【毕业学位论文】（Word原稿）布朗运动相关的概率分布研究-信息与计算科学

本科毕业论 文 （ 2007 届） 题 目 布朗运动相关的概率分布研究 学 院 理学院 专 业 信息与计算科学 班 级 学 号 学生姓名 指导教师 完成日期 2007 年 6 月 杭州电子科技大学本科毕业论文 摘 要 布朗运动作为具有连续时间参数和连续状态空间的一个随机过程，是一个最基本、最简单同时又是最重要的随机过程。许多其他的随机过程常常可以看作是它的泛函或某种意义下的推广。它又是迄今了解得最清楚，性质最丰富多彩的随机过程之一。 今天，布朗运动及其推广已广泛地出现在许多 纯科学领域中，如物理，经济，通信理论，生物，管理科学与数理统计等。同时，由于布朗运动与微分方程有密切的联系，它有成为概率与分析联系的重要渠道。 本文由 四 个部分组成。 第一章绪论主要介绍了布朗运动的历史背景 和应用概述 。 第 二 章详细的介绍了布朗运动 的 程、鞅性质、 和最大值变量以及反正弦律。 第三章详细阐述了 动相关的几种变化。 关键词 ： 布朗运动 ；随机过程； 杭州电子科技大学本科毕业论文 s a of is a it is be as or of So it is of is we of as is it of a of is on is of 州电子科技大学本科毕业论文 目 录 1 绪论 . 1 朗运动的发展简史 . 1 朗运动的应用概述 . 1 2 布朗运动的基本概念和性质 . 6 朗运动的基本概念与性质 . 6 程 . 11 动的鞅性质 . 12 动的 . 14 动的最大值的分布及反正弦律 . 16 3 布朗运动的几种变化 . 20 . 20 漂移的布朗运动 . 22 某点被吸收的布朗运动 . 29 点反射的布朗运动 . 30 何布朗运动 . 30 4 总结 . 32 致谢 . 33 参考文献 . 34 杭州电子科技大学本科毕业论文 1 1 绪论 朗运动的发展简史 布朗运动（ 称 程，为最早被彻底被研究的一个过程，与 程同为应用概率中最重要的两个过程。 布朗运动作为物理现象，首先由英国著名植物学家布朗于 1827 年用显微镜观察到悬浮在水中的花粉颗粒在液面上的“无规则运动”而提出，不过布朗并非第一位提出此现象存在的人，从 17 世纪开始，荷兰博物学家 6321723)以及后来的许多科学家都先后注意到此现象。但布朗的探讨引起科学 界的重视，因此后来便以布朗运动称呼此现象。布朗之后科学家相继研究，并对布朗运动的产生提出解释。起初科学家以为布朗运动的产生是由于粒子本身是“活”的，但法国物理学家 8541912)以为这样违反了热力学第二定律。今日我们知道布朗运动之所以产生，乃是因粒子被其四周的分子连续不断的撞击所造成的一种运动（在溶液中于正常的情况下，一特定的粒子每秒约受到 1020 次的撞击）。 维纳是第一个从数学上深刻地研究布朗运动的数学家。 1921 年，他用函数空间的点来表示作布朗运动的粒子的路径，并证明，所有这些路径除 了概率为 0 的集合外，都是连续但又不光滑即几乎处处不可微的。他运用勒贝格积分计算了这些路径上函数的平均值。 1923 年，维纳第一次给出随机函数的严格定义，证明可以是布朗运动的理论模型。维纳从样本路程的观念出发，研究 “路径 ”的集合，引进维纳测度，揭示了连续而不可微函数的物理特征，故布朗运动又称维纳过程。 后来 1945 年爱因斯坦对这种 “无规则运动”作了物理分析，并首次提出了布朗运动的数学模型。这个模型给出了布朗运动应该遵从的概率分布。 人进一步研究了布朗运动的轨道性质。这些性质异常深刻而奇 特 （例如，布朗运动沿几乎所有的轨道都是处处连续而处处不可微的），与以前分析学的常见的光滑函数迥然不同。 函数空间出发，在它上面定义了一个概率测度，使得其坐标过程为布朗运动，后人把这个空间称为 间。此后对布朗运动的研究深入发展，又逐渐深入到概率论与数学分析的各个领域中去，成为现代数学的重要基础。 朗运动的应用概述 布朗运动的应用绝对不仅仅在于说明物理上的“分子永不停息的作无规则的运动”它在实际中还有很多的应用。例如最佳时机的选择问题，统计学家们研究了布朗运动的统计规律，他们发 现如果用随机过程的观点来研究布朗运动，那么杭州电子科技大学本科毕业论文 2 一个布朗运动实质上可以看成一个服从正态分布的独立增量过程，而事实上，布朗运动是这样的随机过程中的最简单、 最 重要的特例。许多不同类型的重要的随机过程都可以看成是它的泛函或某种意义下的推广，而且它又是我们研究的最多、了解的最清楚，性质最丰富的随机过程之一。因此认识并熟悉布朗运动的性质可以给其他较一般的随机过程的研究提供必要的感性认识与启迪。