112 余弦定理(教案)

112 余弦定理(教案) 1.1.2余弦定理教学目标掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 教学过程.复习与导入问题1回顾正弦定理及其适用范围。 C问题2如果已知三角形的两边及其夹角，能用正弦定理解三角形吗？如图11-4，在?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和?C，求边c b a.讲授新课A cB探索研究(图11-4)联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决问题2？用正弦定理试求，发现因A、B均，所以较难求边c。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A?如图11-5，设CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，则b c?c?c?c?a?ba?b?a b?b?2a?b?2a?2?a?b?2a?b?2?C aB从而c同理可证a22?a2?b2?2abcosC?b2?c2?2bosA(图11-5)b2?a2?c2?2aosB于是得到以下定理余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。 即a2?b2?c2?2bosA b2?a2?c2?2aosB c2?a2?b2?2abcosC思考这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论b2?c2?a2a2?c2?b2b2?a2?c2cosB?cosC?cosA?2bc2ac2ba理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？若?ABC中，C=900，则cosC?0，这时c2?a2?b2由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 例题分析例1在?ABC中，已知a?23，c?6?2，B?600，求b及A解b2?a2?c2?2aosB= (23)2?(6?2)2?2?23?(6?2)cos450=12?(6?2)2?43(3?1)=8b?22.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理b2?c2?a2 (22)2?(6?2)2? (23)210?,A?60.解法一cos A?2bc22?22?(6?2)a23解法二sin A?sinB?sin450,又6?22.4?1.4?3.8,232?1.8?3.6,b220ac，即00A900,A?60.评述解法二应注意确定A的取值范围。 例2在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）b2?c2?a287.82?161.72?134.62解由余弦定理的推论得cos A?0.5543,A?56020?；?2bc2?87.8?161.7c2?a2?b2134.62?161.72?87.82cos B?0.8398,B?32053?；?2ca2?134.6?161.7?C?1800?(A?B)?1800?(56020?32053)变式训练 1、在ABC中: (1)已知c=8,b=3,b=60,求A; (2)已知a=20,bB=29,c=21，求B; (3)已知a=33,c=2,b=150,求B; (4)已知a=2,b=2，c=3+1,求A.解 (1)由a2=b2+c2-2bosA，得a2=82+32-283cos60=49.A=7.c2?a2?b2202?212?292 (2)由cosB?,得cosB?.?0.B=902ca2?20?21 (3)由b2=c2+a2-2cacosB,得b2= (33)2+22-2332cos150=49.b=7. (2)2?(3?1)2?222b2?c2?a2? (4)由cosA?,得cos A?.A=45.22bc22(3?1)评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率. 2、在ABC中,已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C.(精确到1)分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二.b2?c2?a2102?62?72?0.725,解cosA?2bc2?10?6A44.a2?b2?c272?102?62113?cosC=0.8071,2ab2?7?10140C36.B=180-(A+C)=180-(44+36)=100.备用练习在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A（答案A=1200）.课时小结 （1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的应用范围已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。 .课后作业课后阅读课本第8-9页探究与发现课时作业1在ABC中，若a2b2+c2，则ABC为；若a2=b2+c2，则ABC为；若a2b2+c2且b2a2+c2且c2a2+b2，则ABC为2.在ABC中，已知a=31,b=42,c=27，解三角形(角度精确到1).b2?c2?a2422?272?312解由cosA?,得cosA?0.6755,A48.2bc2?42?27c2?a2?b2312?272?