1112高中数学 3.1.3 概率的基本性质同步学案 新人教A版必修3.ppt

3 1 3概率的基本性质 自学导引1 正确理解事件的包含 并事件 交事件 以及互斥事件 对立事件的概念 2 掌握概率的几个基本性质 并能灵活运用其解决实际问题 3 正确理解和事件与积事件 以及互斥事件与对立事件的区别与联系 课前热身 1 叫做互斥事件 或称 1 互斥 所研究的是两个或多个事件的关系 2 因为每个事件总是由几个基本事件 不同的几个结果 组成 从集合的角度讲 互斥事件就是它们的交集为 也就是没有共同的基本事件 相同结果 不可能同时发生的事件 互不相容事件 空集 在一次试验中a与b必有一个发生 那么a与b 1 对立 所研究的是互斥事件中两个事件的非此即彼的关系 3 对立事件a与b应满足两个条件 且 4 对立事件一定是互斥事件 但互斥事件不一定是对立事件 5 对立事件是指两个事件 而互斥事件可能有多个 3 事件a与事件b互斥时 则p a b 特例 若a与b为对立事件 则p a p a b p a b a b a b u u为全集 p a p b 1 p b 1 0 名师讲解 1 互斥事件与对立事件如果两个事件a和b不可能同时发生 则称a和b互斥 从集合的角度看 是指这两个事件所包含的结果组成的集合不相交 即a b 易知 必然事件与不可能事件是互斥的 任何两个基本事件都是互斥的 如果a1 a2 an中的任何两个都是互斥事件 那么我们说 事件a1 a2 an彼此互斥 从集合的角度看 n个事件彼此互斥 是指由各个事件所包含的结果组成的集合彼此各不相交 如果a与b是互斥事件 且在一次试验中a与b必有一个发生 则称它们为对立 互逆 事件 从集合的角度看 由事件b所含的结果组成的集合 是全集中由事件a所含的结果组成的集合的补集 即满足条件a b 且a b u 通常事件a的对立事件记作 2 概率加法定理两互斥事件的和的概率 等于这两事件的概率的和 即p a b p a p b 更一般地 有限个彼此互斥事件的和的概率 等于这些事件的概率的和 即 3 事件与集合之间的对应关系 如下表所示 典例剖析 题型一互斥 对立事件的判断例1 某县城有两种报纸甲 乙供居民订阅 记事件a为 只订甲报 事件b为 至少订一种报 事件c为 至多订一种报 事件d为 不订甲报 事件e为 一种报纸也不订 判断下列每对事件是不是互斥事件 如果是 再判断它们是不是对立事件 1 a与c 2 b与e 3 b与d 4 b与c 5 c与e 分析 利用互斥事件 对立事件的定义 解 1 由于事件c 至多订一种报 中有可能只订甲报 即事件a与事件c有可能同时发生 故a与c不是互斥事件 2 事件b 至少订一种报 与事件e 一种报也不订 是不可能同时发生的 故b与e是互斥事件 由于事件b不发生可导致事件e一定发生 且事件e不发生会导致事件b一定发生 故b与e还是对立事件 3 事件b 至少订一种报 中可能只订乙报 即有可能不订甲报 也就是说事件b发生 事件d也可能发生 故b与d不互斥 4 事件b 至少订一种报 中有这些可能 只订甲报 只订乙报 订甲 乙两种报 事件c 至多订一种报 中有这些可能 什么也不订 只订甲报 只订乙报 由于这两个事件可能同时发生 故b与c不是互斥事件 5 由 4 的分析 事件e 一种报纸也不订 只是事件c的一种可能 事件c与事件e有可能同时发生 故c与e不互斥 规律技巧 互斥事件是不可能同时发生的事件 而对立事件不仅不能同时发生而且必须有一个发生 故对立事件一定是互斥事件 而互斥事件不一定是对立事件 只要找出各个事件包含的所有的结果 它们之间能不能同时发生便很容易知道 这样便可判定两事件是否互斥 在互斥的前提下 看两事件中是否必有一个发生 可判断是否为对立事件 变式训练1 一个射手进行一次射击 试判断下列事件哪些是互斥事件 哪些是对立事件 事件a 命中环数大于7环 事件b 命中环数为10环 事件c 命中环数小于6环 事件d 命中环数为6 7 8 9 10环 解 事件a与事件c互斥 不可能同时发生 事件b与事件c互斥 事件c与事件d互斥 因为事件c与事件d至少有一个发生 所以事件c与事件d是对立事件 题型二互斥 对立事件的概率例2 一盒中装有各色球12只 其中5只红球 4只黑球 2只白球 1只绿球 从中随机取出1球 求 1 取出1球是红球或黑球的概率 2 取出的1球是红球 黑球或白球的概率 分析 可按互斥事件和对立事件求概率的方法 利用公式进行求解 解 解法1 1 从12只球中任取1球得红球有5种取法 得黑球有4种取法 得红球或黑球共有5 4 9种不同取法 任取1球有12种取法 所以任取1球得红球或黑球的概率为 2 从12只球中任取一球得红球有5种取法 得黑球有4种取法 得白球有2种取法 从而得红 黑或白球的概率为 解法2 利用互斥事件求概率 记事件a1 任取1球为红球 a2 任取一球为黑球 a3 任取一球为白球 a4 任取1球为绿球 则 根据题意知 事件a1 a2 a3 a4彼此互斥 由互斥事件概率公式得 1 取出1球为红球或黑球的概率为 2 取出1球为红球或黑球或白球的概率为 解法3 利用对立事件求概率的方法 1 由解法2知 取出1球为红球或黑球的对立事件为取出一白球或绿球 即a1 a2的对立事件为a3 a4 所以取得1红球或黑球的概率为 2 a1 a2 a3的对立事件为a4 规律技巧 1 互斥 和 对立 事件很容易搞混 互斥事件是指两事件不可能同时发生 对立事件是指互斥的两事件中必有一个发生 2 