从应用角度来讲，由于自然科学，工程科学，技术管理的等广泛的领域中都有“噪声”与涨落现象存在，他们往往涉及布朗运动，也就需要布朗运动的 理论；又由于布朗运动与热传导方程有密切的联系，使它成为概率论与分析联系的重要纽带：它还被用来作为概率论与数学的其他分支研究的重要工具，例如 60 年代中期以来发展起来的以布朗运动研究极限定理的方法 （即所谓的 入与 等）与以布朗运动即多指标的布朗运动研究调和分析，。总之，布朗运动的理论是重要而基本的。 将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意义的金融创新，在现代金融数学中占有重要地位。迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的 ，随机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。 1900 年法国的巴施利叶（ 博士论文投机理论中将股票价格的涨跌也看作是一种随机运动，所得到的方程与描述布朗粒子运动的方程非常相似。第一次给予布朗运动以严格的数学描述。但由此得到的股票价格可能取负值，显然与实际不符。遗憾的是，他的工作在当时并未引起重视，直到半个世纪后人们才发现其工作的重要性，从而开创了理论金融经济学新时代。952)发表投资组合选择理论； 954)提出一般经 济均衡存在定理； 959)把随机数游走和布朗运动的概念带入股市研究；以及稍后的 964)和 965)、 966)等的资本资产定价模型 ( 970)的有效市场理论 ( 973)和 973,1992)的期权定价理论（ 型）； 1976)的套利定价理论 (至此，源于布朗运动的理论金融经济学（ 数理金融学）的大厦（体系）就完全成形。 布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。 现代 资本市场 理论认为证券期货价格具有随机性特征。这里的所谓随机性，是指数据的无记忆性，即过去数据不构成对未来数据的预测基础。同时不会出现惊人相似的反复。随机现象的数学定义是：在个别试验中其结果呈现出不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。描述股价行为模型之一的布朗运动之维纳过程是马尔科夫随机过程的一种特殊形式；而马尔科夫过程是一种特殊类型的随机过程。随机过程是建立在概率空间上的概率模型，被认为是概率论的动力学， 即它的研究对象是随时间演变的随机现象。所以随机行为是一种具有统计规律性的行为。股价行杭州电子科技大学本科毕业论文 3 为模型通常用著名的维纳过程来表达。假定股票价格遵循一般化的维纳过程是很具诱惑力的，也就是说，它具有不变的期望漂移率和方差率。维纳过程说明只有变量的当前值与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式则与未来的预测不相关。股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性 (of 一致，也就是说，一种股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价格记录。但是当 人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。 下面介绍布朗运动的 实施股票期权 这个方面的应用。 假设我们计划在将来的某个时刻以固定的价格 A 购买一股股票的期权，与现在的市价无关。股票现在的市价取为 0，并假设他的变化遵循有负漂移系数( 0)布朗运动过程。问题是什么时候（若迟早要做）实施期权？ 考虑在市价为 x 时的实施期权策略。在此策略下我们的平均所得是 ( )( )P x x 其中 ()x 的概率。有 2() e m=过 程 迟 早 上 升 到可见 2( ) , 0x e X 的最优值是使 2() 大的值，易见它是 1 / 2x A d=+ 令 0m 可得 A +布 朗 运 动 在 下 降 之 前 上 升。 在金融工程中一个最简单的假设是标的资产 S 满足几何 动，设 f 是依赖于 S 和 t 的资产， ( ( ), )f f S t t= ，则 f 满足随机微分方程 222( ( ) , )1( ) ( )2d f d f S t tf f f d t S d W ts t s 抖= + + + （ 标的资产中含 ()这一项表明这种资产 S 有风险，因此我们希望找一种有风险的资产 f ，我们购买这两种资产的组合，目的是用资产 f 的风险来冲掉资产 S 的风险。比如资产 f 可以是期权，期权是一种和约，欧式期权约定在到期日 T 时期权持杭州电子科技大学本科毕业论文 4 有者可以以商定的价格购买（或出售）某种 标的资产的一种权利。