最新电大考试复习资料工程数学(本)期末考试整理小抄

1 电大工程数学期末复习考试必备资料小抄 一、 单项选择题 1. 设 2321321321则321332211321333 A ） A. 2 2. 设 A是 n s矩阵， B是 m s矩阵，则下列运算中有意义的是（ D） D. 3. 已知21101210,20101若 13 11 a （ B ） B. 1 4. 都是 n 阶矩阵（ )1n ，则下列命题正确的是 ( D ) D 5. 若 是对称矩阵，则等式（ C）成立 C. A A 6. 若 53 21A，则 *A （ D ） D. 13 257. 若4321432143214321A ，则秩 )(A （ B ） B. 1 8. 向量组10001200123012341111, , , ,的秩是（ A） A. 4 9. 向量组 532,211,422,3214321 的一个极大无关组可取为（ B） B. 21, 10. 向量组 1,2,1,5,3,2,2,0,1321 ，则 321 32 （ B ） 2,3,1 11. 线性方程组013221 xx 的情况是（ D） D. 有无穷多解 12. 若线性方程组 只有零解，则线性方程组 AX b（ C） C. 可能无解 13. 若 非零解，则（ A ）成立 A. r A n( ) 14. 下列事件运算关系正确的是（ A ） A. 15. 对于随机事件A,，下列运算公式（ A ）成立 A. )()()()( 16. 袋中有 3 个红球， 2 个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是 （ D）25917. 若随机事件 A, ，则结论（ B ）成立 互不相容 18. 若,满足（ C），则 是相互独立 C. )()()( 19. 下列数组中，（ C）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布1631614121 2 20. 设 210X，则 )2( B ） B 21. 随机变量 )21,3( )2( D） D. 8722. 已知 )2,2( 2若 )1,0( ，那么（ C） 1,21 若 )4,2( Y（ C），则Y N ( , )0 1 C. 22设, 21 是来自正态总体 22 ,)(,( N 均未知）的样本 ，则（ A ）是统计量 A. 1x 25. 设x x , , ,是来自正态总体N ( , ) 2的样本，则（ D ）是 无偏估计 D. 321 535151 设a a ab b bc c 31 2 31 2 32，则a a aa b a b a bc c 31 1 2 2 3 31 2 32 3 2 3 2 3 （ D ） D. 6 若0 0 0 10 0 00 2 0 01 0 01则 a（ A ） A. 2乘积矩阵12 41 0 35 2 1中元素 C ） C. 10 设为 下列运算关系正确的是 （ B） ( )A 1 1设,均为 阶方阵， k0且k1，则下列等式正确的是 （ D ） kA k )下列结论正确的是 （ A） 若 A也是正交矩阵 矩阵32 5的伴随矩阵为 （ C） 5 32 1方阵 B ） A0设B C, ,均为 ( )1（ D ）()C1设A, ,均为 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 （ A ） ( )A B A 2 2 22用消元法得 x x xx 32 332 4 102 的解 为 （ C ） , , 11 2 2 线性方程组 x x xx xx 31 32 32 3 263 3 4 （ B ） 有唯一解 3 向量组 100010001121304, , , ,的秩为 （ A） A. 3 设向量组为 1 2 3 41100001110101111, , ,，则 （ B ） 是极大无关组 1 2 3, , A 与 A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解， 则（ D） 秩 ( )A 秩 ( )A 1 若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组 （ A ） 可能无解 以下结论正确的是 （ D ） 齐次线性方程组一 定有解 若向量组 1 2, , , 向量组内 （ A） 可被该向量组内其余向量线性表出 至少有一个向量 10设，为 n 阶矩阵，若等式 （ ）成立，则称和相似 1 两个事件，则 （ B） 成立( )B B A 如果 （ C） 成立，则事件 为对立事件且 U 10 张奖券中含有 3张中奖的奖券，每人购买 1张，则前 3个购买者中恰有 1人中奖的概率为 （ D ） 3 0 7 0 32 . 对于事件命题 （ C ） 是正确的 如果立，则A B,对立 某随机试验的成功率为 )10( 则在 3 次重复试验中至少失败 1 次的概率为（ D ） )1()1()1( 223 n p ( , )，且E X D X( ) . , ( ) . 