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数列大题训练50题 数列大题训练50题1 数列的前n项和为，且满足，.（1）求的通项公式； （2）求和Tn =.2 已知数列，a1=1，点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）函数，求函数最小值.3 已知函数 (a，b为常数)的图象经过点P（1，）和Q（4，8）(1) 求函数的解析式；(2) 记an=log2,n是正整数，是数列an的前n项和，求的最小值。4 已知yf(x)为一次函数，且f(2)、f(5)、f(4)成等比数列，f(8)15 求f(1)f(2)f(n)的表达式5 设数列的前项和为，且，其中是不等于和0的实常数.（1）求证: 为等比数列；（2）设数列的公比，数列满足，试写出 的通项公式，并求的结果.6 在平面直角坐标系中,已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(nN*)，满足向量与向量共线，且点Bn(n,bn) (nN*)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a1,b1与n来表示an;(2)设a1=a,b1=-a,且120，且a2、a5、a14分别是等比数列bn的第二项、第三项、第四项.()求数列an、bn的通项an、bn;()设数列cn对任意的nN*，均有+an+1成立，求c1+c2+c2005的值.20已知数列满足，且（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）设数列的前项之和，求证：。21设数列an的前n项和为=2n2，bn为等比数列，且a1=b1，b2(a2 a1) =b1。（1）求数列an和bn的通项公式；（2）设cn=, 求数列cn的前n项和Tn.22已知函数与函数0)的图象关于对称.(1) 求;(2) 若无穷数列满足,且点均在函数上,求的值,并求数列的所有项的和(即前项和的极限)。23已知函数（1）求证：数列是等差数列；（2）若数列的前n项和24已知数列和满足：，（），且是以为公比的等比数列（I）证明：；（II）若，证明数列是等比数列；（III）求和：25已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，（1）证明数列lg(1+an)是等比数列；（2）设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求数列an的通项及Tn；26等差数列是递增数列，前n项和为，且a1，a3，a9成等比数列， (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项的和27已知向量且.若与共线,（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.28已知：数列满足.（1）求数列的通项；（2）设求数列的前n项和Sn.29对负整数a，数可构成等差数列.（1）求a的值；（2）若数列满足首项为，令，求的通项公式；若对任意，求取值范围.30数列（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若31已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（）、求数列的通项公式；（）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；32已知数列an的前n项和为Sn，且满足（）判断是否为等差数列？并证明你的结论； （）求Sn和an20070209（）求证：33若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数有。（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设集合，若等差数列的任一项是的最大数，且，求的通项公式。34已知点列在直线l：y = 2x + 1上，P1为直线l与 y轴的交点，等差数列an的公差为 （）求an、bn的通项公式；（），求和：C2 + C3 + +Cn；（）若，且d1 = 1，求证数列为等比数列：求dn的通项公式 35已知数列是首项为，公比的等比数列，设，数列满足.