第二章 第11课时.doc

2.11函数模型及其应用1几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb (a、b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b (k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)c幂函数模型f(x)axnb (a，b为常数，a0)(2)三种增长型函数之间增长速度的比较指数函数yax (a1)与幂函数yxn (n0)在区间(0，)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于yax的增长速度快于yxn的增长速度，因而总存在一个x0，当xx0时有axxn.对数函数ylogax (a1)与幂函数yxn (n0)对数函数ylogax (a1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会慢于yxn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使xx0时有logaxx0时有axxnlogax.2解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义以上过程用框图表示如下：难点正本疑点清源解决函数应用问题重点解决以下问题(1)阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；(2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；(3)求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用；(4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来1某物体一天中的温度T(单位：)是时间t(单位：h)的函数：T(t)t33t60，t0表示中午1200，其后t取正值，则下午3时的温度为_2某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)40QQ2，则总利润L(Q)的最大值是_万元3某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是_4某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处5某企业第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则x的值为_.题型一一次函数、二次函数模型例1某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产. 若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？探究提高(1)在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解(2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决(3)在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域 用一根长为12 m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的高与宽应各为多少？题型二分段函数模型例2为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产 品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿(1)当x200,300时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？探究提高本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于月处理量在不同范围内，处理的成本对应的函数解析式也不同，故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，然后将 这些区间内的最值进行比较确定最值 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费题型三指数函数、幂函数模型例3某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？(参考数据：1.01291.113,1.012101.127，lg 1.20.079，lg 20.301 0，lg 1.0120.005，lg 1.0090.003 9)探究提高此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型yN(1p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型ya(1x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解 已知某物体的温度(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：m2t21t(t0，并且m0)(1)如果m2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围3.函数建模及函数应用问题试题：(14分)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)在甲提供的资料中有：这种消费品的进价为每件14元；该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；每月需各种开支2 000元(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？审题视角(1)认真阅读题干内容，理清数量关系(2)分析图形提供的信息，从图形可看出函数是分段的(3)建立函数模型，确定解决模型的方法规范解答解设该店月利润余额为L，则由题设得LQ(P14)1003 6002 000，由销量图易得Q3分代入式得L6分(1)当14P20时，Lmax450元，此时P19.5元；当202)能较准确反映数学成绩与考试序次关系，应选_作为模拟函数；若f(1)4，f(3)6，则所选函数f(x)的解析式为_6有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一 块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所 示)，则围成场地的最大面积为m2(围墙的厚度不计)7(2010浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预 测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是_二、解答题8某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y48x8 000，已知此生产线年产量最大为210吨(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？B组专项能力提升题组一、填空题1某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2和L22x，其中x为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为_万元2放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)M02，其中M0为t0时铯137的含量已知t30时，铯137含量的变化率是10 ln 2(太贝克/年)，则M(60)为_太贝克3 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应分别为.4. 如图，书的一页的面积为600 cm2，设计要求书面上方空出2 cm 的边，下、左、右方都空出1 cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为.5由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机 的价格降低，则现在价格为8 100元的计算机经过15年的价格应降为 _6某商人购货，进价已按原价a扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为_二、解答题7如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范 围内？(2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值8(2011湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)答案基础自测1782.2 5003.ya(1r)x，xN* 455.20%题型分类深度剖析例1解(1)设甲、乙两种产品分别投资x万元(x0)，所获利润分别为f(x)、g(x)万元，由题意可设f(x)k1x，g(x)k2，根据图象可解得f(x)0.25x (x0)，g(x)2 (x0)(2)由(1)得f(9)2.25，g(9)26，总利润y8.25(万元)设B产品投入x万元，A产品投入(18x)万元，该企业可获总利润为y万元，则y(18x)2，0x18.令t，t0,3，则y(t28t18)(t4)2.当t4时，ymax8.5，此时x16,18x2.当A、B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润8.5万元变式训练1解 设框架的宽度为x m，则其高度为h=(6-2x) m,0x3.设框架的面积 为y m2，则y=xh=x(6-2x)=-2x2+6x=-2(x-1.5)2+4.5，当x=1.5时，y 取最大值4.5，此时h=3.故当框架的高度为3 m，宽度为1.5 m时， 框架的面积最大，从而窗户通过的阳光最充足例2解(1)当x200,300时，设该项目获利为S，则S200xx2400x80 000(x400)2，所以当x200,300时，S0，因此该单位不会获利当x300时，S取得最大值5 000，所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为：当x120,144)时，x280x5 040(x120)2240，所以当x120时，取得最小值240.当x144,500时，x2002200200，当且仅当x，即x400时，取得最小值200.因为2004时，y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x4时，y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.所以y(2)由于yf(x)在各段区间上均单调递增，当x时，yf26.4；当x时，yf26.4；当x时，令24x9.626.4，解得x1.5.所以甲户用水量为5x51.57.5吨，付费S141.83.5317.70(元)；乙户用水量为3x4.5吨，付费S241.80.538.70(元)例3解(1)1年后该城市人口总数为y1001001.2%100(11.2%)，2年后该城市人口总数为y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2.3年后该城市人口总数为y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3.x年后该城市人口总数为y100(11.2%)x.(2)10年后，人口总数为100(11.2%)10112.7(万人)(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100(11.2%)x120，xlog1.012log1.0121.2016(年)(4)由100(1x%)20120，