【毕业学位论文】(Word原稿) 量子色动力学关于格点规范理论的研究采用Metropolis方法（Metropolis Algorithms）及C语言程序编程计算格点QCD作用量-光信息科学与技术

摘 要 量子色动力学（ 称 为研究夸克之间强相互作用的规范 场 理论 ， 发展 于上世纪 70 年代， 有杨 称规范场理论）的渐近自由性质 得到证实。 格点规范理论 是研究量子色动力学的非微扰方法 。微扰 限于微扰真空假设和高能、 短距离相互作用， 在低能标度下，强相互作用强度很强，微扰方法失效。而非微扰的格点 法 将量子色动力学建立在离散化的欧几里得时空， 在考虑物理真空的同时，不受相互作用强度大小 的影响 ，选择适当格点间距 ，配合超级计算机，理论上可以得到比微扰近似更精确的解。 本文 引言部分介绍了量子色动力学。基于对强相互作用的学习了 解， 形成了 对 展 的 叙述。作为介绍格点规范理论的首要内容，在该部分 给出了 格点 验证条件、即 连续理论下规范场的作用量 用量。 第二部分 是关于格点规范理论的研究。格点规范理论是现今比较流行的一种非微扰论，得 益于计算机处理能力的不断强大，在计算机上模拟 计算结果越来越接近理论值。格点 思想来源于肯尼思威尔逊 （ ，他将连续的时空离散化，把时空定义在格点上 ，对格点上计算的结果采用极限 方法回归到真实的连续时空。 在介绍格点 型之后，基于该模型计算格点 作用量 理论值 ，最后对作用量取连续极限，发现它与 用量一致。 第三部分 围绕格点 数值模拟方法介绍。本文采用 法（ C 语言程序编程计算格点 用量。结合该方法，本文对格点 最后 将给出实际的计算结果， 对计算结果进行分析、给出计算值与理 论值的分析比较。 在文章最后 对论文进行了分析总结 。 关键词 量子场论 强相互作用 格点 值方法 目 录 1 引言 . 1 识强相互作用 量子色动力学开始的地方 . 1 原子核中的强相互作用力 . 1 用 “场 ”武装的强相互作用 . 2 现强相互作用理论 汤川秀树的介子交换理论 . 2 子色动力学 更深层次的强相互作用 . 2 从强子到夸克 . 2 夸克与胶子 . 3 量子色动力学及连续 用量 . 4 渐近自由和夸克禁闭 从微扰走向非微扰 . 5 渐近自由 . 5 夸克禁闭 . 6 2 格点规范理论 . 7 格点 型 . 7 模型基本量 . 7 纯规范场下的格点 . 7 从 用量到 . 8 3 用 法研究格点规范理论 . 11 法 . 11 法在格点上的计算 . 12 模拟问题 . 12 计算机模拟原理 . 12 计算机模拟步骤 . 13 计算机模拟结果 . 15 4 结论 . 16 致 谢 . 18 参 考 文 献 . 19 1 1 引言 自然界存在四种基本的相互作用力，它们分别是引力相互作用、电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用。 范场论 是 研究这些相互作用的基本理论 。其中，引力相互作用在短距离情况下相比其他的三种相互作用、影响极小，几乎无法感受到引力的存在，理论上很难在小尺度范围内对引力相互作用进行研究。对于电磁相互作用和弱相互作用， 20 世纪 50 年代，确立了电磁相互作用的规范理论量子电 动力学（ 称 随后 1967 年， S. A. 出了电磁相互作用和弱相互作用统一理论 (黄涛， 2011)，该成果后于 80 年代得到实验证实 。 至此，关于强相互作用的规范场理论 为了最为年轻的理论 。 1973 年，普林斯顿的戴维格罗斯（ 他的学生弗兰克威尔茨克（ 成的小组和哈佛大学的研究生戴维波利茨（ 别在 出了强相互作用存在渐近自由性质 (华生， 2008；黄涛， 2011)。这一成果使得量子色动力学研究强相互作用的夸克胶子模型得以确定 ，被认为是 论确立的基础 。三位科学家也因此共享了 2004 年诺贝尔物理学奖。 物理学家固然希望将弱电统一理论和 论构建 自然界相互作用的 大统一理论，但在这之前， 论的研究完备 显然已 成了当下理论物理的一个热点。 而伴随着科技水平的不断发展壮大， 超级计算机强大的数据处理能力给格点 发展带来了条件，格点 低能标度下微扰方法失效后提供了新的方法 。本文将简单运用法计算格点 过，我们要从 了解强相互作用 开始 。 认识强相互作用 量子色动力学开始的地方 原子核中的强相互作用力 大自然 中有 一种强相互作用力 ，它存在于原子核范围内 。 