4 8 0 96，则参数 别是 （ A ） A. 6, x(为连续型随机变量 的密度函数，则对 任意的a b a b, ( )，E X( ) （ A ） xf x x( )d B ） f x x x( ) s i n , 0 20的密度函数为f x( )，分布函数为)，则对任意的区间( , )a b，则 )( D） f x )d为随机变量，E X D X( ) , ( ) 2， 当（ C ）时 ，有E Y D Y( ) , ( ) 0 1 设是来自正态总体N( , ) 2（, 2均未知）的样本， 则（ A） 是统计量x 3, ,是来自正态总体N( , ) 2（, 2均未知）的样本， 则统计量（ D） 不是 的无偏估计 x x 3 1. 若 0351021011x，则 x （ A） A. 3 2. 已知 2 维向量组4321 , ，则 ),(4321 B） A 1 B 2 C 3 D 4 4 3. 设 为 n 阶矩阵， 则下列等式成立的是（ C） )( 4. 若B,满足（ B），则 是相互独立 )()()( 5. 若随机变量 X 的期望和方差分别为 )( )(则等式（ D）成立 22 )()()( 1. 设 A 为 43 矩阵， B 为 25 矩阵，当 C 为（ B）矩阵时，乘积 有意义 42 2. 向量组 1 2 3 40 0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 3 , , , , , , , , , , ,的极大线性无关组是（ A ） 2 3 4, ,3. 若线性方程组的增广矩阵为 412 21 A，则当 （ D）时线性方程组有无穷多解 124. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为 4”的概率是（ C ） . 1215. 在对 单正态总体N ( , ) 2的 假设检验问题中， T 检验法解决的问题是（ B ）未知方差，检验均值 二、 填空题 1. 1111111关于x 的一个多项式，该式中一次项 x 系数是 2 2. 设 是 3 阶矩阵，其中 2,3 则 12 12 3. 设 , 均为 n 阶矩阵，其中 可逆，则矩阵方程 的解 X 11 )( 4. 若方阵 满足 ，则 是对称矩阵 5设矩阵 11 11A，则r( )1 6. 12514 451231 7. 向量组 )01(),110(),011(321 k 线性相关，则 _k . 1 8含有零向量的向量组一定是线性 相关 的 9. 若 足r A n( ) ，则该线性方程组 有非零解 10. 线性方程组 中的一般解的自由元的个数是 2，其中 A 是 54 矩阵，则方程组增广矩阵 )( = 3 11. 齐次线性方程组 0系数矩阵经初等行变换化为 000020103211A 则方程组的一般解为 4342431 ,(22 是自由未知量） 12. 当 = 1 时，方程组112121 xx 有无穷多解 13. 若 , 则 )( 14. 设 A ， B 为两个事件，若 )()()( ，则称 A 与 B 相互独立 15. 设随机变量 01 则 5 16. 设随机变量的概率密度函数为 其它,010,1)( 2 则常数 k =4 17. 设随机变量 10X，则 )1( 18. 设随机变量 X 的概率密度函数为 其它0103)( 2 则 )21( 1 19. 已知随机变量 201X，那么 )( 3 20. 设随机变量 )00( 则 )(15 21. 设随机变量 的期望存在，则X E X( ( ) 0 22. 设随机变量 ，若 5)(,2)( 2 则 )( 23. 不含未知参数的样本函数称为 统计量 24. 设1021 , 是来自正态总体 )4,(N 的一个样本，则 101101i 104,(N 25. 若参数 的两个无偏估计量 1 和 2 满足 )()( 21 ，则称 2 比 1 更 有效 2 1 01 4 00 0 17 1 1 11 11 1该多项式一次项的系数是 2 若 4矩阵， 5矩阵，切乘积 有意义，则 为 5 4 矩阵 二阶矩阵A 1 10 15 10 51 设A B 1 24 03 41 2 03 1 4,，则( )A B 815 360设为 3 阶矩阵，且A B 3，则2 设,均为 3 阶矩阵，且B 1 3,，则 3 1 2( )A B 3 若A a 10 1为正交矩阵，则 a 0 矩阵2 1 223 3的秩为 2 6 设当 时，齐次线性方程组 x xx 1 200 有非零解 向量组 1 20 0 0 1 1 1 , , , , ,线 性 相关 向量组 1 2 3 1 2 0 1 0 0 0 0 0, , , , , , , , , , ,的秩是 设齐次线性方程组 1 1 2 2 3 3 0x x x 的系数行列式 1 2 3 0，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量 1 2 3, , 是线性 相关 的 向量组 1 2 31 0 0 1 0 0 , , , , ,的极大线性无关组是 21, 向量组 1 2, , , 1 2, , , 相同 设线性方程组 中有 5 个未知量，且秩 ( )A 3 ，则其基础解系中线性无关的解向量有 个 设线性方程组 AX b 有解， 它的一个特解，且 的基础解系为 X , ，则 AX b 的通解为22110 9若 是的特征值，则 是方程 0 的根 10若矩阵满足 1 ，则称为正交矩阵是两个可逆矩阵，则A 121 1211 从数字 1,2,3,4,5 中任取 3 个，组成没有重复数字的三 位数，则这个三位数是偶数的概率为52 P B( ) . , ( ) . 0 3 0 5，则当事件不相容时，P B( ) ，P B( 两个事件，且 A，则P A B( ) 4. 