高中数学 221椭圆的标准方程课件 新人教B版选修21.ppt

1 知识与技能理解椭圆定义 掌握椭圆的标准方程 会求与椭圆有关的轨迹问题 2 过程与方法通过椭圆概念的引入与椭圆标准方程的推导过程 培养学生分析 探索问题的能力 熟练掌握解决解析几何问题的方法 坐标法 3 情感态度与价值观通过椭圆定义和标准方程的学习 渗透数形结合的思想 启发学生在研究问题时 抓住问题本质 严谨细致思考 规范得出解答 体会运动变化 对立统一的思想 重点 椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式 难点 椭圆标准方程的建立和推导 1 对于椭圆定义的理解 要抓住椭圆上的点所要满足的条件 即椭圆上的点的几何性质 可以对比圆的定义来理解 要注意到定义中对 常数 的限定的常数要大于 f1f2 这样规定是为了避免出现两种特殊情况 即 当常数等于 f1f2 时轨迹是一条线段 当常数小于 f1f2 时无轨迹 这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质 2 求椭圆的方程 首先要建立直角坐标系 由于曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标不同 曲线的方程也不同 为了使方程简单 必须注意坐标系的选择 怎样选择坐标系 要根据具体情况来确定 在一般情况下 应注意要使已知点的坐标和直线 或曲线 的方程尽可能简单 在求椭圆的标准方程时 选择x轴经过两个定点f1 f2 并且使坐标原点与线段f1f2的中点重合 这样 两个定点的坐标比较简单 便于推导方程 在求方程时 设椭圆的焦距为2c c 0 椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为2a a 0 这是为了使焦点及长轴两个端点的坐标不出现分数形式 以便使导出的椭圆的方程形式简单 令a2 c2 b2是为了使方程的形式整齐而便于记忆 3 椭圆的两种标准方程中 总是a b 0 即椭圆的标准方程中 哪个项的分母大焦点就在相应的哪个轴上 反过来 焦点在哪个轴上 相应的那个项的分母就大 a b c始终满足c2 a2 b2 如果焦点在x轴上 焦点坐标是 c 0 c 0 如果焦点在y轴上 焦点坐标是 0 c 0 c 4 求椭圆的标准方程时 要首先进行 定位 即确定焦点的位置 其次是进行定 量 即求a b的大小 a b c满足的关系有 a2 b2 c2 a b 0 a c 0 5 牵涉到椭圆上一点坐标问题 常考虑此点到两焦点的距离之和为2a 来确定标准方程中的a2 1 平面内与两个定点f1 f2的距离之和等于定长 大于 f1f2 的点的轨迹叫做 这两个定点f1 f2叫做椭圆的 两焦点的距离 f1f2 叫做椭圆的 2 在椭圆定义中 条件2a f1f2 不应忽视 若2a f1f2 则这样的点不存在 若2a f1f2 则动点的轨迹是 椭圆 焦点 焦距 线段 3 椭圆的标准方程 例1 在椭圆9x2 25y2 225上求点p 使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍 分析 由p x y 到椭圆焦点的距离建立两个关于x y的方程 可以求出x y的值 例2 已知圆c x 1 2 y2 25及点a 1 0 q为圆上一点 aq的垂直平分线交cq于m 求点m的轨迹方程 解析 如图所示 m是aq的垂直平分线与cq的交点 连接ma 则 mq ma mc ma mc mq cq 5 且 ac 2 动点m的轨迹是椭圆 且其焦点为c a 已知f1 f2是两点 f1f2 8 动点m满足 mf1 mf2 10 则点m的轨迹是 动点m满足 mf1 mf2 8 则点m的轨迹是 答案 以f1 f2为焦点的椭圆线段f1f2 说明 1 点在椭圆上这个条件的转化常有两种方程 一是点的坐标满足椭圆的方程 二是点满足椭圆定义 若点p在椭圆上 则有 pf1 pf2 2a 2 平面内的点满足椭圆的定义 可得点p的轨迹是椭圆 进而求得椭圆的方程 分析 根据题意 先判断椭圆的焦点位置 再设出椭圆的标准方程 从而确定a b的值 说明 根据已知条件 判定焦点的位置 设出椭圆的方程是解决此题的关键 分析 根据椭圆方程的特征求解 2 当椭圆的中心在坐标原点 焦点在坐标轴上时 对应的方程才是标准方程 同一椭圆在不同坐标系下其方程是不同的 答案 b 解析 00 25 k 0且25 k 9 k a2 25 k b2 9 k c2 25 k 9 k 16 c 4 两椭圆有相等的焦距 选b 分析 只需求出 pf1 pf2 的值即可 例6 1 命题甲 动点p到两定点a b的距离之和 pa pb 2a a 0 常数 2 命题乙 p点轨迹是椭圆 则命题甲是命题乙的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分且必要条件d 既不充分又不必要条件 分析 由椭圆定义直接作出判断 解析 若p点轨迹是椭圆 则一定有 pa pb 2a a 0 常数 所以甲是乙的必要条件 反过来 若 pa pb 2a a 0 常数 是不能推出p点轨迹是椭圆的 这是因为仅当2a ab 时 p点轨迹才是椭圆 而当2a ab 时 p点轨迹是线段ab 当2a ab 时 p点无轨迹 所以甲不是乙的充分条件 综上所述 甲是乙的必要不充分条件 答案 b 说明 在用椭圆第一定义解题时 一定注意到条件 常数2a f1f2 2c 若一个动点p x y 到两个定点a 1 0 a 1 0 的距离和为定值m 试求p点的轨迹方程 解析 pa pa m aa 2 1 当m 2时 p点的轨迹就是线段aa 其方程为y 0 1 x 1 2 当m 2时 由椭圆的定义知 点p的轨迹是以a a 为焦点的椭圆 2c 2 2a m 在 abc中 bc 24 ac ab边上的中线长之和等于39 求 abc的重心的轨迹方程 解析 如图所示 以线段bc所在直线为x轴 线段bc的中垂线为y轴建立直角坐标系 例7 已知 abc中 a b c所对的边分别为a b c 且a c b成等差数列 ab 2 求顶点c的轨迹方程 辨析 上述解答中没有注意题设中的条件a c b 同时也忽略了隐含条件 即点c不能在x轴上 从而导致了变量x范围的扩大 使轨迹不满足 完备性 求轨迹方程时 纯粹性 与 完备性 要同时具备 缺一不可 这就要求我们应结合图形 认真观察动点在各种可能位置的情形 以防疏漏或轨迹不满足纯粹性 正解 接上面有3x2 4y2 12 又a b 即 bc ac 点c只能在y轴的左边 即x 0 又由于 abc的三个顶点不能共线 即点c不能在x轴上 故x 2 所求c点的轨迹方程为3x2 4y2 12 2 x 0 说明 1 求轨迹方程与求轨迹是有区别的 求轨迹 不但要求出轨迹方程 还要指明轨迹是什么图形 2 求出轨迹方程后 注意考查曲线的完备性和纯粹性 以防 疏漏 和 不纯 答案 b 解析 根据题意画出图形 如图所示 af1 af2 2 bf1 bf2 2