求复杂事件的概率通常有两种方法 一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和 二是去求对立事件的概率 进而再求所求事件的概率 变式训练2 某家庭电话在家中有人时 打进的电话响第一声时被接的概率为0 1 响第二声时被接的概率为0 2 响第三声被接的概率为0 3 响第4声时被接的概率为0 3 那么电话在响前4声内被接的概率是多少 解 记电话响第i声时被接为事件ai i 1 2 3 4 电话响第5声之前被接为事件a 由于a1 a2 a3 a4彼此互斥 所以p a p a1 a2 a3 a4 p a1 p a2 p a3 p a4 0 1 0 2 0 3 0 3 0 9 题型三概率的实际应用例3 某公务员去开会 他乘火车 轮船 汽车 飞机去的概率分别为0 3 0 2 0 1 0 4 1 求他乘火车或乘飞机去的概率 2 求他不乘轮船去的概率 3 如果他去的概率为0 5 请问他有可能是乘何种交通工具去的 分析 分清事件之间是互斥关系还是对立关系 然后套用相关公式 解 1 记 他乘火车去 为事件a1 他乘轮船去 为事件a2 他乘汽车去 为事件a3 他乘飞机去 为事件a4 这四个事件不可能同时发生 故它们彼此互斥 故p a1 a4 p a1 p a4 0 3 0 4 0 7 2 设他不乘轮船去的概率为p 则p 1 p a2 1 0 2 0 8 3 由于0 3 0 2 0 5 0 1 0 4 0 5 1 0 3 0 2 0 5 1 0 4 0 1 0 5 故他有可能乘火车或乘轮船去 也有可能乘汽车或乘飞机去 规律技巧 由于一次不会乘坐两种交通工具 因此各事件间彼此互斥 故可考虑互斥事件概率公式 带有 不 不大于 等否定字眼的常可用对立事件概率公式 变式训练3 经统计 某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如下 1 至多2人排队等候的概率是多少 2 至少3人排队等候的概率是多少 解 记在窗口等候的人数为0 1 2 分别为事件a b c 则a b c彼此互斥 1 至多2人排队等候的概率为 p a b c p a p b p c 0 1 0 16 0 3 0 56 2 至少3人排列等候的概率为 1 p a b c 1 0 56 0 44 技能演练 基础强化 答案 b 2 下列各组事件中 不是互斥事件的是 a 一个射手进行一次射击 命中环数大于8与命中环数小于6b 统计一个班级数学期中考试成绩 平均分数低于90分与平均分数高于90分c 播种菜籽100粒 发芽90粒与发芽80粒d 检查某种产品 合格率高于70 与合格率为70 解析 读题易知 c不是互斥事件 答案 c 3 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球 那么互斥而不对立的两个事件是 a 至少有一个白球 全是白球b 至少有一个红球 都是红球c 恰有一个白球 恰有两个白球d 至少有一个白球 至少有一个红球解析 结合互斥事件与对立事件的定义知 对于c中恰有一个白球 即1白1红 与恰有两个白球是互斥事件 但不是对立事件 因为还有两个红球的情况 故选c 答案 c 4 某产品分甲 乙 丙三级 其中乙 丙两级均属次品 若生产中出现乙级品的概率为0 03 丙级品的概率为0 01 则对成品抽查一件抽得正品的概率为 a 0 96b 0 98c 0 97d 0 09解析 设抽查1件 抽得正品为事件a 则p a 1 0 03 0 01 0 96 答案 a 5 若a b是互斥事件 则 a p a b 1d p a b 1解析 a b互斥 p a b p a p b 1 当a b对立时 p a b 1 答案 d 答案 a 7 某人在打靶中 连续射击2次 事件 至少有一次中靶 的互斥事件是 两次都不中靶 8 某产品分一 二 三级 其中一 二级是正品 若生产中出现正品的概率是0 98 二级品的概率是0 21 则出现一级品和三级品的概率分别是 0 77 0 02 解析 由题意知 出现一级品的概率为0 98 0 21 0 77 出现三级品的概率是1 0 98 0 02 能力提升 9 在掷骰子试验中 可以定义很多事件 例如 a 出现1点 b 出现3点或5点 c 出现点数为奇数 d 出现点数为偶数 试说明以上四个事件的关系 并写出两两的运算结果 解 1 a与b互斥 a包含于c a与d互斥 b包含于c b与d互斥 c与d对立 2 a b a b c a c a a c c a d a d 出现1点或出现点数为偶数 b c b b c c b d b d 出现3点或5点或出现点数为偶数 c d c d u u表示必然事件 10 在某一时期内 一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表 计算在同一时期内 河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率 1 10 16 m 2 8 12 m 3 水位不低于14m 解 设水位在 a b 范围的概率为p a b 由于水位在各范围内对应的事件是互斥的 由加法概率公式得 1 p 10 16 p 10 12 p 12 14 p 14 16 0 28 0 38 0 16 0 82 2 p 8 12 p 8 10 p 10 12 0 1 0 28 0 38 3 p 14 18 p 14 16 p 16 18 0 16 0