在研究自然界最小粒子的过程中，人们的视野不断深入：从原子、原子核到核子（质子与中子的统称）。于是，人们 深入到原子核尺度下的量子范畴， 开始思考质子与中子怎样形成原子核这一问题 。毕竟质子是带有一个电荷的，质子之间理应存在电磁力。加上组成原子核的中子显然不带电荷，又怎会和质子聚集在一起。这就是 强相互作用力，它克服了电磁力的排斥作用，将质子和中子聚合成原子核。之所以说是“强”，显然是因为它足以克服强大的电磁力。 实验上对强相互作用的认识是在 20 世纪 30 年代中期，一篇“高能”加速器质子 散射实验的论文，让人们意识到质子行为不同于点电荷，自然界存在区别于弱电相互作用的 相互作用。 用“场”武装的强相互作用 在 论中，强相互作用力实际上存在一个由经典到量子化的转化过程。 从“强相互作用力”到“强相互作用”， 开了经典的“力”，而是采用了量子场论中最基本的概念 “场”来解释“力 ”产生的原因。 量子场论的其中一个重要分支，用“场”的思想解释强相互作用无可厚非 。不同于经典的时空，质子与中子所处的空间中弥漫着看不见的“场”，不同位置的“场”都会随时间的变化而变化，这也就构成了关于强相互作用的 动力学。 发现强相互作用 理论 汤川秀树的介子交换理论 1932 年，费米（ 德裔美国物理学家汉斯贝特（ 出用交换光子流来解释带电粒子之间相互作用的思想 (华生， 2008)，之后 日本物理学家汤川秀树（ 这种思想发展成第一套有关强力的场 论。 1935 年汤川提出了质子和中子通过交换一种未知的介子（其质量介于质子和电子之间）形成原子核内很强的束缚力，这种介子称为 介子，其质量大约为 100涛， 2011)。这就是最早发现的强相互作用 。 一方面，汤川的强相互作用可以和电磁相互作用类比，电磁相互作用的相互作用强度以电荷 e 标记 ，而强相互作用中的相互作用 强度则以 g 标记。然而当人们将汤 川理论与核力实验相比较时就发现有效相互作用强度远远大于 1， 2 1 4 ( 1)4g ，这要比电磁相互作用 2 14 137e 大得多，因此微扰理论不再适用，高阶 项的贡献不仅不能忽略，而且作为修正项将严重影响计算结果的准确值 (黄涛， 2011)。 另一方面，物理学家意识到 介子本身不是最基本的粒子，作为携带强相互作用的粒子 ，它并不是唯一的。关于携带强相互作用的粒子，它们有着更深层次的联系。 量子色动力 学 更深层次的强相互作用 从强子到夸克 汤川强相互作用理论中，交换介子作用于核子之间。但是对于 一标准模型理论， 不能就此确立，如今 可以简单地说，因为汤川强相互作用理论基于的粒子间3 相互作用还不能算是强相互作用中的最基本粒子间相互作用。 关于寻找强相互作用的最基本粒子，构建现在所知道的夸克模型，最初离不开两方面的原因。 （ 1）质子 并 非 “ 点粒子 ” 可以说“质子并非点粒子”其实是在一开始研究强相互作用时就已经被物理学家意识到了的事实，也就是之前提到在实验上认识强相互作用时。该实验用粒子加速器将750质子射向氢原子靶，从拍下的大约 25 万云室轨迹中可以找到约 160 次的碰撞(华生， 2008)。之后实验的结果被发表了，那篇论文其实就是加利福尼亚大学的密尔顿怀特（ 1935 年发表于物理评论（ 的 (华生， 2008)。论文发现了人们希望找到的质子 得以使人在发现强相互作用力的同时理解到质子区别于电子的“点粒子”状态。 （ 2） 粒子 的 大爆发 在 20 世纪 50 年代， 加速器实验的发展势头强劲 。 1952 年第一台质子同步加速器 3布鲁克海文质 子同步加速器 始运行 ， 同年欧洲粒子物理实验室（ 立 。 之后 ， 1954 年 6质子同步加速器 伯克利质子加速器 957年 的 杜布纳 101959年 8 1960年 33鲁克海文 子同步加速器 相继投入使用 (华生， 2008)。 发展迅猛的加速器实验 加上一些宇宙射线 实验 为新粒子的发现提供了强大的设备支持。 短短的 10 年，从费米提出 粒子 共振到 在 速器中发现与核子相对应的反粒子， 新粒子的发现仿佛一触即发， 至 60 年代中物理学家们陆续发现了 60 多种参与强相互作用的粒子。 于是， 如何对诸多粒子进行分类成了迫切的需要。 