多彩课堂高中数学 2.4.2 抛物线的简单几何性质 课时2课件 新人教A版选修21.ppt

2 4 2抛物线的简单几何性质 2 2 4抛物线 利用探照灯 汽车前灯的反光曲面等生活中的实物进行新课导入 在前一节课学习抛物线的基础上 继续学习抛物线的通径和焦半径 直线与抛物线的位置关系等等 激发学生的数学应用意识 运用类比的思想 类比椭圆 双曲线的性质学习抛物线的通径和焦半径 直线与抛物线的位置关系 例1是关于抛物线的证明问题 例2是探寻直线与抛物线的交点个数问题 运用根的判别式法 例3运用了设而不求和点差法 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 0 0 e 1 探照灯 汽车前灯的反光曲面 手电筒的反光镜面 太阳灶的镜面都是抛物镜面 抛物镜面 抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面 灯泡放在抛物线的焦点位置上 通过镜面反射就变成了平行光束 这就是探照灯 汽车前灯 手电筒的设计原理 平行光线射到抛物镜面上 经镜面反射后 反射光线都经过抛物线的焦点 这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据 抛物线的通径和焦半径 1 通过焦点且垂直对称轴的直线 与抛物线相交于两点 连接这两点的线段叫做抛物线的通径 pf x0 p 2 f p 通径的长度 2p p越大 开口越开阔 2 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径 焦半径公式 下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式 3 相交 一个交点 两个交点 直线与抛物线的位置关系 问题1 直线与抛物线有怎样的位置关系 1 相离 2 相切 与双曲线的情况一致 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的对称轴平行 重合 相交 一个交点 计算判别式 问题2 如何判断直线与抛物线的位置关系 通过焦点的直线 与抛物线相交于两点 连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦 f a 焦点弦 焦点弦公式 下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦点弦公式 b y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 0 0 0 0 0 0 0 0 x y o a b d f l 典例展示 例1 过抛物线焦点f的直线交抛物线于a b两点 通过点a和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点d 求证 直线db平行于抛物线的对称轴 关于过焦点弦还有一条性质 请大家思考 x y o f a b d y2 4x 分析 用解析法解决这个问题 只要讨论直线l的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况 由方程组解的情况判断直线l与抛物线的位置关系 解 由题意 设直线l的方程为y 1 k x 2 1 当k 0时 由方程 得y 1 综上 我们可得 变式训练 一个顶点在坐标原点 焦点在x轴上抛物线截直线2x y 4 0所得弦长为 求抛物线的方程 当焦点在x y 轴上 开口方向不定时 设为y2 mx m 0 x2 my m 0 可避免讨论 例3 正三角形的一个顶点位于坐标原点 另外两个顶点在抛物线y2 2px p 0 上 求这个正三角形的边长 分析 如图 设正三角形oab的顶点a b在抛物线上 且它们的坐标分别为 x1 y1 和 x2 y2 则 2px1 2px2 故这个正三角形的边长为 本题利用了抛物线与正三角形有公共对称轴这一性质 但往往会直观上承认而忽略了它的证明 a 2 过抛物线y2 8x的焦点 作倾斜角为45 的直线 则被抛物线截得的弦长为 a 8b 16c 32d 61 b c 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系 相交 相切 相离 相交 直线与抛物线交于两个不同点 或直线与抛物线的对称轴平行 重合 相切 直线与抛物线有且只有一个公共点 且直线与抛物线的对称轴不平行 重合 相离 直线与