兰州交大结构力学教案之结构动力学

兰州交大结构力学教案之结构动力学 169第四章结构动力学学习内容结构动力计算概念，动力计算自由度，建立体系的运动方程。 单自由度体系的自由振动（频率、周期和振幅的计算）。 单自由度体系在简谐荷载作用下的的强迫振动（动内力、动位移计算）。 阻尼对振动的影响。 多自由度体系的自由振动（频率、振型及振型正交性）。 多自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动（动内力、动位移计算）。 频率、振型的近似计算方法。 学习目的和要求工程结构除受静荷载作用外，有时还会受到随时间迅速变化的动荷载作用，如地震荷载、风荷载等。 在动荷载作用下，结构发生振动，结构的内力、位移等将随时间变化。 确定它们的变化规律，从而得到这些量值的最大值，以便做出合理的动力设计是本章的学习目的。 本章基本要求掌握动力自由度的判别方法。 掌握单自由度、多自由度体系运动方程的建立方法。 熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系动力特性的计算。 熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系在简谐荷载作用下动内力、动位移的计算。 掌握阻尼对振动的影响。 了解自振频率的近似计算方法。 14-1概述1.结构动力计算的特点 (1)荷载、约束力、内力、位移等随时间变化，都是时间的函数。 (2)建立平衡方程时要考虑质量的惯性力。 2.动荷载分类动荷载按其变化规律及其作用特点可分为 (1)周期荷载随时间作周期性变化。 如按正弦（余弦）规律改变大小的则称为简谐周期荷载，通常也称振动荷载（转动电机的偏心力）。 (2)冲击荷载短时内剧增或剧减。 (3)快速移动荷载例如高速通过桥梁的列车、汽车等。 170 (4)随机荷载(非确定性荷载)荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。 如地震荷载、风荷载等。 3结构动力计算的内容 (1)确定结构的动力特性，即结构本身的自振频率、振型和阻尼参数。 通过自由振动（由初位移或初速度引起的振动，在振动过程中不再受外部干扰作用）研究结构的自振频率和振型。 (2)计算结构的动力反应，即结构在动荷载作用下产生的动内力、动位移等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值以作为设计或检算的依据。 通过强迫振动（由动荷载引起的振动，在振动过程中还不断受外部干扰作用）研究结构在动荷载作用下的动力反应。 结构的动力反应与动力特性有密切的关系。 14-2结构振动的自由度1.结构振动的自由度在动力荷载作用下，结构将发生弹性变形，其上的质点将随结构的变形而振动。 质点在振动过程中任一瞬时的位置，可以用某种独立的参数来表示。 结构振动的自由度:确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参数的数目称为体系的振动自由度。 图14-1 (1)单自由度结构具有1个自由度的结构。 (2)多自由度结构自由度大于1的结构。 2.连续质量的简化实际结构的质量都是连续分布的，都是无限自由度体系，常作如下简化 (1)集中质量法把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。 m mm梁m171 (2)广义坐标法假设振动曲线为是满足位移边界条件的已知函数,称为形状函数,a1,a2,a n为待定参数（广义坐标）。 如a n只取有限项，则结构简化成有限自由度体系。 3.振动自由度的确定基本假定 （1）不考虑集中质量的转动； （2）受弯直杆任两点之间的距离保持不变。 对于具有集中质量的体系，可通过加支杆限制质量运动的办法确定体系的自由度。 采用加入最少数量的链杆以限制刚架上所有质点的位置，则该刚架的自由度数目即等于所加入链杆的数目（如图14-2）。 图14-2需注意的是振动体系的自由度数与计算假定有关，而与集中质量的数目和超静定次数无关。 如图14-3所示的体系。 图14-314-3单自由度结构的自由振动自由振动是指结构在初始干扰（初位移或初速度）下开始振动，而在振动过程中不受外部干扰力作用的那种振动。 如图14-4所示。 原有平衡位置强迫偏离位置图14-41721不考虑阻尼时的自由振动不考虑阻尼时的自由振动的运动方程的建立，一般采用以下两种方法 (1)刚度法列动力平衡方程各单自由度的振动状态，都可以用一个简单的质点弹簧模型来描述，如图14-5a所示。 (c)(b)(a)F IymF IF em静力平衡位置my图14-5设质点位移y和质点受到的力都以向下为正。 取质点为研究对象(图14-5b)，作用在质点上的弹性力（11eF k y?）和假想地加在质点上的惯性力（IF my?）互相平衡，建立平衡方程得运动方程为110my k y?（a）令211km?（14-1）有20y y?（14-2）这就是单自由度结构在自由振动时的微分方程。 (2)柔度法列位移方程取体系为研究对象，在质点上假想地加上惯性力IF my?看作是一静力荷载，质点位移为惯性力产生的静位移，列出运动方程为1111Iy Fmy?即110my k y? （3）运动微分方程的解设初位移0y，初速度为0y?，则求解以上方程可得任一时刻质点位移为00()cos sinsin()yy t y tt At?(14-3)173其中y0为初始位移，0y?为初始速度，为自振频率。 结构的振动是由两部分组成，一部分是由初位移引起，表现为余弦规律；另一部分是由初速度引起，表现为正弦规律（图14-6a、b）。 (a)yyytttaaaa oooy00yT=0y(b)(c)图14-6若令0sin y a?，0cosya?振幅和相位角2xxya y?（14-4）00tanyy?(14-5)则有sin()y at?（14-6）cos()yat?（14-7） （4）自振频率的计算1111111stk ggm m mg?(14-8)自振周期T=2/。 其中柔度系数11?表示在质点上沿振动方向加单位荷载时，使质点沿振动方向所产生的位移。 174刚度系数11k表示使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。 st=W11?表示在质点上沿振动方向加数值为W=mg的力时质点沿振动方向所产生的位移。 计算自振频率时可根据体系的具体情况，视11?、11k、st三者中哪一个最便于计算来选用。 (1)自振频率（自振周期）只与结构的质量和结构的刚度有关，与初始条件及外界的干扰力无关。 初始条件及干扰力只影响振幅a和相位角?。 (2)自振频率与质量的平方根成反比，质量越大，频率越小；自振频率与刚度的平方根成正比，刚度越大，频率越大；要改变结构的自振频率，只有从改变结构的质量或度着手。 例14-1图14-7所示三种支承情况的梁，其跨度都为l，且EI都相等，在中点有集中质量m。 当不考虑梁的自重时，试比较这三者的自振频率。 m(a)Fl(b)m3Fl5Fl32m(c)FlFlFll22l l22l l22l888416图14-7解由式（14-8）可知，先要计算重力位移，由前面学过的位移计算方法，可分别求得在自重F=mg作用下的静力位移3148FlEI?，327768FlEI?，33192FlEI?代入式（14-8）即可求得三种情况的自振频率分别为1348EIml?，237687EIml?，33192EIml?距此可得123:1:1.51:2?说明随着结构刚度的加大，其自振频率也相应地增高。 2考虑阻尼时的自由振动产生阻尼的原因有结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩擦；周围介质的阻力。 175阻尼力的确定阻尼力总与质点速度反向;大小与质点速度有如下关系 (1)与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。 (2)与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。 (3)与质点速度无关（如摩擦力）。 粘滞阻尼力的分析比较简单，表达式为F R=?y?。 其它形式的阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析，质点上受到的力如图14-8所示。 结构自由振动时的动力平衡方程为0I ReF F F?即，110my y k y?图14-8令，211km?，2km?，则有220y ky y?（14-9）令22221()1kk?（14-10）为有阻尼自振频率。 （1）在小阻尼（k?）的情况下，微分方程的解为?tky yty e ykt?sin cos000?（14-11）sin()kty bet?（14-12）其中22000()y kyby?（14-13）000tanyy ky?