有了以上（ 1）（ 2）的情况， 人们很难再将类似核子这样参与强相互作用的粒子当作是基本粒子，既然质子并非“点粒子”，而且这些粒子又如此繁多，物理学家开始寻求更深层次的基本粒子，期望能通过更基本的粒子对这些粒子进行分类。 对于 强相互作用 的研究自然而然地使人们从汤川秀树的介子交换理论中深入到核子 范围， 而这正孕育了一套年轻的理论 量子色动力学。 夸克 与 胶子 在介绍夸克与胶子之前，我有必要简单说明一下：从汤川秀树的介子交换 理论到深入核子内的量子色动力学，人们引入了更加基本的粒子： 夸克 (胶子 ( 这里 对过程 不作 具体 讨论 。 (1)夸克和 3 色 6 味 4 夸克是研究强相互作用的规范理论中的基本粒子。 1964 年， 芝加哥大学的讲师 默里盖尔曼（ 和加州理工学院的乔治茨威格（ 出夸克（茨威格称其为 强子的基本组成成分 (华生， 2008)。夸克的自旋是 1/2，是一种带有色荷的费米子。 目前 知道的有六种不同味的夸克：上、下、粲、奇、顶和底夸克，分别用 u， d， c， s， t 和 b 表示，夸克 还具有颜色属性，可以携带的色有 三种：红、绿、蓝 ，分别用 R， G， B 表示 。 这里的色其实只是夸克的一个量子数，与颜色无关。 (2)胶子 和 八重态 胶子属于规范玻色子，但胶子和夸克一样可以携带色荷，因此不同于阿贝尔 论中的光子，胶子与胶子之间可以直接发生相互作用，研究夸克或胶子间强相互作用的论实际上属于非阿贝尔理论。关于这一非阿贝尔理论，科学家找到了 ) 群作为 论的群，它含有 8 个独立的参数，在 对应 8 种守恒的荷，对应着携带8 不同荷的胶子。也就是说，在 论中，存在有 8 种不同的胶子，共同构成了胶子的八重态。 量子色动力学 及 连续 用量 量子色动力学是研究夸克和胶子的强相互作用规范理论， 其基本粒子为夸克和胶子，以 ) 群为规范群，夸克之间传递强相互作用的粒子是胶子。 这里设费米子夸克的场量为 ()f， f 为味指标、 为色指标；设玻色子胶子的场量为 a 为色指标， 为 足定域规范不变性的经典的色动力学拉氏密度为 (何汉新， 2009)： ()( 0 ) ( ) ( ) i )4fa f fa F D m (其中 i 2a a a a b c b A g f A AD g A (这里 g 是 ) 规范场耦合常数， () f 味的夸克质量，2a 为 ) 群生成元， a 的矩阵表示为 阵： 5 1 2 3 45 6 7 80 1 0 0 i 0 1 0 0 0 0 11 0 0 i 0 0 0 - 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 010030 0 - i 0 0 0 0 0 010 0 0 0 0 1 0 0 - i 0 03i 0 0 0 1 0 0 i 020 0 阵满足： T r 2 , ( , 1 , , 8 )ab ab (由公式（ 以知道 ，在 用量中既包括了夸克与胶子的相互作用，也包含了胶子与胶子之间的相互作用，因为夸克和胶子都可以携带色荷。此处，针对纯规范场理论、我们只考虑胶子之间的相互作用，可以得到连续 论的作用量，也即： Y - M i l l s 14 F (本文稍后的格点理论即通过验证该作用量来证明格点理论中选取的作用量的正确性。 渐近自由和夸克禁闭 从微扰走向非微扰 渐近自由 渐近自由的开端是： 1965 年两位苏联物理学家弗拉德米尔范尼亚金（ 米哈依特伦特夫（ 计了一套 型理论，他们在计算过程中注意到相互作用强度随距离缩短而减弱 (华生， 2008)。到了 1972 年格罗斯等人发现 的渐近自由，则确立了 论的基础。 近自由意味着：夸克之间的距离越近，他们之间胶子传递的强相互作用越弱，高能标度下，夸克行为越来越接近于自由粒子。 渐近自由也可解释为 合常数 ()g 随着重整化标度 的增加而减少 (何汉新，2009)： 6 35012 2 2d ( ) ( ) ( )= = d 1 6 (1 6 )g g （ () ） (其中 函数可以 利用微扰方法 求得分解系数： 012113381023(其中”数 ，将0代入（ 忽略1的项，可得方程的解为 (何汉新， 2009)： 2 220 Q C l n ( / )S (加上1的影响，可得（ 的解为 (何汉新， 2009)： 2222 ) 2S 2 2 2 2 26 ( 1 5 3 1 9 ) l n l n ( / )12( ) 1( 3 3 2 ) l n ( / ) ( 3 3 2 ) l n ( / ) (这里 2 /4S g 由 ( (，在 6，若标度 趋于无穷大，则跑动耦合常数相关的2()S和 (2) 2S ()都趋于零，也就是说在无限大动量极限下（因标度 常写为动量 Q ），夸克的相互作用消失，夸克表现为自由粒子，即夸克具有渐近自由性质。 