当然，购买期权也需要一定的费用，但比标的资产要低得多，需要强调的是期权持有者在到期日可以行使该权利，也可以不行使该权利，如果期权持有者认为对自己不利的话。比如一种欧式看涨期权的持有者有权在某一确定时间 T 以某一确定价格 K 购买某种标的资产。如果到 T 时 ，则履行合约，购买该股票；如果 ，则可以不购买。故到 T 时的收益 ( ) m a x ( ( ) , 0 )f T S T K=-，把 f 看成 ,为损益函数，因此满足（ 消去风险的一种组合是卖出一份期权合约，买入数量为 的股票，定义证券组合的价值为，由定义 *, I = - + （ *,fd d f d I = - + （ 得 2 2221()2 d = - （ 这是该组合证券的瞬时收益率，该收益率必定与其他短期无风险证券收益率相同。因为如果该证券组合的收益率高，则可以通过卖出无风险证券然后用其收入购入该证券组合来获取无风险利益（即同样可以套利）。因此如果没有套利机会，则 d r （ 其中 r 为无风险利率。由 （ （ 2 2221( ) ( ) ,2f f fS d t r f S d tt s + = 化简为 2 22212f f S r ft s s + + =抖 ? （ 对欧式看涨期权而言，的边界条件是 ( ) m a x ( ( ) , )f T S T T= 。 通过变化可以把（ 变换成一个热传导方程，从而可以求解。 由于在传导出（ 过程中，我们考虑了无风险利率 r ，即资产价值随时间而变化。为了可比较，需要放在同一标准下讨论。一种标准是把 t 时刻以后的价值均换算到 t 时刻： e x p ( ) ( ) e x p ( ) m a x ( ( ) , 0 )C r T t f T r T t S T k= - - = - - -。 取期望，记 EC c= ，则 杭州电子科技大学本科毕业论文 5 e x p ( ) m a x ( ( ) , 0 )c r T t E S T - - -。 杭州电子科技大学本科毕业论文 6 2 布朗运动的基本概念和性质 朗运动的基本概念与性质 作为一种物理现象， 动是英国植物学家 1827 年发现的，人们最早的想法是如何阐述这种现象。关于这个现象的数学解释是爱因斯坦在 1905 年首先从物理定律中导出的。物理理论由 进一步发展完善。但在数学理论方面的发展要慢一点，这是因为关于这个模型如何用数学来精确描述存在困难。直到 1918 年维纳在他的博士论文及以后的一系列论文中才得到 动精确 的数学公式。所以 动又称为 程。下面我们从几个不同的角度来导出布朗运动的性质，从而给出 动数学上的定义。设 ()动中的 x 方向分量，000()X t x=。设0( , | )p x t X t x=的条件下0()X t t+的条件概率密度。我们假设所给的转移概率是平稳的，从而0( , | )p x t 为0( , | )p x t 的密度函数，故 00( , | ) 0 , ( , | ) 1p x t x p x t x d x-? （ 进一步，我们要求对充分下的 t ，0()X t t+与00()X t x=非常接近，即 00l i m ( , | ) 1t p x t x d x =. （ 由物理原理，爱因斯坦证明了0( , | )p x t 22抖 （ 上述方程称为扩散方程， D 称为扩散系数。小颗粒粒子进行 动是由于受到大量分子的碰撞。每次碰撞的影响是微不足道的，但大量分子碰撞的叠加则产生可观测的运动。 D 的估计根据公式 2/D f= 来确定，其中 R 为气体（液体）常数， T 为温度， N 为 。选择适当的单位，我们可以取 12D=，于是我们可以直接验证 杭州电子科技大学本科毕业论文 7 20011( , | ) e x p ( ) 22p x t x x - -（ 是（ 解。事实上，这是在边界条件（ （ 下的唯一解。爱因斯坦导出的（ 可以根据简单随机游动逼近的方式导出。考虑对称随机游动（即 1( 1 ) ( 1 )2 P X= - = = =），每次移动 其中2() X x= + + D表示在时间 n 粒子的位置以 ()粒子处于位置 概率，则由 程有 111( 1 ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2k k k k kp n p n p n p n p n+-+ - = - +（ 该式左边是时间的一阶差分，而右边是位置变量的二阶差分。通过适当的极限过程让单位转移时间趋于 0，同时让步长适当收缩到 0，我们可以由（ （ 特别，设转移时间间隔为 步长为 则（ 写为 2( 1 ) ( 1 )2( ( 1 ) ) ( )( ) 2 ( ) ( )1 ( )*2 ( )k x k xk x k x k xp n t p n n t p n t p n t D D - D+ D - D + D D= 然后令 0， 0而保持 2() D 。