三角函数的最值习题精选精讲.doc

习题精选精讲三角函数的值域或最值常见的三角函数最值的基本类型有：（1）y=asinx+b（或y=acosx+b）型，利用，即可求解，此时必须注意字母a的符号对最值的影响。（2）y=asinx+bcosx型，引入辅助角，化为y=sin（x+）,利用函数即可求解。Y=asinx+bsinxcosx+mcosx+n型亦可以化为此类。（3）y=asinx+bsinx+c（或y=acosx+bcosx+c），型，可令t=sinx（t=cosx）,-1t1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。（4）Y=（或y=）型，解出sinx（或cosx）,利用去解；或用分离常数的方法去解决。（5）y=（y=）型，可化归为sin（x+）g（y）去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c时，还可利用数形结合的方法去处理上。（6）对于含有sinxcosx,sinxcosx的函数的最值问题，常用的方法是令sinxcosx=t,将sinxcosx转化为t的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。一、利用三角函数的有界性求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为的形式在化简过程中常常用到公式： 例1 、(2000年高考)已知：求的最大值及此时的集合解：，当时， 此时，即 所以的最大值为，此时的集合为例2、求函数的值域解： ，由得，解得，所以函数的值域是二、利用二次函数最值性质求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为的形式例3、求函数的值域解：，例4、（90年高考）求函数的最小值 解：设则，所以，当时，有最小值三、利用均值不等式*利用均值不等式求三角函数时，一定要注意均值不等式中的使用条件：一正、二定、三相等例6、当时，求的最大值解：设（当且仅当时取等号）。所以的最大值为四、利用判别式例7、求函数的值域解：当时，当时，设，则，即，由得，由得函数的值域为五、利用数形结合*形如的函数最值问题，可以看成是连接两点的直线的斜率的最值问题例8，求函数的最大值和最小值解：本题可转化为圆上动点与定点A（-2，0）连线的斜率的最大值和最小值如图，当MA与O相切时取得斜率最小值，当PA与O相切时取得斜率最大值，由平面几何知识可得=，即MA的斜率=，PA的斜率=，所以函数的最大值和最小值分别为、例1：已知,f（）=sin(cos)的最大值为a,最小值为b，g()=cos(sin)的最大值为c,最小值为d,则a,b,c,d的大小顺序为 。例2：函数f(x)=cosx+sinx在区间上的最小值是什么？例3求函数f()=的最大值与最小值是什么？由图可知当直线AB处于L1的位置时，斜率取最小值0，当直线处于L2的位置时，斜率取最大值。所以例4、函数f(x)=的最大值是，最小值是例5、求y=的最值？例6、已知f(x)=2cosx+sin2x+a,若x2,求a的取值范围。注：本题综合运用三角恒等变形，三角函数的单调性，不等式的性质，函数的恒成立等知识，是一个较好的三角函数综合题。高考中的三角函数最值问题解析三角函数的最值是高考重点考查的内容，求与三角函数有关的最大值、最小值是高考的热点题目。在高考中，主要以选择题、填空题为主，有时也可是解答题的一部分。解答时，要注意灵活运用三角函数的有界性及三角变换。解析1应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题例1 函数y的值域是（ ）。A.2，4B.2，0，4C.2，0，2，4D.4，2，0，4(90全国) 解析：解决本题时要注意三角函数值的符号规律，分四个象限讨论。当x在第一象限时，函数值为4；当x在第二象限时，函数值为-2；当x在第三象限时，函数值为0；当x在第四象限时，函数值为-2；所以选择B。解析2直接应用三角函数的有界性解题例2设M和m分别表示函数的最大值和最小值，则M+m等于（ ） （A）（B）（C） （D）-2（2003北京春季）解析：由于y=cosx的最大值与最小值分别为1,-1,所以,函数的最大值与最小值分别为,即M+m+（）=-2,选D.练习：函数f(x)Msin(x)(0)在区间a，b上是增函数，且f(a)M，f(b)M，则函数g(x)Mcos(x)区间a，b上 。(99全国) A.是增函数 B.是减函数 C.可以取得最大值M D.可以取得最小值M（参考答案C）例3已知函数，求f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。(2003春季)分析：本题主要是考查三角函数的基本知识，考查三角变换能力，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。 解：由cos2x0得，解得，kZ。 所以f(x)的定义域为 x|xR且， kZ。 因为f(x)的定义域关于原点对称，且 ， 所以f(x)是偶函数。 又当（kZ）时， 3cos2x-1=，所以f(x )的值域为y|-1y或0时，那么当时，一定有（ ）.A、B、C、D、 分析 令x = y =0,得f (0) = f(0)f(0), 又，所以f (0) =1; 再令y = - x , 得 f (0) = f (x)f(-x) =1, 又对一切恒成立，设x 0, 由已知得 f (- x) 1, 所以 0 0,则 得 ，又，所以的取值范围是2，65 函数的图象如图所示，其定义域为-4，4，那么不等式的解集为 。 分析 函数y = sinx 在区间或上取正值，在区间或上取负值， 在数轴上分别标出函数f (x), sinx在区间-4，4上的零点， 容易看出在上述六个区间上的取值符号，并且注意f(x)的零点属于该不等式的解集，但要去掉sinx的零点，于是的解集为 .6非等边三角形ABC的外接圆半径为2，最长的边，求的取值范围.解：由正弦定理 得BC是最长边，且三角形为非等边三角形 , 又 , 故 的取值范围为7 如图，已知在等边ABC中，AB3，O为中心，过O的直线交AB于M，AC于N，设AOM(60120)，当分别为何值时，取得最大值和最小值解：由题意可知：OAM30，则AMO180（30）由正弦定理得：，又OA= 同理： 60120，2sin2故当60或120时，的