4 题 数学参考答案与评分细则第 2页 共 16页 答案 1 10 0 在平面直角坐标系中 已知点A B分别在双曲线的两条渐近线上 且 双曲线经过线段AB的中点 若点的横坐标为 2 则点的横坐标为 答案 1 11 1 尽管目前人类还无法准确预报地震 但科学家通过研究 已经对地震有所了解 例如 地震时释放出的能量E 单位 焦耳 与地震里氏震级M之间的关系为 2008 年 5 月汶川发生里氏 8 0 级地震 它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生 里氏 6 0 级地震释放出来能量的 倍 答案 1000 1 12 2 已知 ABC的面积为 3 且 若 则的最小值为 答案 1 13 3 在平面直角坐标系中 已知圆与圆相交于 A B两点 若圆上存在点 使得 ABP为等腰直角三角形 则实数 的值组成 的集合为 答案 1 14 4 已知函数若关于的方程有五个不相等 的实数根 则实数的取值范围是 答案 二 解答题 本大题共 6 小题 共计 90 分 1 15 5 本小题满分 14 分 如图 在三棱锥中 平面 分别为的中点 第 15 题 数学参考答案与评分细则第 3页 共 16页 求证 1 AB 平面 2 平面平面 证 1 在中 因为分别为的中点 所以AB DE 3 分 又因为平面 平面 所以AB 平面 6 分 2 因为平面 平面 所以 8 分 又因为 平面 所以平面 11 分 因为平面 所以平面平面 14 分 1 16 6 本小题满分 14 分 在 ABC中 已知 1 求的值 2 求的值 解 1 在 ABC中 因为 由 得 2 分 又 由正弦定理 得 4 分 所以 6 分 2 方法一 由余弦定理 得 8 分 数学参考答案与评分细则第 4页 共 16页 即 解得或 舍去 11 分 所以 14 分 方法二 在 ABC中 由条件得 所以 所以 所以 8 分 所以 10 分 由正弦定理 得 所以 12 分 所以 14 分 1 17 7 本小题满分 14 分 如图 在平面直角坐标系中 椭圆的焦距为 两条准线间的 距离为 分别为椭圆的左 右顶点 1 求椭圆的标准方程 2 已知图中四边形是矩形 且 点分别在边上 与 相交于第一象限内的点 若分别是的中点 证明 点在椭圆上 若点在椭圆上 证明 为定值 并求出该定值 解 1 设椭圆的焦距为 数学参考答案与评分细则第 5页 共 16页 则由题意 得解得 所以 所以椭圆的标准方程为 3 分 2 由已知 得 直线的方程为 直线的方程为 联立解得即 6 分 因为 所以点在椭圆上 8 分 解法一 设 则 直线的方程为 令 得 10 分 直线的方程为 令 得 12 分 所以 14 分 数学参考答案与评分细则第 6页 共 16页 第 18 题 O 解法二 设直线的方程为 令 得 设直线的方程为 令 得 10 分 而 12 分 设 则 所以 所以 14 分 1 18 8 本小题满分 16 分 在平面内 将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度 这样的运动叫做图形的旋转 如图 小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标 他将边长为的 正三角形绕其中心逆时针旋转到三角形 且 顺次连结 得到 六边形徽标 1 当时 求六边形徽标的面积 2 求六边形徽标的周长的最大值 解 连结 在正三角形中 2 分 当正三角形绕中心逆时针旋转到正三角形位置时 有 数学参考答案与评分细则第 7页 共 16页 所以 所以 4 分 1 当时 设六边形徽标的面积为 则 6 分 答 当时 六边形徽标的面积为 9 分 2 设六边形徽标的周长为 则 11 分 13 分 所以当 即时 取最大值 答 六边形徽标的周长的最大值为 16 分 1 19 9 本小题满分 16 分 已知数列满足 且当时 1 若 证明 数列是等差数列 2 若 设 求数列的通项公式 数学参考答案与评分细则第 8页 共 16页 设 证明 对于任意的 当时 都有 解 1 时 由 得 2 分 所以 即 常数 所以数列是首项为 1 公差为 1 的等差数列 4 分 2 时 时 时 所以 6 分 所以 又 所以 8 分 又 所以 常数 所以数列是首项为 公比为的等比数列 所以数列的通项公式为 10 分 由 知 所以 所以 12 分 所以 14 分 当时 所以 数学参考答案与评分细则第 9页 共 16页 当时 所以 当时 所以 所以若 则 16 分 2 20 0 本小题满分 16 分 设函数 其中 为自然对数的底数 1 当时 求函数的单调减区间 2 已知函数的导函数有三个零点 求的取值范围 若 是函数的两个零点 证明 解 1 时 其定义域为 令 得 所以函数的单调减区间为 3 分 2 设 则导函数有三个零点 即函数有三个非零的零点 又 若 则 所以在上是减函数 至多有 1 个零点 不符合题意 所以 5 分 令 列表如下 数学参考答案与评分细则第 10页 共 16页 所以即解得 8 分 又 所以在上有且只有 1 个非零的零点 因为当时 且 又函数的图象是连续不间断的 所以在和上各有且只有 1 个非零的零点 所以实数的取值范围是 10 分 证法一 由 得 设 且 所以 又因为 所以 所以或时 时 由 知 因为 所以 所以 极大值极小值 数学参考答案与评分细则第 11页 共 16页 14 分 所以成立 16 分 证法二 依题设知 由 知 设 由 知 所以 在上单调递减 12 分 又由 得 即 所以 又 故 于是 即 又 所以 14 分 即 又 故 又 所以 即 所以 得证 16 分 2 21 1 选做题 本题包括 A A B B C C三小题 请选定其中两题 并在答题卡相应的答题区域内作答 若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A A 选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分 10 分 已知 向量是矩阵的属于特征值 3 的一个特征向量 1 求矩阵 数学参考答案与评分细则第 12页 共 16页 2 若点在矩阵对应的变换作用下得到点 求点的坐标 解 1 因为向量是矩阵的属于特征值 3 的一个特征向量 所以 即 所以解得 所以 5 分 2 设 则 所以解得 所以点的坐标为 10 分 B B 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在平面直角坐标系中 已知直线 的参数方程 t为参数 椭圆C的 参数方程为 为参数 求椭圆C上的点到直线 的距离的最大值 解 方法一 直线 的普通方程为 2 分 设 则点到直线 的距离 8 分 当 即 时 10 分 方法二 直线 的普通方程为 数学参考答案与评分细则第 13页 共 16页 椭圆C的普通方程为 4 分 设与直线 平行的直线方程为 由消 得 令 得 8 分 所以直线与椭圆相切 当时 点到直线 的距离最大 10 分 C C 选修 4 5 不等式选讲 本小题满分 10 分 已知都是正实数 且 证明 1 2 证 1 因为都是正实数 所以 又因为 所以 即 得证 4 分 2 因为都是正实数 所以 6 分 由 得 所以 又因为 所以 得证 10 分 必做题 第 22 23 题 每小题 10 分 共计 20 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出 数学参考答案与评分细则第 14页 共 16页