再令 ,k x ，n t ，则 0( ) ( , | )n t p x t ? 。由（ 得 （ 关于用简单的随机游动逼近 可以用中心极限定理的方法。设有一个粒子在直线上做随机游动，在每个单位时间内等可能地向左或右移动一个单位长度。现在加速这个过程，在越来越小的时间间隔中走越来越小的步长 若能以正确的方式趋于极限，我们就得到 动。详细地说就是令此过程每隔 间等概率地向左或向右移动 果以 ()t 粒子的位置，则 1( ) ( )X t x X D= D + t / t +X（ 其中 / 示 /整数部分，令 1,1,= 第 步 向 右 ，如 果 第 步 向 左 ，且建设诸 1 1 1 2 P X= = = - =。 杭州电子科技大学本科毕业论文 8 由于 0 2v a r ( ) ( ) 1 X=及式 （ ，我们有 ( ) 0E X t= ，2v a r ( ) ( ) ( / )X t x t t= D D。现在要令 于零，并使得极限有意义。如果取 D ，令 0，则 ( ) 0 ，从而 ( ) 0， 如果 3() D ，则( ) 0 ，这是不合理的。因为粒子的运动是连续的，不可能很短时间内远离出发点。因此，我们做出下面的假设：令 D ， s 为某个正常数。从上面的讨论可见，当 0时， ( ) 0E X t = ， 2v a r ( ) X t 。下面来看这一极限过程的一些直观性质。由式 （ 及中心极限定理可得： （ 1） ()，方差为 2正态分布。 此外，由于随机游动的值在不相重叠的时间区间中的变化是独立的，所以有 （ 2） ( ), 0X t t 有独立的增量。 又因为随机游 动在任一时间区间中的位置变化分布只依赖于区间的长度，可见 （ 3） ( ), 0X t t 有平稳增量。 下面给出 动的严格定义。 定义 机过程 ( ), 0X t t 如果满足： （ 1） (0) 0X = ； （ 2） ( ), 0X t t 有独立的平稳增量； （ 3）对每个 0t ， ()态分布 2(0, ) 则称 ( ), 0X t t 为 动，也称为 程。常记为 ( ), 0B t t 或 ( ), 0W t t 。 如果 1s= ，则称之为标准 动；如果 1s ，则可考虑 ( ) / , 0X t ，它是标准 动。故不 失一般性，可以只考虑标准 动的情形。 由于这一定义在应用中不十分方便，我们不加证明地给出下面的性质作为动的等价定义，其证明可以在许多随机过程的著作中找到。 性质 动是具有下述性质的随机过程 ( ), 0B t t ： 杭州电子科技大学本科毕业论文 9 （ 1）（正态增量） ( ) ( ) ( 0 , )B t B s N t ( ) ( )B t 从均值为 0，方差为 正态分布。当 0s= 时， ( ) ( 0 ) ( 0 , )B t B N （ 2）（独立增量） ( ) ( )B t B 立于过程的过去状态 () 0 。 （ 3）（路径的连续性） () 0t 是 t 的连续函数。 性质 并没有 假定 (0) 0B = ，因此我们称之为始于 x 的 动，所以有时为了强调起始点，也记为 ( )这样， 定义 指的就是始于 0 的 ( )易见 0( ) ( )xB t x B （ 式 （ 按照下面的定义 为 动的空间齐 次性。此性质也说明， () ()x B t+ 是相同的，我们只需研究始于 0 的 动就可以了，如不加说明，是指始于 0 的 动。 定义 设 ( ), 0X t t 是随机过程，如果它的有限维分布是空间平移不变的，即 1 1 2 21 1 2 2 ( ) , ( ) , ( ) | ( 0 ) 0 ( ) , ( ) , ( ) | ( 0 ) t x X t x X t x t x x X t x x X t x x X x ?= ? ? ? = , ,， 则 称此过程为空间齐次的。 下面给出关于 动的概率计算的例子。 例 ( ), 0B t t 是标准 动，计算 (2) 0 和 ( ) 0 , 0 , 1 , 2 P B t t? 。 解 由于 ( 2 ) (0 , 2 )以 1 ( 2 ) 0 2。因为 (0) 0B = ，所以 ( ) 0 , 0 , 1 , 2 ( ) 0 , 1 , 2 ( 1 ) 0 , ( 2 ) 0 P B t t P B t t P B B? = ? = 。