已知P A B P A p( ) ( ) , ( ) ，则B( ) P1 5. 若事件互独立，且A p P B q( ) , ( ) ，则P A B) 6. 已知P P B( ) . , ( ) .0 3 0 5，则当事件互独立时，( ) ，P B( ) ( , )0 1，则 的分布函数F x( )111000 ( , . )20 0 3，则E X( ) 6 ( , 2，则P X( ) 3)3(2 E X Y E Y( ( )( ( ) 称为二维随机变量( , )X 协方差 1统计量就是 不含未知参数的样本函数 2参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计 两种方法 7 3比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏 性 ， 有效性 4设是来自正态总体N( , ) 2（2已知）的样本值，按给定的显著性水平 检验H 1 0: ; : ，需选取统计量0 5假设检验中的显著性水平 为 事件 |0（ u 为临界值） 发 生的概率 1. 设 均为 n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为 11, 则 11 )( A )( 1 2. 向量组 ),0,1(),1,1,0(),0,1,1(321 k 线性相关，则 _k . 1 3. 已知 , 则 )( 4. 已知随机变量 201X，那么 )( 5. 设1021 , 是来自正态总体 )4,(N 的一个样本，则 101101i 104,(N 1. 设 均为 3 阶矩阵，且 3 则 12 070040111A ，则 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _)( 2 3. 设A B C, ,是三个事件，那么 A 发生，但 至少有一个不发生的事件表示为 )( . 4. 设随机变量 )00( 则 )(5 5. 设, 21 是来自正态总体N ( , ) 2的一个样本， ni 则 )(xD 三、 计算题 1. 已知244213001,543322011证明 可逆，并求 1)( 解： 301111010 因为 023111301111010 ，所以 可逆 且 212121001212323)( 1 2. 设矩阵423532211A ，求（ 1） A ，（ 2） 1A 8 解： （ 1） 1100110211210110211423532211A （ 2）利用初等行变换得 103210012110001211100423010532001211 1 1 2 1 0 00 1 1 2 1 00 0 1 5 1 11 1 2 1 0 00 1 1 2 1 00 0 1 5 1 1 1 1 0 9 2 20 1 0 7 2 10 0 1 5 1 11 0 0 2 0 10 1 0 7 2 10 0 1 5 1 1即 A 12 0 17 2 15 1 13. 设矩阵A B 1 0 10 1 11 1 11 2 22 1 22 2 1,，求 A1及 A 解： 利用初等行变换得 1 0 1 1 0 00 1 1 0 1 01 1 1 0 0 11 0 1 1 0 00 1 1 0 1 00 1 2 1 0 1 1 0 1 1 0 00 1 0 13 1 1 0 1 1 0 00 1 0 13 3 13 1 0 1 1 0 00 1 01323130 11313131 0 02313130 1 01323130 0 1131313即 A 132 1 11 2 11 1 1由矩阵乘法得 A 1 132 1 11 2 11 1 11 2 22 1 22 2 11 0 10 1 11 1 1 9 4. 已知 ，其中 0 2 3 2 33 4 7 , 5 85 8 9 0 1 ，求 X 解：由方程 ，得 ()I A X B，且 1 2 33 5 75 8 1 0利用初等行变换得 1055200132100013211001085010753001321 121100255010364021121100013210001321 121100255010146001 即 1()6 4 15 5 21 2 1由矩阵乘法得 1 6 4 1 2 3 8 1 3( ) 5 5 2 5 8 1 5 2 31 2 1 0 1 8 1 2X I A B 5. 设矩阵1 1 5 1 21 1 2 3 53 1 8 1 91 3 9 7 8A，求矩阵 A 的秩 解：用初等行变换将矩阵化为阶梯形 681440347203472021511879319181353211215111 1 5 1 20 2 7 4 30 0 0 0 00 0 0 0 0由此可知矩阵的秩为 2 10 6. 求 向 量 组 1 1, 3 , 2 , 1, 1 ， 2 3 , 8 , 4 , 1, 0 ， 3 2 , 1, 4 , 2 , 1 ， 4 1, 2 , 6 , 1, 2 的秩，并求该向量组的一个极大无关组 解：将向量组组成的矩阵化为阶梯形 1 3 2 1 13 8 4 1 02 1 4 2 11 2 6 1 21 3 2 1 10 1 2 2 30 5 8 0 30 5 8 0 3 1 3 2 1 10 1 2 2 30 0 2 1 0 1 20 0 0 0 0 由此可知该向量组的秩为 3，且321 , 是一个极大无关组 7. 