数列中的高考热点问题.doc

数列中的高考热点问题一、数列求通项常见的考查形式是：（1）公式法（2）对于和的关系转化：，注意和的形式：Eg: （2013年山东高考）设等差数列的前项和为,且,()求数列的通项公式()设数列满足 ,求的前项和.二、数列求和常见查考的方式：（1）公式法 (2)裂项求和 （3）错位相消求和特别注意广义上的裂项考查： Eg:数列满足，且 =2，则的最小值为 (提示：)三、等差、等比数列的证明Eg1.设数列中的每一项都不为0.证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有（等差中项法）Eg2.（2013年北京高考）2.给定数列.对,该数列前项的最大值记为,后项的最小值记为,.()设数列为3,4,7,1,写出,的值;()设()是公比大于1的等比数列,且.证明:,是等比数列;()设,是公差大于0的等差数列,且,证明:,是等差数列.（新数列的等差、等比证明）Eg3.已知数列的各项均为正数，数列，满足， （1）若数列为等比数列，求证：数列为等比数列；（2）若数列为等比数列，且，求证：数列为等比数列解：（1）因为数列为等比数列，所以（为常数）， 所以为常数，所以数列为等比数列；（2）因为数列是等比数列，所以（为常数）， 所以则 所以，即 因为，所以，则 所以； 所以，即因为数列是等比数列，所以，即，把代入化简得，所以数列为等比数列四、由等差、等比数列性质类比得到的新概念数列等差等比数列的外延拓展：若数列，其中为等差数列，则数列隔项成等差数列.若数列，其中为等比数列，则数列隔项成等比数列.Eg1.若数列满足：对于，都有（常数），则称数列是公差为的准等差数列（1）若求准等差数列的公差，并求的前项的和；（2）设数列满足：，对于，都有求证：为准等差数列，并求其通项公式；设数列的前项和为，试研究：是否存在实数，使得数列有连续的两项都等于?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由解：（1）数列 为奇数时，为偶数时，准等差数列的公差为，； （2）（）（） （）（）-（）得（）所以，为公差为2的准等差数列当为偶数时，当为奇数时，解法一：；解法二：； 解法三：先求为奇数时的，再用（）求为偶数时的同样给分解：当为偶数时，；当为奇数时，当为偶数时，得由题意，有；或所以，Eg2.已知数列的奇数行项是公差为的等差数列，偶数项是公差为的等差数列，是数列的前项和，（1）若，求；（2）已知，且对任意,有恒成立，求证：数列是等差数列；（3）若，且存在正整数、，使得求当最大时，数列的通项公式.Eg3.设数列的前项积为；数列的前项和为（1） 设.证明数列成等差数列；求证数列的通项公式；（2） 若恒成立，求实数的取值范围.五、数列中的解不等方程问题及与不等式相结合恒成立（或有解）的问题Eg1.已知数列an满足：（1）求数列an的通项公式；（2）当时，是否存在互不相同的正整数使得成等比数列？若存在，给出满足的条件；若不存在，说明理由；（3）设S为数列an的前n项和，若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围。 六、数列中的等式恒成立问题Eg1.已知各项均为正数的两个无穷数列、满足（1）当数列是常数列（各项都相等的数列），且时，求数列的通项公式；（2）设、都是公差不为0的等差数列，求证：数列有无穷多个，而数列惟一确定；（3）设，求证：七、由等差、等比数列生成得到的新数列Eg1.将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：已知表中的第一列数构成一个等差数列，记为，且.表中每一行正中间一个数构成数列，其前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且.求；记，若集合M的元素个数为3，求实数的取值范围.Eg2.已知数列满足, (1)求数列的通项公式；(2)若对每一个正整数,若将按从小到大