Hardy-Littlewood-极大函数

Hardy-Littlewood 极大函数1.1 恒等逼近令为上的可积函数，对于，定义。当，在中收敛到，若，则，所以通过控制收敛定理，因为，对于有逐点极限由此可得是一个恒等逼近。定理1.1 令为恒等逼近.，则。若，且均匀，若。证明：因为，。给定，取，若，有给定，如果足够小，则因此，通过Minkowskis 不等式作为该定理的结果，我们可以知道存在一序列，根据，这样，且因此，若存在，一定几乎处处等于。1.2 弱型不等式与几乎处处收敛 令和为测度空间，令是从到可测函数（从到）空间的算子。是弱型，若如果这是从到的有界算子，则其是弱的。如果从到是有界的，则其是强的。 若是强的，则其是弱的。若令，则当且是恒等的, 弱不等式是经典的切比雪夫不等式。下面的结果给出了弱不等式和几乎处处收敛的关系，其中我们假设。定理1.2 为上的一族线性算子，定义 若是弱，则集合在中是闭集。 称为中的极大算子。 证明： 是在中收敛于的一族函数序列，几乎处处收敛于。7当，上式趋近于0。因而，通过相同的方法，我们同样可以证明集合在中是闭集。足以得到： 1.3 Marcinkiewicz 插值定理 是个可测空间，是个可测函数。我们称函数，为的分布函数（与有关）。命题1.3 令，可微且递增，这样 。则左边等式等价于,改变积分顺序。特别是，则 由于弱不等式测量分布函数的大小，范数的表示适合证明接下来的插值定理，这让我们从弱不等式推导出的有界性。它比给线性的更适用与一类算子（注：极大算子是非线性的）：从可测函数的向量空间到可测函数的算子是次线性的，若窗体顶端，定理1.4(Marcinkiewicz 插值). 令和是可测空间，令是从到可测函数的次线性算子，其是弱，强的。则是强，。证明：给定函数，对于任一个，将分解为，；常数下面将给定。 则，。进一步地，所以。我们考虑两种情况。情况一：，选取,有。则。通过弱型不等式，。；因此，情况二：，有一对不等式，可以得出可以更精确地写出强范数不等式：（1.2） ，其中，。当 其是常数;当 ，足以考虑使得 然后简化。. 1.4. Hady-Littlewood 极大函数 令为以原点为圆心，半径为的欧几里得球。定义在上的一个局部可积函数的Hady-Littlewood 极大函数为（1.3） 有时，我们用立方体代替球体来定义极大函数。若是立方体，定义：（1.4） 当，与一致；若则存在常数和，只与有关，这样（1.5） 由不等式（1.5）可知，两个算子与基本可以互换，根据情况选择合适的。事实上，我们可以定义一个更一般的极大函数（1.6） 上确界在所有含的立方体上取到，再而, 逐点等价于.和之间的区别有时通过参照前者作为中心，后者作为非中心的极大算子.或者,我们可以定义在球上的非中心函数，而不是在立方体中。定理1.5 算子是弱（1,1）型，强（p,p）型,注：结果同样对于,适用。通过定义我们可以直接得出，我们只需证明是弱型的。首先证明的情况，证明前需要引入引理1.6。引理1.6 为上的集合族，为其中的一个紧集，则存在一个有限子集有成立。命题1.7 是正的径向递减的可积函数，则证明：，有， 因为 。推论1.8： 若几乎处处成立，是