新（全国甲卷）高考数学大二轮总复习与增分策略 专题四 数列、推理与证明 第2讲 数列的求和问题课件 理.ppt

第2讲数列的求和问题 专题四数列 推理与证明 栏目索引 高考真题体验 1 2 1 2016 课标全国甲 sn为等差数列 an 的前n项和 且a1 1 s7 28 记bn lgan 其中 x 表示不超过x的最大整数 如 0 9 0 lg99 1 1 求b1 b11 b101 解设 an 的公差为d 据已知有7 21d 28 解得d 1 所以 an 的通项公式为an n b1 lg1 0 b11 lg11 1 b101 lg101 2 解析答案 2 求数列 bn 的前1000项和 1 2 所以数列 bn 的前1000项和为1 90 2 900 3 1 1893 解析答案 1 2 2 2016 山东 已知数列 an 的前n项和sn 3n2 8n bn 是等差数列 且an bn bn 1 1 求数列 bn 的通项公式 解由题意知 当n 2时 an sn sn 1 6n 5 当n 1时 a1 s1 11 所以an 6n 5 设数列 bn 的公差为d 可解得b1 4 d 3 所以bn 3n 1 解析答案 1 2 又tn c1 c2 cn 得tn 3 2 22 3 23 n 1 2n 1 2tn 3 2 23 3 24 n 1 2n 2 两式作差 得 tn 3 2 22 23 24 2n 1 n 1 2n 2 所以tn 3n 2n 2 解析答案 考情考向分析 返回 高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现 通过分组转化 错位相减 裂项相消等方法求一般数列的和 体现转化与化归的思想 热点一分组转化求和 有些数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将数列通项拆开或变形 可转化为几个等差 等比数列或常见的数列 即先分别求和 然后再合并 热点分类突破 例1等比数列 an 中 a1 a2 a3分别是下表第一 二 三行中的某一个数 且a1 a2 a3中的任何两个数不在下表的同一列 1 求数列 an 的通项公式 解当a1 3时 不合题意 当a1 2时 当且仅当a2 6 a3 18时 符合题意 当a1 10时 不合题意 因此a1 2 a2 6 a3 18 所以公比q 3 故an 2 3n 1 n n 解析答案 2 若数列 bn 满足 bn an 1 nlnan 求数列 bn 的前n项和sn 解析答案 思维升华 解因为bn an 1 nlnan 2 3n 1 1 nln 2 3n 1 2 3n 1 1 n ln2 n 1 ln3 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 所以sn 2 1 3 3n 1 1 1 1 1 n ln2 ln3 1 2 3 1 nn ln3 当n为偶数时 解析答案 思维升华 当n为奇数时 思维升华 思维升华 在处理一般数列求和时 一定要注意使用转化思想 把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和 在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列 哪些项构成等比数列 清晰正确地求解 在利用分组求和法求和时 由于数列的各项是正负交替的 所以一般需要对项数n进行讨论 最后再验证是否可以合并为一个公式 跟踪演练1 2015 湖南 设数列 an 的前n项和为sn 已知a1 1 a2 2 且an 2 3sn sn 1 3 n n 1 证明 an 2 3an 证明由条件 对任意n n 有an 2 3sn sn 1 3 因而对任意n n n 2 有an 1 3sn 1 sn 3 两式相减 得an 2 an 1 3an an 1 即an 2 3an n 2 又a1 1 a2 2 所以a3 3s1 s2 3 3a1 a1 a2 3 3a1 故对一切n n an 2 3an 解析答案 2 求sn 解析答案 于是数列 a2n 1 是首项a1 1 公比为3等比数列 数列 a2n 是首项a2 2 公比为3的等比数列 因此a2n 1 3n 1 a2n 2 3n 1 于是s2n a1 a2 a2n a1 a3 a2n 1 a2 a4 a2n 1 3 3n 1 2 1 3 3n 1 解析答案 综上所述 热点二错位相减法求和 错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法 这种方法主要用于求数列 an bn 的前n项和 其中 an bn 分别是等差数列和等比数列 例2已知数列 an 的前n项和为sn 且有a1 2 3sn 5an an 1 3sn 1 n 2 1 求数列 an 的通项公式 解3sn 3sn 1 5an an 1 n 2 解析答案 2 若bn 2n 1 an 求数列 bn 的前n项和tn 解bn 2n 1 22 n tn 1 21 3 20 5 2 1 2n 1 22 n tn 12 2n 3 22 n 解析答案 思维升华 思维升华 1 错位相减法适用于求数列 an bn 的前n项和 其中 an 为等差数列 bn 为等比数列 2 所谓 错位 就是要找 同类项 相减 要注意的是相减后得到部分 求等比数列的和 此时一定要查清其项数 3 为保证结果正确 可对得到的和取n 1 2进行验证 跟踪演练2已知正项数列 an 的前n项和sn满足 4sn an 1 an 3 n n 1 求an 解析答案 化简得 an an 1 an an 1 2 0 an 是正项数列 an an 1 0 an an 1 2 0 对任意n 2 n n 都有an an 1 2 解得a1 3或a1 1 舍去 an 是首项为3 公差为2的等差数列 an 3 2 n 1 2n 1 2 若bn 2n an 求数列 bn 的前n项和tn 解由已知及 1 知 bn 2n 1 2n tn 3 21 5 22 7 23 2n 1 2n 1 2n 1 2n 2tn 3 22 5 23 7 24 2n 1 2n 2n 1 2n 1 得 tn 3 21 2 22 23 24 2n 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 解析答案 热点三裂项相消法求和 1 求数列 an 的通项公式 解析答案 解设等差数列 an 的公差为d a1 2 d 2 此时an 2 2 n 1 2n 解析答案 思维升华 tn b1 b2 b3 bn 为满足题意 必须使2 2 5 3 思维升华 思维升华 1 裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an bn k bn k 1 k n 的形式 从而达到在求和时某些项相消的目的 在解题时要善于根据这个基本思想变换数列 an 的通项公式 使之符合裂项相消的条件 2 常用的裂项公式 a 8b 9c 10d 11 解析答案 解析设数列 an 的首项为a1 公差为d m 9 a 最小值63b 最大值63c 最小值31d 最大值31 解析答案 返回 log22 log23 log23 log24 log2 n 1 log2 n 2 故使sn 5成立的正整数n有最小值63 返回 1 2 高考押题精练 押题依据数列的通项以及求和是高考重点考查的内容 也是 考试大纲 中明确提出的知识点 年年在考 年年有变 变的是试题的外壳 即在题设的条件上有变革 有创新 但在变中有不变性 即解答问题的常用方法有规律可循 1 解析 押题依据 答案 1 2 1 2 押题依据 2 已知数列 an 的前n项和sn满足sn a sn an 1 a为常数 且a 0 且4a3是a1与2a2的等差中项 1 求 an 的通项公式 押题依据错位相减法求和是高考的重点和热点 本题先利用an sn的关系求an 也是高考出题的常见形式 返回 解析答案 1 2 解 1 当n 1时 s1 a s1 a1 1 所以a1 a 当n 2时 sn a sn an 1 sn 1 a sn 1 an 1 1 故 an 是首项a1 a 公比为a的等比数列 所以an a an 1 an 故a2 a2 a3 a3 由4a3是a1与2a2的等差中项 可得8a3 a1 2a2 即8a3 a 2a2 解析答案 1 2 因为a 0 整理得8a2 2a 1 0 即 2a