分别说明当何值时，线性方程组 x x x xx x x xx x x xx x x ax 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 43 12 7 2 24 3 2 12 4 8 无解、有唯一解、有无穷多解在有无穷多解的情况下求出一般解 解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形 1 3 1 1 12 7 2 1 21 4 3 2 12 4 81 3 1 1 10 1 0 1 00 1 2 3 00 2 6 2 2 a b a b 1 3 1 1 10 1 0 1 00 0 2 2 00 0 6 4 21 3 1 1 10 1 0 1 00 0 2 2 00 0 0 2 2a b a b 当a b 2 2,时，方程组无解。当a2时，方程组有唯一解。当a b 2 2,时，方程组有无穷多解。 在方程组有无穷多解的情况下，一般解为 x xx xx 2 43 41 5 （其中 8. 求线性方程组 103512527496372224321432143214321 11 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 202102202021022010151102112110351252714961372211210000000000111011111510112119111010000000000101511021121此时齐次方程组化为 432431111115119111,143 1,043 齐次方程组的一组基础解系 011151111X 101111192,043 非齐次方程组的一个特解 001110112022110 （其中 21,任意常数） 9. 设齐次线性方程组 0系数矩阵经过初等行变换，得 000023200102A 求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解 解： 因为 000012/31002/101000023200102 得一般解： 432312321其中43, 12 令 0,243 02311X ； 令 1,043 10102X 所以， 21 , 方程组的一个基础解系 方程组的通解为： X 2211 ，其中 21,任意常数 10当取何值时，线性方程组 1479637222432143214321有解，在有解的情况下求方程组的全部解 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 191022201051110212111147963712212111000010511108490110000105111021211由此可知当 1 时，方程组无解。当 1 时，方程组有解。 此时齐次方程组化为 432431 511 49 分别令1 0 ,及0 1 ,，得齐次方程组的一个基础解系 1054,01119 21 令x 0 ,，得非齐次方程组的一个特解 001080X X k X k X 0 1 1 2 2（其中k ,为任意常数） 11. 假设 为两事件，已知 , 求 )( 解： )()( )()( )()()( 12. 一批产品分别来自甲、乙、丙三个厂家，其中 50%来自甲厂、 30%来自乙厂、 20%来自丙厂，已知这三个厂家的次品率分别为 从这批产品中任取一件，求取出的产品是合格品的概率 . 解： 设如下事件： ：“产品来自甲厂” B：“产品来自乙厂” C：“产品来自丙厂” D：“产品是合格品” 由全概公式有 D P A P D A P B P D B P C P D C( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 13 0 5 0 01 0 3 0 02 0 2 0 04 0 019. . . . . . . 由对立事件的关系可知 P D P D( ) ( ) . 1 1 0 019 98113. 一 袋中有 10 个球，其中 3 个黑球 7 个白球今从中依次无放回地抽取 两 个，求第 2 次抽取出的是黑球的概率 . 解： 设如下事件： 1A ：“第 1 次抽取出的是黑球” 2A ：“第 2 次抽取 出的是黑球” 显然有103)( 1 全概公式得 )()()()()(1211212 1039310792103 14. 已知某批零件的加工由两道工序完成，第一道工序的次品率为 二道工序的次品率为 道工序的次品率彼此无关，求这批零件的合格率 . 解： 设如下事件： A：“第一道工序加工的零件是次品” B：“第二道工序 加工的零件是次品” C：“零件是合格品” 由事件的关系有 C A B 已知互独立，由加法公式得 P C P A P B P A P B P A P B( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 由对立事件的关系可知 9 6 0 9 1)( 15. 设 000 2x，求 )41()1( （ 2） )3( （ 3） )10( 解： （ 1） 40 2)41( （ 2） 0)3( 33 3） 1)10(0 2 设 )4,3( 试求 )95( )7( （已知 ,( (,( ） 解： )32 31()2 392 32 35()95( ()3( )2 372 3()7( 2 3(1)22 3( 2 7 (1 17. 