夸克禁闭 从渐近自由到夸克禁闭是量子色动力学由微扰走向非微扰的过程。 前面讲到渐近自由是由于标度 趋于无穷大，同样针对 (当标度 减小 到22 时， 2()S的值趋于无穷大，这也就意味着夸克与夸克之间的色相互作用无穷大，夸克与夸克之间不能单独分开，夸克产生“禁闭”。因此，自然界未发现 单个带色荷的自由夸克。 可见，标度 影响到了夸克两种截然不同的特性。在渐近自由状态下，跑动耦合常数 2()S可按微扰级数展开计算，然而在夸克禁闭状态下， 22， 跑动耦合常数不够小， 微扰论中计算耦合常数的微扰级数属于渐近级数，微扰论失效。于是，人们 只能7 通过一些非微扰方法解决，而接下来将要据介绍的格点 是一种非微扰的计算机模拟方法。 2 格点规范理论 格点 型 模型基本量 在欧氏时空内将时空离散化可以得到 格点模型。 定义格点： 我们把其中的一个格点标记为 n ，在不同的时空方向上，格点间的最小距离为该方向上的矢量单位，相应的单位矢量可以表示为 , , , ，因此可以确定格点 , , ,n n n 定义场量：我们把 的费米子夸克场和规范胶子场分别定义在格点及格点间的链节（格点间矢量）上，其中夸克固定在格点上，相应的费米子场用 表示，胶子在夸克间传播形成规范场，我们用 A表示规范场 0,1, 2, 3 ，格点间矢量的方向即胶子的传播方向。 纯规范场下的格点 定义了格点基本量之后，我们暂不考虑夸克，从而讨论纯规范场情况下的格点了更好地计算格点 们定义格点间的矢量为键变量，即格点 n 与 n 间的键变量为 ( , )U n n ，也作 ()即表示在格点 n 上沿 方向的键变量 ，其物理意义表现为格点 n 和 n 之间规范场 A路径积分 (黄卓然， 1994)： +( , ) e x p i g ( )n n P A x d x (这里 ( ) S U ( )U n N 规 范群，定义键变量 是幺正的 (何汉新， 2009)： 1( , ) ( , ) ( , )U n n U n n U n n (由于幺正矩阵可写为某一虚矩阵的指数，因此有 (何汉新， 2009)： ( , ) e x p ( i ( ) )2 a n n a g A n (这里 g 为耦合常数， a 为 )N 群的生成元 。 将四个连续闭合的键变量 可以 组成 格点空间内的一个最小单元， 相邻格点间的格点8 距离为 a ， 定义 这个最小单元 为一个方块 U ， 或则有 (华生， 2008；何汉新， 2009)： 1 2 3 4( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ) ( ) ( ) ( ) n n U n n U n n U n nU n U n U n U n (其中， 1( ) ( , ) ( , )U n U n n U n n (以下是一个方块模型： 图 1 格点方块及其格点、键变量 纯规范场中的格点方块已经完全没有了夸克场的影响，是格点 算中最简单的情况，我们将针对这一情况研究 用量及连续极限，从中发现格点 型的正确性。 从 用量 到 用量 前面已经介绍了格点 型， 接下来，将在格点 型上定义 用量，并计算格点上的 用量来对比连续理论下的 用量 。 纯规范场下，针对一个格点方块，方块的 用量定义为 (1994)： 1 ( T r T r ) 12 T r 1 U (也即： n n n n ()() () 9 1 T 21g (由 (知： ( ) ( ) ( ) ( ) n U n U n U n (又由 ( +( ) ( , ) e x p i g ( )n U n n P A x d x 及算符运算定理 (何汉新， 2009)： ( ) ( ) ( )a a av v vA n A n a A n (综上可知： 3( ) e x p i g ( ( ) ( ) )2e x p ( i g ( ) ) e x p ( i g ( ) )22e x p i g ( ) ( ) e x p ( i g ( ) )22e x p i g 2 ( ) ( ) + ( ) )2aU n P A n A n A n a A n A n a A n a （ ）（(类似可得 (黄卓然， 1994)： 333( ) e x p ( i g 2 ( ) ( ) ( ) )2( ) e x p ( i g 2 ( ) 2 ( ) ( ) + ( ) )2( ) e x p ( i g 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) )2v v v vv v v v n v A n a A n n A n a A n a A n n v A n a A n a A n a (又因为： 1e x p e x p e x p ( , )2A B A B A B 其中 A、 B 表示算符。 故 由 ( (得： 10 223223( ) ( ) = e x p i g 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) , ( ) + ( )2( ) ( ) = e x p i g 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) , ( ) + ( )2v v v v v v v n U n A n A n a A n a A n a A n A n n v U n v A n A n a A n a A n a A n A n a （）（ -）将以上结果代入 (可得： 2 2 2 32 2 2 2 3( ) ( ) ( ) ( )= ( ) ( ) ( ) ( )= e x p i g ( ) ( ) g ( ) , ( ) ( ) e x p i g ( ) ( ) i g ( ) , ( ) ( ) v v vv v v n U n U n U nU n v U n v U n U n A n a A n A n n A n a A n A n a - -(又因为 (何汉新， 2009)： ( ) ( ) ( ) i g ( ) , ( ) v v v vF n A n A n A n A n (把 (入 ( 2e x p ( i g ( ) )U a F n ( 2,422,42,241 T r e x p i g ( ) 1 T r 1 + i g ( ) ( ) ( ) 21( ) ( )224 n F n F n F F (0a 时离散的时空变成了真实的连续时空， 加上条件：21g ， 3S Ld ， 可以得到 连续的 欧氏空间下 的拉氏量 为： ,14 F (对比 (连续 用量， 发现相差一个负号，这是由于 论11 采用的是更简洁的 闵可 夫斯基空间坐标，该种形式的坐标为 1 2 3 4, , ,x x x x。然而格点 , , , )x y z t 。尽管两者有所不同，但是仍然存 在以下关系： 1 2 3 4, , , ix x x y x z x c t 欧几里得拉格朗日量与闵可夫斯基拉格朗日的关系为： i|E M (可见， 在连续极限下 ( 0a )，我们利用格点 算得到的纯规范场拉格朗日作用量与 论的拉格朗日作用量保持一致： Y - M i l l s,14 F F L (3 用 法研究格点规范理论 法 前面介绍格点规范理论主要说明：格点 型及连续极限下由纯规范场 论一致的作用量。由此也只是大体了解格点规范理论，知道在研究 微扰法失效后，有这样一种非微扰的方法正在填补 究的缺陷。然而，更为重要的是，这样的理论必须与物理量有联系，我们应该可以用这种理论解决最实际的问题 求解物理量。 法是在格点上求物理量的一种简单处理方法，属于 法中的一种重要抽样方法，在处理格点时主要涉及到格点组态的更新 (利用格点上的组态求解物理量 ( （ 1） 为了更好地对 法进行说明，可尝试先了解如何利用格点上的组态求解物理量： 通常情况下，组态 U 是被随机定义在格点上的，为了求解相关的物理量，我们 先引入物理量对应算符 F 的期望值 (黄卓然， 1994)： /d d d U F e Z (关 于 应用到格点 上的组态， 当组态数目较大时， 我们可以 以格点离散的形式得到近似的表达式 (罗向前，刘岩， 2006)： ()1 () U (12 上式 可以看到，要求得相应的表达式必须对所有组态进行求和。