小学五年级奥数解析01-2：数的整除问题

小学五年级奥数解析01-2 数的整除问题第一讲 数的整除问题一、基本概念和知识1.整除约数和倍数定义：一般地，如a、b、c为整数，b0，且ab=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作ba. 否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。如果整数a能被整数b整除（约数b | 倍数a），a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的 和与差 也能被c整除。 即：如果ca，cb，那么c（ab）。例如：如果210，26，那么2（106），并且2（106）。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bca，那么ba，ca性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。 即：如果ba，ca，且（b，c）=1，那么bca。例如：如果228，728，且（2，7）=1,那么（27）28。性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果cb，ba，那么ca。例如：如果39，927，那么327。3.数的整除特征能被2整除 的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。能被5整除 的数的特征：个位是0或5。能被3（或9）整除 的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。能被4（或25）整除 的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。例如：1864=180064，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为464，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.能被8（或125）整除 的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。例如：2937529000375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。能被11整除 的数的特征：该数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差 （大减小）是11的倍数。例1：判断123456789这九位数能否被11整除？解：这个数奇数位上的数字之和是97531=25，偶数位上的数字之和是864220.因为25205，又因为11 5，所以11 123456789。例2：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（451）-（73）0.因为0是任何整数的倍数，所以110.因此13574是11的倍数。能被7（11或13）整除 的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。例1：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282777，又7777，所以71059282.因此1059282是7的倍数。例2：判断3546725能否被13整除？解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为8212819，又13819，所以132821，进而133546725.二、例题解：45=59，根据整除“性质2”可知 y可取0或5。满足条件的六位数是519930或919935。例2 李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元.已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？解：9.2元=92分2847，根据整除“性质2”可知4和7均能整除92。42可知处能填0或4或8。因为79020，79424，所以处不能填0和4；因为79828，所叫处应该填8。又9828分=98.28元98.28283.51（元）答：每支钢笔3.51元。个条件的整数。根据能被11整除的数的特征可知：1+2+3+4+5的和与5a之差应是11的倍数，即11（155a）.或11（5a15）。但是155a=5（3a），5a15=5（a3），又（5，11）=1，因此111（3a）或11（a3）。又a是数位上的数字。a只能取09。所以只有a=3才能满足11（3a）或11（a3），即当a=3时，11155a。符合题意的整数只有1323334353。解：91=713，且（7，13）1。 根据一个数能被7或13整除的特征可知： 因为（7，10）=1，（13，10）1，所以7，13，13也就是7因此，用一次性质（特征），就去掉了两组；反复使用性质996次，最后转化成：原数能被7以及13整除，当且仅当能被7以及13整除。又91的倍数中小于1000的只有914=364的百位数字是3，=364例5 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。5整除，所以它应满足以下三个条件：第一，数字和（8+65+a+b+c）是3的倍数。第三，末位数字c是0或5。又能被4整除的数的个位数不可能是5。c只能取O.因而b只能取自O，2，4，6，8中之一。 ab除以3余2。为满足题意“数值尽可能小”，只需取a=0，b=2。要求的六位数是865020。分析 26=213，y可能取0、2、4、5、6、8。当y0时，713x+9x+136根据整除“性质1”，有139x+6，经试验可知只有当x8时，139x6，当y=0时，符合题意的六位数是819910。所以13整除9x62，即139x+4。经试验可知只有当x1时，139x+4。当y2时，符合题意的六位数是119912。同理，当y4时，139x6-4，即139x+2，经试验可知当x7时，139x+2。当y=4时，符合题意的六位数是719914。同理，当y6时，139x66。即139x