设 0 1 2 30 . 1 0 . 3 0 . 4 0 . 2X，求 )( )2( 解： 由期望的定义得 ( ) 0 0 . 1 1 0 . 3 2 0 . 4 3 0 . 2 1 . 7 14 )2()1()0()2( 0 . 1 0 . 3 0 . 4 0 . 8 18. 某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布今从一批产品里随机取出 9 个，测得直径平均值为 已知这批滚珠直径的方差为 试找出滚珠直径均值的置信度为 置信区间( . ) 975 1 96 解： 由于已知2，故选取样本函数 )1,0( 已知 x ， 经计算得 滚珠直径均值的置信度为 置信区间为 9,9 ，又 由已知条件 u ，故此置信区间为 139 60 19. 据资料分析， 某厂生产的一批砖，其抗断强度 ) 今从这批 砖 中随机地抽取了 9 块，测得 抗断强度 （单位： 平均值为 这批 砖的抗断强度是否合格 （ 0 05 1 960 975. , . 解： 零假设H 0 325: . 由于已知2 121 .，故选取样本函数U x n N ( , )0 1已知 x 3112.，经计算得91 13 0 37 . .， 31 12 32 50 37 3 73. . 知条件75 1 96. .，xn u 3 73 1 96 0 975. . 这批 砖的抗断强度不合格。 20. 对一种产品的 某项技术指标进行测量，该指标服从正态分布， 今从这种产品中随机地抽取了 16 件，测得 该项技术指标 的平均值为 本标准差为 该 项技术指标置信 度为 置信区间 （t 0 05 15 2 131. ( ) .） 解： 由于未知2，故选取样本函数 T xs n t n ( )1已知x s 31 06 0 35. , .， 经计算得 0875 技术指标 置信度为 置信区间为 ( ) , ( ) . .x t s x t s 0 05 0 0515 16 15 16，又由已知条件t 0 05 15 2 131. ( ) .，故此置信区间为.,30873125设A B C 1 23 5 1 14 3 5 43 1, ,，求 A B； A C； 2 3A C； B5； ( ) 答案： 81 30 40 66 73 161732 012 22265 1223 77 80151 2156)( 5 设A B C 1 2 10 1 21 0 32 1 11 1 43 2 10 0 2, ,，求 C 解 ： 10221046200123411102420)( 已知A B 3 1 01 2 13 4 21 0 21 1 12 1 1,，求满足方程 3 2A X B 中的 X 解 ： 3 2A X B 252112712511234511725223821)3(21写出 4 阶行列式 1 0 2 01 4 3 60 2 5 31 1 0中元素a 2,的代数余子式，并求其值 答案 ： 0352634020)1( 1441 a 45350631021)1( 2442 a 用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵 ： 122121； 1 2 3 42 3 1 21 1 1 10 2 6 ； 1 0 0 01 1 0 01 1 1 01 1 1 解 ： （ 1 ） 919292929192929291100010001919292031320323110021020112201203231900630201102012001360630221100010001122212221|23133232123121229131232226 9192929291929292911A （ 2）35141201132051717266221A (过程略 ) (3) 11000110001100011A 求矩阵1 0 1 1 0 1 11 1 0 1 1 0 01 0 1 2 1 0 12 1 1 3 2 0 1的秩 解 ： 000000001110001110110110110101110000111000111011011011011221110011100011101101101101102311210121010011011110110143424131212 3)( 1用消元法解线性方程组 x x x xx x x xx x x xx x x 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 43 2 63 8 5 02 4 124 3 2 解： 2612100090392700188710482319018431001850188710612312314112141205183612314132124131215323 33110004110046150101 2 4420011365004110018871048231901136500123300188710482319014323133434571931213 31000101001001020001310004110046150101 2 44200134241441542111 方程组解为31124321有线性方程组 17 1 11 11 112 为何值时，方程组有唯一解 ?或