（14-14）令k?，称为阻尼比。 22221()1kk?（14-15）通常当1为大阻尼，体系不具有振动的性质，在实际问题中很少遇到。 （3）当=1时的阻尼称为临界阻尼；相应的?值称为临界阻尼系数，用cr?表示，则22crmk m?，22crk mkm?表明阻尼比?即为阻尼系数?与临界阻尼系数cr?之比。 14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动当干扰力()F t直接作用在质点上，质点的受力将如图14-10所示，动力平衡方程为()0I ReF FFF t?即11()my y kyF t?212()yyy Ptm?（14-18）图14-10相应的齐次方程的通解为mF eF RFI F(t)177012(cossin)ty eB tB t?（a）在干扰力为简谐荷载，简谐荷载的一般式可表示为()sin Ft Ft?（14-19）其中?为干扰力的频率，F为干扰力的最大值。 此时微分方程（14-18）为22sinFy yy tm?（14-20）设式（14-20）有一个特解12sin cosy Ct Ct?（b）代入式（14-20）比较t?sin及t?cos前面的系数应为零，可求出C 1、C2。 合并（a）、（b）两式后，再由初始条件确定出B 1、B2后，可得000222222222222222222cossin2()2cossin()4()sin2cos()4tty yyey t tFet tmFttm?（14-21）可知，振动由三部分组成第一部分是由初始条件决定的自由振动；第二部分是与初始条件无关而伴随干扰力的作用发生的振动，但其频率与体系的自振频率?一致，称为伴生自由振动。 由于这两部分振动中都含有因子te?，故它们随时间的推移而很快衰减掉，最后只剩下按干扰力频率?而振动的第三部分，称为纯强迫振动或稳态强迫振动（图14-11）。 o22yt图14-111不考虑阻尼的纯受迫振动无阻尼体系平稳阶段的动位移17822()sin()Fy ttm?（14-22）因此，最大的动力位移（即振幅）为222221()1F FAm m?（14-23）但是，211111km m?，故2111m?，代入上式，得112211stA Fy?（14-24）式中11sty F?代表将振动荷载的最大值F作为静力荷载作用于结构上时所引起的静力位移，而2211stAy?（14-25）为最大的动力位移与静力位移之比，称为位移动力系数。 2考虑阻尼的纯受迫振动取式（14-21）的第三项，后有sin()y At?（14-26）其中振幅2222221()4FAm?（14-27）相位差1222tan()?（14-28）以211111km m?代入式（14-27），则振幅A可写为222222214 (1)stFA ym?（14-29）动力系数1792222221 (1)4?（14-30）几点注意: (1)无阻尼体系在简谐荷载作用下的稳态反应是简谐振动，位移与荷载同时达到幅值；有阻尼体系在简谐荷载作用下的稳态反应仍是简谐振动，但位移滞后动荷载达到幅值。 (2)当/=1（共振）时，不计阻尼时?=，考虑阻尼时?=1/(2)，在共振区之内（0.75/，/1.25）阻尼的影响可以忽略。 共振时（=），弹性力与惯性力刚好互相平衡，有无阻尼均如此。 动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现位移为无穷大的情况。 而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力来平衡动荷载，才出现位移为无限大的现象。 (3)当时，体系振动得很快，加速度很大，因此惯性力很大，弹性力和阻尼力都比较小，动荷载主要与惯性力平衡。 例14-2重量G=35kN的发电机置于简支梁的中点上（图14-14），并知梁的惯性矩548.810I m?，E=210GPa，发电机转动时其离心力的垂直分量为sin Ft?，且F=10kN。 若不考虑阻尼，试求当发电机每分钟的转数为n=500r/min时，梁的最大弯矩和挠度（梁的自重可略去不计）。 解在发电机重量作用下，梁中点的最大静力位移为333395351042.53104848210108.810stGlmEI?故自振频率为图14-14139.8162.32.5310stgs?干扰力的频率为1223.1450052.36060ns?动力系数为Fsin tG2m2mm180222113.452.31()162.3?