不管怎么说，这是不太现实的，在统计物理方面，人们选择“重要抽样”的思想，只对贡献较大的组态进行求和，对于贡献较少的部分则省略掉。 这样，物理量可以通过求选取的组态平均值 得到。 （ 2） 组态的选择取决于玻尔兹曼因子 (即 () ， 法中通过 现组态的选择： 假设更新前 的组态和更新后的组态分别为： U 和 U ，二者满足： () e (其中， ()是组 态从 U 变化到 U 所产生的作用量的变化量，并且 (的玻尔兹曼因子 () 满足 (1992)： ( ) ( )m i n 1 , S U S (组态更新与否并非完全确定的，组态 U 以一定的概率确定是否更新为 U ，用()P U U 表示这一概率，则 ()P U U 满足： ()10()0f Ue i f S (通常，由于组态的初始化是通过随机数实现的，所以组态的更新需要进行一定的时间才能达到合理的状态，即组态的分布需要一定次数的更新之后才能满足重要抽样条件。法的关键也在于找到合适的系统组态，之后再在该系统组态下 ， 计算相关的物理量。 法在格点上的计算 模拟问题 本文解决的问 题是：用 法研究 1+1 维 出平均作用量与 的函数关系， 同时模拟计算对应平均作用量的理论值，将理论值与格点 算 的 程序 结果进行比较 ，拟合出相应的图形 。 问题的关键是利用 用量进行计算机模拟，得到 与平均作用量的关系。 计算机模拟原理 本文利用计算机进行程序模拟涉及到的主要原理为 ：纯规范场 的 用量、13 法。 计算机模拟步骤 计算机模拟的过程主要分为四个步骤： (1) 确定格点的初组态 为了计算格点的方块平均值，我们需要确定格点最初的组态。包括格点的大小和格点上的规范场作用量。 格点的大小可以根据实际计算确定，通常为了减少运算量，可以用 44 的格点验证程序的可行性。格点的大小 可以改变 ， 如 16 16 、 32 32 等。 程序模拟中通过函数 产生一组 01 之间的随机数 来确定各个格点上的规范场作用量 U。 具体的表达式满足： , e x p 2 r a n d ( ) x y (2) 格点组态的更新 格点组态的更新是为了得到一个相对平衡的格点系统，主要通过 法条件来进行更新组态。 用另一组随机数产生一个新的组态，假设该组态为 U 。另假设待更新的组态 U 与另外 3 个组态1 2 3 ，即更新前有： 1 2 3=U U U U U(将新的组态 U 代替 (的 U ，可以组成另外的一个方块： 1 2 3=U U U U U(将 ( (别代入 (可以计算得到两个方块的作用量 ， 的值已知 。 根据 法原理，比较两个方块的作用量的变化： a 如果新的组态产生的方块作用量比原组态构成的方块作用量小，则用新的组态 U 代替原 来的组态 U ； b 如果新 的组态产生的方块作用量比原组态构成的方块作用量大，则可能用新组态 U代替原组态 U ，也 可能保持原组态 U 不变。 以上即完成了一个组态的更新，运用同样的方法对格点系统中的每一组态进行更新，可完成一次整个格点系统的组态更新。 通常情况下，格点的更新需要反复进行 ，才能得到尽可能准确的规范场分布，从而14 进行作用量计算。 (3) 格点作用量平均值的计算 a 格点系统的预热过程：在计算作用量平均值之前，先根据步骤（ 2）对格点系统更新 200 次； b 计算一个格点系统的总作用量：完成 200 次格点系统更新后，在最新的规范场分布下利用 (算每个方块的作用量 ，求和得到一个总的作用量； c 持续计算一组格点系统的总作用量：计算出一个格点系统总的作用量后，按步骤（ 2）继续更新格点组态，每完成 5 次格点系统的更新计算一个系统总的作用量，总共计算 500个格点系统总的作用量； d 计算一个格点方块的作用量平均值： 对所求的 500 组格点系统总作用量取算术平均可得到格点系统的总作用量平均值，再除以格点系统的格点方块数量，即可得到单个格点方块的作用量平均值。 (4) 均匀改变公式 ( 的值，重复步骤 (1)(2)(3)。 程序中 的取值范围为 0,6，为了得到有效的拟合曲线， 的取值间隔越小越好，这里以 取值间隔，得到多组 值下对应的格点方块作用量平均值。 (5) 求作用量的理论值 为了从实验上验证格点 法的正确性，我们在得到格点 用量的平均值后，需要计算出它的理论值，从而 能 进行 结果比较。 作用量的理论值为： 10()R e ( )