高考数学 4.6 正弦定量和余弦定理总复习课件.pptVIP

4 6正弦定理和余弦定理要点梳理1 正弦定理 其中r是三角形外接圆的半径 由正弦定理可以变形为 1 a b c sina sinb sinc 2 a b c 3 等形式 以解决不同的三角形问题 2rsinc 2rsina 2rsinb 基础知识自主学习 2 余弦定理 a2 b2 c2 余弦定理可以变形为 cosa cosb cosc 3 r r是三角形内切圆的半径 并可由此计算r r b2 c2 2bccosa a2 c2 2accosb a2 b2 2abcosc 4 在解三角形时 正弦定理可解决两类问题 1 已知两角及任一边 求其它边或角 2 已知两边及一边的对角 求其它边或角 情况 2 中结果可能有一解 二解 无解 应注意区分 余弦定理可解决两类问题 1 已知两边及夹角或两边及一边对角的问题 2 已知三边问题 5 解三角形的类型在 abc中 已知a b和a时 解的情况如下 基础自测1 2008 陕西理 3 abc的内角a b c的对边分别为a b c 若c b b 120 则a等于 a b 2c d 解析 d 2 abc的内角a b c的对边分别为a b c 若a b c成等比数列 且c 2a 则cosb等于 a b c d 解析由已知得b2 ac c 2a b 3 在 abc中 a 60 a 4 b 4 则b等于 a 45 或135 b 135 c 45 d 以上答案都不对解析由正弦定理得又 a b a 60 b 45 c 4 已知圆的半径为4 a b c为该圆的内接三角形的三边 若abc 16 则三角形的面积为 a b c d 解析 c 5 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若 b 45 b a 1 则 c 解析 a b b 45 a为锐角 c 180 30 45 105 105 题型一正弦定理的应用 1 在 abc中 a b b 45 求角a c和边c 2 在 abc中 a 8 b 60 c 75 求边b和c 3 在 abc中 a b c分别是 a b c的对边长 已知a b c成等比数列 且a2 c2 ac bc 求 a及的值 已知两边及一边对角或已知两角及一边 可利用正弦定理解这个三角形 但要注意解的个数的判断 题型分类深度剖析 解 a b a 60 或a 120 当a 60 时 c 180 45 60 75 当a 120 时 c 180 45 120 15 2 b 60 c 75 a 45 3 a b c成等比数列 b2 ac 又 a2 c2 ac bc b2 c2 a2 bc 在 abc中 由余弦定理得 1 已知两角一边可求第三角 解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可 2 已知两边和一边对角 解三角形时 利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角 这是解题的难点 应引起注意 知能迁移1在 abc中 若b c 1 b 45 求a及c的值 解由正弦定理得因为c b 所以c b 故c一定是锐角 所以c 30 所以a 105 题型二余弦定理的应用在 abc中 a b c分别是角a b c的对边 且 1 求角b的大小 2 若b a c 4 求 abc的面积 由利用余弦定理转化为边的关系求解 解 1 由余弦定理知 1 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键 2 熟练运用余弦定理及其推论 同时还要注意整体思想 方程思想在解题过程中的运用 知能迁移2已知 abc中 三个内角a b c的对边分别为a b c 若 abc的面积为s 且2s a b 2 c2 求tanc的值 解依题意得absinc a2 b2 c2 2ab 由余弦定理知 a2 b2 c2 2abcosc 所以 absinc 2ab 1 cosc 即sinc 2 2cosc 题型三三角形形状的判定在 abc中 a b c分别表示三个内角a b c的对边 如果 a2 b2 sin a b a2 b2 sin a b 判断三角形的形状 利用正弦定理 余弦定理进行边角互化 转化为边边关系或角角关系 解方法一已知等式可化为a2 sin a b sin a b b2 sin a b sin a b 2a2cosasinb 2b2cosbsina由正弦定理可知上式可化为 sin2acosasinb sin2bcosbsina sinasinb sinacosa sinbcosb 0 sin2a sin2b 由0 2a 2b 2 得2a 2b或2a 2b 即a b或a b abc为等腰或直角三角形 方法二同方法一可得2a2cosasinb 2b2sinacosb由正 余弦定理 可得 a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 即 a2 b2 a2 b2 c2 0 a b或a2 b2 c2 abc为等腰或直角三角形 判断三角形形状可通过边和角两种途径进行判断 应根据题目条件 选用合适的策略 1 若用边的关系 则有 若a为锐角 则b2 c2 a2 0 若a为直角 则b2 c2 a2 0 若a为钝角 则b2 c2 a2 0 2 利用正 余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系 通过三角函数恒等变形 得出内角的关系 从而判断出三角形的形状 此时要注意应用a b c 这个结论 知能迁移3在 abc中 已知2sinacosb sinc 那么 abc一定是 a 直角三角形b 等腰三角形c 等腰直角三角形d 正三角形解析方法一因为在 