（）求证：数列成等差数列；（）求数列的前n项和；（）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围36已知数列an的前n项和为Sn（），且（1）求证：是等差数列；（2）求an；（3）若，求证：37已知（）当，时，问分别取何值时，函数取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；（）若在R上恒为增函数，试求的取值范围;（）已知常数，数列满足,试探求的值，使得数列成等差数列38在数列（I）求数列的通项公式；（II）求证：39设函数f(x)的定义域为，且对任意正实数x，y都有恒成立，已知（1）求的值；（2）判断上单调性；（3）一个各项均为正数的数列an满足：其中Sn是数列an的前n项和，求Sn与an的值.40已知定义在（1,1）上的函数f (x)满足，且对x,y时，有。（I）判断在(1，1)上的奇偶性，并证明之； （II）令，求数列的通项公式；（III）设Tn为数列的前n项和，问是否存在正整数m，使得对任意的，有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，则说明理由。41已知，且（1）求的表达式；（2）若关于的函数在区间（-，-1上的最小值为12，求的值。42设不等式组所表示的平面区域为，记内的整点个数为 。（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）（I）求数列的通项公式；（II）记数列的前n项和为，且，若对于一切的正整数n，总有，求实数m的取值范围。43在数列中，其中 （）求数列的通项公式；（）求数列的前项和；（）证明存在，使得对任意均成立 44设数列an是首项为4，公差为1的等差数列，Sn为数列bn的前n项和，且（I）求an及bn的通项公式an和bn.（II）若成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（III）若对任意的正整数n，不等式恒成立，求正数a的取值范围. 45函数的最小值为且数列的前项和为（）求数列的通项公式；（）若数列是等差数列，且，求非零常数；（）若，求数列的最大项46设数列的各项均为正数，它的前项的和为，点在函数的图像上；数列满足其中求数列和的通项公式；设，求证：数列的前项的和（） 47设数列；（1）证明：数列是等比数列；（2）设数列的公比求数列的通项公式；（3）记；48已知二次函数满足，且对一切实数恒成立.（1）求 （2）求的表达式；（3）求证：.49在数列中，（）若对于，均有成立，求的值； （）若对于，均有成立，求的取值范围； （）请你构造一个无穷数列，使其满足下列两个条件，并加以证明： ； 当为中的任意一项时，中必有某一项的值为1.50对任意都有（）求和的值（）数列满足：=+，数列是等差数列吗？请给予证明；（）令试比较与的大小数列大题训练50题参考答案1 解：（1） ，两式相减，得， ，. （2） =. 2 解 （1）在直线xy+1=0上， 故是首项为1，公差为1的等差数列. （2） 的最小值是 3 解：(1)因为函数f(x)=abx(a,b为常数)的图象经过点P，Q则有 (2)an = log2(n) = log2 = 2n - 5 因为an+1 - an=2(n + 1)- 5 -(2n -5) = 2 ;所以an是首项为-3，公差为 2的等差数列 所以 当n=2时，取最小值 - 4 4 解：设yf(x)kxb( k0)，则f(2)2kb，f(5)5kb，f(4)4kb，依题意：f(5)2f(2)f(4)即：(5kb)2(2kb)(4kb)，化简得k(17k4b)0k0，bk 又f(8)8kb15 将代入得k4，b17 Snf(1)f(2)f(n)(4117)(4217)(4n17)4(12n)17n2n215n 5 （1），所以是等比数列（2），所以是等差数列（3）6 解：(1)点Bn(n,bn)(nN*)都在斜率为6的同一条直线上，=6，即bn+1-bn=6,于是数列bn是等差数列，故bn=b1+6(n-1). 共线.1(-bn)-(-1)(an+1-an )=0,即an+1-an=bn 当n2时，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ +(an-an-1)=a1+b1+b2+b3+bn-1=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2) 当n=1时，上式也成立.所以an=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2).(2)把a1=a,b1=-a代入上式，得an=a-a(n-1)+3(n-1)(n-2)=3n2-(9+a)n+6+2a.120且bn的最大值为; 当n1005时,g（n）1;当n1006时,g（n）单调递增且gmin（n）g（1006）3此时bn0且bn的最大值为;综上：bn的最大值为,最小值为112（1） 等差数列 （2）错位相减，13（I）由已知，得 作差，得。