基于小波理论的沪深股指Hurst指数研究

基于小波理论的沪深股指Hurst指数研究 【摘要】在分形市场假说（FMH）的相关研究中，单重分形分析的方法众多，鉴于分形与小波在尺度上具有很多自相似，因此，小波理论被认为是分析、刻画分形的一个有力工具。本文基于小波理论研究了沪深股指的Hurst指数，研究结果显示：中国股票市场在该时段具有正持续性，该方法在算法复杂度上具有优势，而具体选用何种方法还需要根据不同的研究目的和要求。 【关键词】小波理论；Hurst指数；股指 2013年的诺贝尔经济学奖颁奖“平行大于互补”，同时颁给了对资本市场价格波动持不同看法的两位经济学家：Eugene Fama教授以及Robert J. Shiller教授，颁奖结果说明作为代表最高水平的金融学研究是有分歧的，表明学术界现在对于金融问题有争论，也表明对经济理论上的开放态度。 客观世界是复杂的，也可以说世界的本质是非线性的，研究孤立子理论、混沌学、分形理论已经成为非线性科学的三大理论前沿。分形理论从认识论的角度来讲，是一种生成论的自然观，已经证明：任何复杂的事物形态原则上都可以通过迭代法生成，随着分形理论的不断发展，在众多领域得到了广泛应用。经济系统本质上是一个复杂系统，而复杂系统的模型研究最初是由分形开展而来。上世纪90年代初，Edgar E. Peters正式提出分形市场假说（Fractal Market Hypothesis，FMH），该理论是迄今有效市场假说（EMH）最好的替代理论之，它较后者更能广泛且准确地刻画市场。 有关分形市场假说（FMH）的研究最早始于单重分形分析，而在单重分形分析中较常采用重标极差分析法R/S，标准消除趋势波动分析法DFA3以及频率谱分析法。与频率谱分析法类似，应用小波理论来研究分形不需要再对序列进行分割，因为通过小波变换即可得到不同尺度上用于构建结构函数所需要的元素；此外，分形既然在不同尺度上具有自相似性，那么应用“显微镜”式的小波分析在不同放大倍数（尺度）的镜片下来考察系统的分形特性最自然不过了。将小波理论与各种非线性的研究方法技术相结合，可以为分析和解决非线性问题提供一种新的思路与方法。 下面介绍基于小波理论的Hurst指数计算过程如下： 假设时间序列X（t）满足自相似性，且SX（）1/|，其小波变换系数为： d（m）k=x（t），mk（t）=2m2x（t）（2mt-k）dt （1） 其中，基本小波（t）的正规性为R（即（t）的前R阶原点矩为0）。若02R，则小波变换系数d（m）k满足以下关系： 1.d（m）k的均值为零： E（d（m）k）=0；（2） 2.d（m）k的方差为： 2m=1NmNmk=1d（m）k-E（d（m）k）2=1NmNmk=1（d（m）k）2=2m?20。（3） 这样我们可以对X（t）做M个层次的小波分解，得到M个方差，由2m与2m的双对数关系式，可通过拟合来估计斜率： log22m=m+log220.（4） 并由以下关系式来计算出Hurst指数： H=（-1）/2.（5） 由于重标极差法R/S与标准消除趋势波动法DFA都需要对所分析的时间序列进行长度连续变化的分割，不难计算两者的时间复杂度为O（n2），频率谱法的时间复杂度为O（n），小波分析法由于涉及到二进制离散小波变换，所以其时间复杂性与二进制离散小波变换相同，也为O（n）。因此，基于傅立叶变换的频率谱法与基于离散小波变换的小波分析法在计算速度上具有优势。虽然频率谱法与小波分析法更加快速，但是两者在分析过程中都需要找出无标度区间之后才能进行拟合，而R/S与DFA在分析者中则无需寻找出无标度区间。 以1990年12月19日至2011年6月15日间中国上证综指（SHCOMP）与1991年4月3日至2011年6月15日间深证成指（SZ）日收盘数据为研究对象进行实证分析，数据来源于华泰联合证券行情系统。在小波分析法中，原指数序列也不需要转换为对数收益序列。首先选择合适的小波对原指数序列进行二进制离散小波变换，通过观察各尺度小波系数方差与尺度的双对数图，找出具有较好线性关系的无标度区间，最后通过拟合求得参数，再代入公式（5）可以计算出Hurst指数。研究中小波函数选择haar小波，下面是两市各尺度小波系数方差与尺度的双对数图。 从表1可以看出：四种方法计算的Hurst指数都大于0.5，说明中国股市具有正持续性的；R/S分析法与小波分析法显示出两市的正持续性差别很小，但DFA和频率谱法则反映出深证成指较上证综指具有更大的正持续性。以上研究应用四种不同计算中国两个股市的Hurst指数，研究结果验证了中国股市存在着长期记忆性，两市指数是有偏的随机游走，因此可以认为中国股市并没有达到弱式有效。此外，在实际计算的过程中，若无标