虽然 (1)B 和 (2)由性质 2）和（ 3） 可知 (2) (1) (1)B 是相互独立的标准正态分布随机变量，于是利用分解式 ( 2 ) ( 1 ) ( ( 2 ) ( 1 ) )B B B B= + - 有 杭州电子科技大学本科毕业论文 10 (1 ) 0 , ( 2 ) 0 (1 ) 0 , (1 ) ( ( 2 ) (1 ) ) 0 (1 ) 0 , ( 2 ) (1 ) (1 ) P B B P B B B B B B = ? - ?= ? ? 有 00 (1 ) 0 , ( 2 ) (1 ) (1 ) ( 2 ) (1 ) ( )( ) ( )P B B B B P B B x f x d xx d ? ? = - ?= F - 这里 F 和 f 分别表示标准正态分布的分布函 数和密度函数。由积分的变量替换公式得 1100 23( ) ( ) ( ) ( ) 8x f x d x x d x y d - = F F = =蝌 ?。 如果过程从 x 开始， (0)，则 ( ) ( , )B t N x t ，于是 2()21 ( ) ( , ) 2 t a b e d . 这里概率x 表示过程始于 x 。积分号中的函数 2()21( , ) 2x y （ 称为 动的转移概率密度。利用独立增量性以及转移概率密度，可以计算任意 动的有限维分布 21 2 11111 1 1 2 21 ( ) , ( ) ( , ) ( , )( , ) n t t n n t x B t xp x y d y p y y d yp y y d = 蝌 , （ 为了讨论 动的路径性质，首先给出二次变差的定义。 定义 动的二次变差 , ( )B B t 定义为当0遍取 0, t 的分割，且其模101m a x ( ) 0i -= - ?时依概率收敛意义下的极限 1 210 0 , ( ) , ( 0 , ) l i m | ( ) ( ) |nn t B B t B t B = = 下面是 动的路径性质。从时刻 0 到时刻 T 对 动的一次观察称为 动在区间 0, T 上的一个路径或一个实现。做为 t 的函数， 动的几乎所有的样本路径 () 0 都具有下述性质： 杭州电子科技大学本科毕业论文 11 （ 1）是 t 的连续函数； （ 2）在任何区间（无论区间多小）上都不是单调的； （ 3）在任何点都不是可微的； （ 4）在任何区间（无论区间多小）上都是无限变差的； （ 5）对任何 t，在 0, t 上的二次变差等于 t. 定理 , ( )B B t t= 。 证明 取区间 0, t 的分割0使得nn d ，则 ( ) ( )E B t B s s= 。再由上述引理及数学归纳法得到 ()任何有限维分布都是正态的。 下面举个例子。 例 ( ) 动，求 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )B B B B+ + +的分布。 解 考虑随机向量 ( ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) )X B B B B= ， 由定理可知， X 是多元正态分布的，且具有零均值和协方差距阵 1 1 1 11 2 2 21 2 3 31 2 3 4轾犏犏犏S=犏犏犏臌令 (1,1,1,1)A = ，则 1 2 3 4 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )A X X X X X B B B B= + + + = + + +是正态分布的随机变量，均值为 0，方差为 30。 动的鞅性质 这里讨论与 动相联系的几个鞅，首先 回忆 连续鞅的定义。设随机过程 ( ), 0X t t 对任何 t 是可积的， | ( ) |E X t ，有 ( ) | ( ) t s F X t+=， （ 这里 ( ) : 0 u u (由 ( ) : 0 X u u t 生成 s 代数 )，其中等式 （ 是几乎必然成立的，在后面有关的证明中，有时也省略 杭州电子科技大学本科毕业论文 13 定理 ( ) 动，则 （ 1） ( )鞅； （ 2） 2 ( ) B t 鞅； （ 3）对任何实数 u, 2 e x p ( ) 2 t 证明 首先，由 ( ) ( )B t s B t+- 与任何函数 () ( ( ) ( ) ) | ( ( ) ( ) ) tE g B t s B t F E g B t s B t+ - = + -。 （ 由 动的定义， ( ) (0, )B t N t ,所以 ()积，且 ( ) 0E B t = 。再由其他性质得 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) | ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( ) ( ) t s F E B t B t s B t t F E B t s B t FB t E B t s B t B t+ ? + + -= + + -= + + - =从而（ 1）得证。 