又因为正数数列，所以，由，得（II），所以=14解：（1）2an+12an+an+1an=0 an0, 两边同除an+1an 数列是首项为1,公差为的等差数列 （2）=an1=bn=f(an1)=f()=n+6 (nN)（3） n+6 (n6, nN)= n6 (n6, nN) (n6, nN) Sn= (n6, nN) 15（1） （2）n=5，6，7，8，9 16解：（1）当时， ， 数列为等差数列 （2）由（1）知， 当时， 17解：（1）点都在斜率为6的同一条直线上，于是数列是等差数列，故 （2）共线，当n=1时，上式也成立. 所以 （3）把代入上式，得，当n=4时，取最小值，最小值为18解：（）当时， . ， (n. ，得 ，整理得， . ，即. 故数列是首项为，公差为的等差数列. . （） ， . 19解：()由题意，有 (a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2.而a1=1,d0.d=2,an=2n-1.公比q=3,a2=b2=3.bn=b2qn-2=33 n-2=3 n-1.()当n=1时，=a2,c1=13=3.当n2时，,得cn=2bn= cn=c1+c2+c3+c2005=3+2(31+32+33+32004) =3+2 20(1) 21解：（1）当n=1时 ，a1=S1=2；当n2时，an=Sn Sn1=2n2 2(n1)2=4n2.故数列an的通项公式an=4n2，公差d=4.设bn的公比为q，则b1qd= b1，d=4，q=.bn=b1qn1=2=,即数列 bn 的通项公式bn=。（2）Tn=1+341+542+(2n1)4n14Tn=14+342+543+(2n1)4n两式相减得3Tn=12（41+42+43+4n1）+(2n1)4n=Tn=22(1)(2) 在上 ,当时 等比且公比为,首项为 等比公比为,首项为1 ,所以的各项和为23解：（1）由已知得：是首项为1，公差d=3的等差数列（2）由24解法：（I）证：由，有， （II）证：，是首项为5，以为公比的等比数列（III）由（II）得，于是当时，当时，故25解：（1）由已知，两边取对数得，即是公比为2的等比数列. （2）由（1）知 = 26(1)解：设数列公差为d(d0)a1，a3，a9成等比数列，即 整理得： ， 由得：， (2) 27(1) 取得 得：中的奇数项是以为前项，4为公比的等比数列，偶数项是以的前项，4为公比的等比数列（2）当为偶数时，当为奇数时，28（）验证n=1时也满足上式：（）29（1） 又（2）又 即而30解（1）由题意知：是等比数列（2）由（1）知数列以是a2a1=3为首项，以2为公比的等比数列，所以故a2a1=320，所以a3a2=321，a4a3=322，所以（3）设2得：31解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）（）成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10.32解证：（） 当n2时， 故是以2为首项，以2为公差的等差数列. （）由（）得 当n2时，当n=1时， （）33解：（1），数列是以为首项，-1为公差的等差数列，。（2）由，得。而当时，。（3）对任意，所以，即。是中的最大数，。设等差数列的公差为，则。， ，是一个以-12为公差的等差数列，。34解：（）在直线 P1为直线l与y轴的交点，P1（0，1） ， 又数列的公差为1 （） （） 是以2为公比，4为首项的等比数列， 35解：（）由题意知， （ ） ， 数列是首项，公差的等差数列，其通项为（ ） （）,（ ）,于是两式相减得 . （ ）（） ， （ ）当时，当时，即当时，取最大值是 又对一切正整数n恒成立 即得或 36（1），又 数列是等差数列，且（2）当时，当n=1时，不成立. （3），.左边显然成立.37解：（）当时， （1）时，当时，；当时， （2）当时，当时，；当时， 综上所述，当或4时，；当时， （） 在上恒为增函数的充要条件是，解得 （）， 当时，即 （1）当n=1时，；当n2时， （2）（1）（2）得，n2时，即 又为等差数列， 此时 当时 ，即 若时，则（3），将（3）代入（1）得，对一切都成立另一方面，当且仅当时成立，矛盾不符合题意，舍去. 综合知，要使数列成等差数列，则 38（I）解：由从而由的等比数列故数列 （II） 39140解：（I）令x=y=0，得f(0)=0。又当x=0时，即。对任意时，都有。为奇函数。（II）满足。在上是奇函数， ，即。是以为首项，以2为公比的等比数列。 （III）=。假设存在正整数m，使得对任意的，有成立，即对恒在立。只需，即故存在正整数m，使得对，有成立。此时m的最小值为10。41解（1）（2），。当即时，函数在区间（-,-1上是减函数当时，即，又,该方程没有整数解； 当，即时，解得或（舍去）综上所述，为所求的值42解：（I）由，得或内的整点在直线和上，记直线为l，l与直线的交点的纵坐标分别为，则 （II）当时，且是数列中的最大项，故 43（）