梁中点的最大弯矩为m kNM MMFstG?69343544104.34435max?梁中点的最大挠度为3333max953(353.410)104484848210108.8104.98104.98Fst stGlFly yEIEIm mm?14-5多自由度结构的自由振动图14-19a所示无重量简支梁支承着n个集中质量1m，2m，nm，若略去梁的轴向变形和质点的转动，则为n个自由度的结构。 可按刚度法和柔度法来建立振动微分方程。 1刚度法列质点的动力平衡方程，以质点im为例，有0i iRim yF?（a）图14-19(e)y j=1k iikjik jikiiy i=1(d)F Ri(c)y1y iyjy n-m iy i(b)y nyjy iy1m nm jm i(a)m1181由叠加原理可得1122Ri i i ii i ij j in nF ky ky ky ky ky?（b）将式（b）代入（a）有11220i i i iin nm y ky ky ky?（c）同理，对每个质点可列出这样一个动力平衡方程，可建立n个方程如下1111112212221122221122000n nn nn n nn nn nm y ky ky k ym y ky ky k ym ykykyky?（14-31）写成矩阵形式为11111211222122221200000nnn nnn nn nm yk k kym yk kkym ykkky?（14-32）或简写为MY+KY=0?（14-33）上式就是按刚度法建立的多自由度结构的无阻尼自由振动微分方程。 2柔度法将各质点上的惯性力看作是静力荷载（图14-20a），任一质点m i处的位移为图14-20y nyjy iy1m nm jm i(a)m11ji iiji-m iy i-m iy i-m ny n-m1y1(b)(c)ij1ij jj182111222()()()()()iii iii iijjjin n ny m y m y m ym y m y?(d)可建立n个上述类似的位移方程11111122212211122222111222000nnnn nnn nnnnn ny mymym yymymym yymymymy?（14-34）写成矩阵形式为11112111221222221200000nnn nnnnnnym yym yymy?（14-35）或简写为Y+MY=0?（14-36）3按柔度法求解设式（14-34）的特解取为),2,1(,)sin(n it Ayi i?，代入式（14-34）可得振幅方程(?21M I)A=0（14-37）频率方程21M-I=0（14-38）求解上述方程得出n个自振频率1?，2?，n?。 将求出的自振频率1?，2?，n?分别代入式（14-37）可得各阶主振型()2(1,2,)kkk n?1M I)A=0?（14-39）4两个自由度的结构两个自由度体系的振幅方程1111122222111222221()01()0m A m AmA mA?（e）183令21?，则频率方程为（f）展开上式得频率计算公式(14-40)从而可得两个自振频率为112211?（14-41）将求得的频率代入位移幅值方程得到主振型第一主振型111 (1)2211 (1)11221mAA m?（14-42）第二主振型111 (2)2222 (2)11221mAA m?(14-43)例14-3试求图14-21a所示等截面简支梁的自振频率并确定其主振型。 解结构有两个自由度，由图乘（图14-21b、c）可得311224243lEI?，312217486lEI?将12m mm?代入（f），并令EImlC4863?，有08778?C CC C015622?C C?，?015?CC?EImlC486151531?，EImlC48632?图14-21(e)A1 (2) (2)A2A2 (1) (1)A1(d)l9229lF2=1(c)M2图M1图(b)(a)l33l lmF1=13m184于是有133114865.6915EI EImlml?2332148622.05EI EImlml?第一振型为 (1)2111111121111 (1)1122122()1A mm mAmm?第二振型为 (2)2211111121112 (2)1122122()1Amm mAmm?5主振型的正交性主振型的正交性是指在多自由度体系和无限自由度体系中，任意两个不同的主振型相对于质量矩阵和刚度矩阵正交。 