由于 2 ( ) E B t t= ，有 ( ) | ( ) | ( ) t s y F P X t s y X t+ ? + ?， （ 则称 ( ) 程，这里 ( ) , 0 u u 。上述性质称为 程的另一种第一方式如下。 定理 ( ), 0X t t 是一个连续随机过程，如果对任何的有界 测函数 f，实数 t, 0h ，有 ( ) | ( ) ( ) | ( ) t h t t h tE f X F E f X =， （ 则称 ( ) 程，这里 ( ) , 0 u u 。性质 （ 也称为 命题 动 ( )有 。 证明 用矩母函数方法容易得到 ()Bt s+ 在给定条件)的分布是一致的。事实上， 杭州电子科技大学本科毕业论文 15 ( ) ( ) ( ) ( ) )( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) )()( ) ( | )( ) ( )( | ( ) )( | ( ) ) t s u B t u B t s B t u B t s B s u B t s B t u B t s B t sE e F e E e e e e B tE e B t+ + -+ - + -+-+?=因 为 独 立 于所以， ( )有 。 连续的 X 的转移概率定义为在时刻 程在时刻 t 的分布函数 ( , , , ) ( ) | ( ) P y t x s P X t y X s x=? 在 动的情况下，这一分布函数是正态的： 2()2 ( )1( , , , )2 ( )y t x s e d 动的转移概率函数满足方程 ( , , , ) ( , , , 0 )P y t x s P y t s x=-。换言之， ( ) | ( ) ( ) | ( 0 ) P B t y B s x P B t s y B x? = - ?。 （ 当 0s= 时， ( , , , 0)P y t x 具 有密度函数 2()21( , ) 2x y 公式 （ 给出的性质称为 动的齐时性，即分布不随时间的平移而变化。于是由式（ 知 动的所有有限维分布都是说齐的，下面讨论动的强 ，为此关于 ( )时的定义。 定义 果非负随机变量 T 可以取无穷值，即 : 0, T ，并且对任何t，有 ( ) , 0 tT t F B u u ,则称 T 为关于 ( ), 0B t t 的停时。 所谓的强 ，实际上是将 中固定的时间 t 用停时 T 来代替。 定义 T 关于 动 ( )有限停时， : , 0 F A T t F t= 吻 ?。 则 ( ) | ( ) | ( ) T t y F P B T t y B T+ ? + ? 杭州电子科技大学本科毕业论文 16 即 动 ( )有强 。 由此定理可以看出，如果定义 ( ) ( ) ( ) .B t B T t B T= + - （ 则 ()始于 0 的 动并且独立于 动的最大值 的分布 及反正弦律 以动首次击中 x 的时刻，即 i n f 0 : ( ) xT t B t x= =。 当 0x 时 ，为计算 t，我们考虑 ( ) P B t x ( ) ( ) | ( ) | ,x x x t x P B t x T t P T t P B t x T t P T t? 常 ? ? （ 若则 () 0, t 中的某个点击中 x，由对称性得 1 ( ) | 2 t x T 。 再由连续性可知， ()可能还未击中 x 就大于 x，所以（ 第 2 项为零。因此 22/2/2/ 2 ( ) 2222 t P B t xe d d -?=（ 由此可见 2 /202 l i m 12 P T t e d 如 果如 果（ 利用式（ 可以得到 杭州电子科技大学本科毕业论文 17 2222220/20/200/2002/22002 1 / 21202(1 )2222()2212212 P T t d te d y d te d y d td t e d d -=-=?蝌蝌蝌因此，有无穷的期望。直观地看，就是 动以概率 1 会击中 X，但他的平均时间是无穷的。性质 1= 如 果如 果（ 另一个有趣的随机变量是 动在 0, t 中 的最大值 0( ) m a x ( ) t B s=。 它的分布可由下述等式得到，对 0x ， 2 /2/ ( ) 2 ( ) 22 t x P T t xe d -?=?= 。 杭州电子科技大学本科毕业论文 18 不难得到 动在 0, t 中达到的最小值