abc中 a b c 即c a b 所以sinc sin a b 由2sinacosb sinc 得2sinacosb sinacosb cosasinb 即sinacosb cosasinb 0 即sin a b 0 又因为 a b 所以a b 0 即a b 所以 abc是等腰三角形 故选b 方法二利用正弦定理和余弦定理2sinacosb sinc可化为即a2 c2 b2 c2 即a2 b2 0 即a2 b2 故a b 所以 abc是等腰三角形 答案b 题型四正 余弦定理的综合应用 12分 在 abc中 a b c分别是a b c的对边 且满足 2a c cosb bcosc 1 求角b的大小 2 若b a c 4 求 abc的面积 1 用正弦定理 将边用角代换后求解 2 用余弦定理 配方出现a b后代换 求出ac即可 解 1 在 abc中 由正弦定理得 a 2rsina b 2rsinb c 2rsinc 代入 2a c cosb bcosc 整理得2sinacosb sinbcosc sinccosb 4分即2sinacosb sin b c sina 在 abc中 sina 0 2cosb 1 b是三角形的内角 b 60 6分 2 在 abc中 由余弦定理得b2 a2 c2 2ac cosb a c 2 2ac 2ac cosb 8分将b a c 4代入整理 得ac 3 10分 12分 在求角问题中 一般都是用正 余弦定理将边化为角 由三角函数值求角时 要注意角的范围 在应用余弦定理时 要注意配方这一小技巧 通过配方 使之出现 a b 2或 a b 2 将a b或a b作为一个整体 可以带来非常好的效果 知能迁移4 2008 辽宁理 17 在 abc中 内角a b c对边的边长分别是a b c 已知c 2 1 若 abc的面积等于 求a b的值 2 若sinc sin b a 2sin2a 求 abc的面积 解 1 由余弦定理及已知条件 得a2 b2 ab 4 又因为 abc的面积等于 所以absinc 所以ab 4 2 由题意得sin b a sin b a 4sinacosa 即sinbcosa 2sinacosa 当cosa 0时 得sinb 2sina 由正弦定理得b 2a 方法与技巧1 正 余弦定理和三角形面积公式是本节课的重点 利用三角形内角和 边 角之间的关系 三角函数的变形公式去判断三角形的形状 求解三角形 以及利用它们解决一些实际问题 2 应熟练掌握和运用内角和定理 a b c 中互补和互余的情况 结合诱导公式可以减少角的种数 思想方法感悟提高 3 正 余弦定理的公式应注意灵活运用 如由正 余弦定理结合得sin2a sin2b sin2c 2sinb sinc cosa 可以进行化简或证明 4 根据所给条件确定三角形的形状 主要有两种途径 1 化边为角 2 化角为边 并常用正弦 余弦 定理实施边 角转换 失误与防范在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角 进而求出其他的边和角时 有时可能出现一解 两解 所以要进行分类讨论 一 选择题1 abc的三边分别为a b c且满足b2 ac 2b a c 则此三角形是 a 等腰三角形b 直角三角形c 等腰直角三角形d 等边三角形解析 2b a c 4b2 a c 2 又 b2 ac a c 2 0 a c 2b a c 2a b a 即a b c d 定时检测 2 abc中 a b c分别是内角a b c的对边 且cos2b 3cos a c 2 0 b 则c sinc等于 a 3 1b 1c 1d 2 1解析cos2b 3cos a c 2 2cos2b 3cosb 1 0 cosb 或cosb 1 舍 d 3 abc中 ab ac 1 b 30 则 abc的面积等于 a b c d 解析 c 60 或120 1 当c 60 时 a 90 bc 2 此时 2 当c 120 时 a 30 d 4 2008 四川文 7 abc的三内角a b c的对边边长分别为a b c 若a 2b 则cosb等于 a b c d 解析由正弦定理得 b 5 2008 福建理 10 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 若 a2 c2 b2 tanb ac 则角b的值为 a b c d 解析 a2 c2 b2 tanb ac d 6 在 abc中 角a b c所对的边分别是a b c 若b2 c2 bc a2 且 则角c的值为 a 45 b 60 c 90 d 120 解析由b2 c2 bc a2 得b2 c2 a2 bc c 二 填空题7 2009 上海春招 在 abc中 若ab 3 abc 75 acb 60 则bc 解析根据三角形内角和定理知 bac 180 75 60 45 根据正弦定理得 8 在 abc中 ab 2 ac bc 1 ad为边bc上的高 则ad的长是 解析 9 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若其面积 b2 c2 a2 则 a 解析 三 解答题10 在 abc中 若试判断 abc的形状 解方法一利用正弦定理边化角 即sinccosc sinbcosb 即sin2c sin2b 因为b c均为 abc的内角 所以2c 2b或2c 2b 180 所以b c或b c 90 所以 abc为等腰三角形或直角三角形 方法二由余弦定理 得即 a2 b2 c2 c2 b2 a2 c2 b2 所以a2c2 c4 a2b2 b4 即a2b2 a2c2 c4 b4 0 所以a2 b2 c2 c2 b2 c2 b2 0 即 b2 c2 a2 b2 c2 0 所以b2 c2或a2