即()()()0j Ti?A MA(14-44)()()()0j Ti?A KA(14-45)6几点注意 (1)低阻尼体系的自由振动可以不考虑阻尼的影响。 (2)n个自由度体系有n个频率和主振型。 各频率之间的关系是1 (3)K1=，可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。 当计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁，静定结构）；当计算体系的刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。 (4)主振型是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式。 多自由度体系能够按某个主振型振动的条件是初始位移和初始速度应当与此主振型相对应。 (5)为正时表示质量m i的运动方向与计算柔度系数时置于其上的单位力方向相同，为负时，表示与单位力方向相反。 (6)主振型正交性的物理意义体系按某一主振型振动时，在振动过程中，其惯性力不会在其它振型上作功。 因此，它的能量便不会转移到别的振型上去，从而激起其它振型的振动。 即各主振型可以单独出现。 (7)频率、主振型及主振型的正交性是体系本身的固有特性，与外荷载无关。 18514-6多自由度结构在简谐荷载下的强迫振动1位移幅值计算 (1)柔度法建立的振动微分方程为sinPt?Y+MY?（14-46）稳态振动时的振幅方程022110P?M IY(14-47)式中000012Tny yy?Y?，为位移幅值向量；P=1P2PnpT，为荷载幅值引起的静力位移列向量。 求解式(14-47)，可得到各质量的位移幅值0iy，0iy为正时表示质量m i的运动方向与计算柔度系数时置于其上的单位力方向相同，为负时，表示与单位力方向相反。 当(1,2,)kk n?时，2?K M0，由(14-38)可知，此时式（14-47）得到位移为无穷大。 所以，一般情况下，n个自由度体系有n个共振点。 对于两个自由度体系，稳态振动时的位移幅值方程为001111112222xx21112222221()01()0PPm ym ymymy?(14-48) (2)刚度法建立的动力平衡方程（荷载作用在质点上）sin t?Y+Y=F?(14-49)稳态振动时的振幅方程为?20?K MY F(14-50)式中，F=F1F2F nT，为荷载幅值向量。 2惯性力幅值计算惯性力200sin sinIi iiiiIiF mymytFt?，020Ii iiF my?为惯性力幅值。 惯性力始终与位移同向。 186 (1)求得位移后，由020IiiiF my?求惯性力幅值。 (2)如果只求动内力，可不求动位移幅值，直接由下式求惯性力幅值。 10121P?M F0(14-51)两个自由度体系惯性力幅值计算公式001111121212100211122122221()01()0PPF FmFFm?(14-52)求得惯性力幅值I i如为正，表示与计算柔度系数时置于质量m i处的单位力方向相同，为负时，表示与单位力方向相反。 3.动内力幅值计算位移、惯性力、动荷载频率相同。 对于无阻尼体系三者同时达到幅值。 于是可将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按静力学方法求解，即得到体系的最大动内力和最大动位移。 4.对称性的利用振动体系的对称性是指结构对称、质量分布对称，强迫振动时荷载对称或反对称。 多自由度和无限自由度对称体系的主振型不是对称就是反对称，可分别取半边结构进行计算。 对称荷载作用下，振动形式为对称的；反对称荷载作用下，振动形式为反对称的，可分别取半边结构进行计算。 一般荷载可分解为对称荷载和反对称荷载两组，分别计算再叠加。 14-7计算频率的近似法1.能量法结构在振动过程中，具有两种形式的能量，一种是由于具有质量和速度而构成的动能，另一种是由于结构变形而储存的应变能。 由能量守恒原理，结构在无阻尼自由振动过程中的任一时刻，其动能T和应变能V?之和应等于常数，即()()T tV t?常数。 在最大振幅处，动能为0，应变能达到最大；在静力平衡位置，动能达到最大，应变能为0，则有，max max00T V?=常数，亦即，max maxTV?。 以梁为例，假设振动方程为(,)()sin()y x ty x t?187则其速度为(,)()cos()v y x ty xt?动能为222xx1()cos()