【毕业学位论文】（Word原稿）医学图像三维重建中的三维医学图像分割关键技术研究-医学影像学

中北大学 2007 届毕业 论文 第 1 页 共 38 页 1 引 言 课题研究背景 自从 X 射线发明以来 ,算机断层成像 )、 磁共振成像 )、 算机X 线成像 )、 B 超、电子内窥镜等现代医学影像设备先后出现 ,使得传统的医学诊断方式发生了革命性的变化 些医学成像的临床应用，使得医学诊断和治疗技术取得了很大的发展。 但是，这些医疗仪器只能提供人体内部的二维图像，二维断层图像只是表达某一界面的解剖信息，医生们只能凭经验由多幅二维图像去估计病灶的大小及形状，“构思”病灶与其周围组织的三维几 何关系，这就给治疗带来了困难。在放射治疗应用中，仅由二维断层图像上某些解剖部位进行简单的坐标益加，不能给出准确的三维影像，造成病变定位的失真和畸变。为提高医疗诊断和治疗规划的准确性与科学性，通过二维断层图像来构建人体器官、软组织和病变体等的三维模型并进行三维显示，可以辅助医生对病变体和周围组织进行分析，极大地提高医疗诊断的准确性和科学性，从而提高医疗诊断水平。同时还在矫形手术、放射治疗、手术规划与模拟、解剖教育和医学研究中发挥着重要作用 1。 医学图像三维重建与可视化技术就是在这一背景下提出的，这一技术一 经提出，就得到了大量研究与广泛应用。可视化的研究涉及到许多不同的领域，如计算机图形学、图像处理、计算机视觉、信息处理，计算机辅助设计及交互技术等。自从 1987 年，它作为一门学科确立以来，已经得到了长足的发展，并已广泛地应用于计算流体力学、有限元分析、医学图像处理、数学、物理、地学、气 象 预报、生命科学等等。近十年来，可视化技术一直是国际上计算机图形学的研究热点。为此，欧洲图形学会开辟了一年一度的可视化专题研讨会，而 每年举行一次可视化的年会，各种有关的杂志中也有大量的篇幅是关于可视化的。欧美许多发达国 家的科研机构、大学和著名的公司均对可视化技术进行了广泛的研究，并促使它走向应用 2。 医学图像三维重建在医疗中的应用主要有在医疗诊断中的应用、在手术规划及放射治疗规划中的应用、在整形与假肢外科中的应用和在虚拟手术及解剖教育中的应用等。 中北大学 2007 届毕业 论文 第 2 页 共 38 页 三维医学图像分割目的和意义 图像分割是图像处理和计算机视觉领域中一个十分重要的内容，也是一个经典的难题。图像分割是指把图像分成各具特性的区域并提取感兴趣目标的技术和过程，是由图像处理到图像分析的关键步骤，也是一种基本的计算机视觉技术。只有在图像分割的基础上才能对目 标进行特征提取和参数测量，使得更高层的图像分析和理解成为可能。分割结果的精确程度至关重要，它直接影响到后续的处理，因此对图像分割方法的研究具有十分重要的意义。 例如医学研究、临床诊断、病理分析、手术计划、治疗方案、疗效评估、影像处理、计算机辅助手术、图像引导手术、手术摸拟、虚拟环境等等。在所有这些应用中，图像分割是一个不可或缺的预处理环节，常常成为应用中的瓶颈问题。成为了诊断和治疗体系重要的组成部分。 医学图像分割的目的是通过提取描述对象的特征，把感兴趣对象从周围环境中分离出来，分析和计算分割对象的解剖、病 理、生理、物理等方面的信息，医学图像分割是对医学图像进行对象提取、定量分析、 3D 重 建、体积显示、配准等处理的一个必不可少的步骤。医学图像分割对于医学应用方面的意义可以归纳为以 下五个方面： 获取病理信息。提取有关解剖结构、病灶、病情、运动等信息，为临床诊断、病理的测量、建立解剖结构的信息数据库 : 测量特征参数。对各个解剖结构进行几何的、物理的、病理的、统计的等特征参数的测量，建立解剖结构的信息数据库 ; 定位感兴趣的区域。确定解剖结构的位置、形状、分布区域，为放射治疗、化学治疗、超声治疗、热疗、穿刺、外科手术、 计算机辅助手术、图像引导手术等治疗方案定位目标。此外在 2D/3D/4D 图像数据中对目标区域进行快速准确地定位 ; 获取解剖图谱信息。为医学图像的 3D 重建、 3D 显示、配准、融合、可视化、计算机辅助手术、人体虚拟现实系统和虚拟环境提供原始数据 ; 管理图像信息。图像分割后，各个区域分明，可以对它们进行取舍，重点关注那些目标区域。还可以在不丢失有用信息的前提下进行图像数据的压缩，便于存档、检索和传输。 中北大学 2007 届毕业 论文 第 3 页 共 38 页 2 三维医学图像分割理论 在图像的研究和应用过程中，人们往往仅对各幅图像中的某些部分感兴趣 。 这些部分常称为目标或 前景，它们一般对应图像中特定的具有独特性质的区域 。 为了辨别和分析目标，需要将这些区域分离提取出来，在此基础上才有可能对目标进一步利用 。 图像分割就是将图像分成各具特性的区域并提取出感兴趣的目标的技术和过程 。 这些区域是互相不交叉的，每一个区域都满足特定区域的一致性 。 在进行图像分割时，首先要根据目标和背景的先验知识来对图像中的目标、背景进行标记、定位，然后将等待识别的目标从背景中分离出来 。 图像分割是由图像处理到图像分析的关键步骤，也是一种基本的计算机视觉技术。这是因为图像的分割、目标的分离、特征的提取和参数的测 量将原始的图像转化为更抽象更紧凑的形式，使得更高层的分析和理解成为可能。因此，图像分割多年来一直得到人们的高度重视。 图像分割理论介绍 图像 分割就是利用给定的特征量 (或某一准则 )来检测区域的一致性，达到将图像 分割成不同区域的目的 。 图像分割是图像处理到图像分析的关键步骤 ,也是进一步图像理解的基础 ，使得更高层的分析和理解成为可能 。借助集合概念对图像分割可给出如下比较正式的定义 3 ： 令集合 R 代表整个 图像 区域，对 R 的分割可看作将 R 分成若干个满足以下 5个条件的非空子集 (子区域 ) ；，21 ,(1) 1 1; (2)对所有的 i 和 j , ,有 R ; (3)对 ,2,1 有 )( 1 ; (4)对 ,有 )( 21 (5)对 ,2,1 1R 是连通的区域。 条件 (1)指明了 图像 分割的完整性，即分割算法结束前 已 对 图像 中的每一个 像 素中北大学 2007 届毕业 论文 第 4 页 共 38 页 操作过，且每 一个像素 都属于某一个子区域 ,2,1 。条件 (2)保证了任意两个不同的区域不相交。条件 (3)表明每一个区域都具有区域一致性，即每个区域因某种属性而保证 其均匀性，这些属性可以是 图像 特征 (如灰度、颜色、纹理等 )或相应于某种语义的描述。条件 (4)说明分割后的每个区域将达到其最大尺度。条件 (5)说明分割后的每个子区域是连通的。 图像分割是所有图像处理、分析和理解系统的关键技术之一，医学图像分割更是医学图像可视化研究中的一个非常重要的部分，是科学计算可视化中研究的热点问题。是对三维数据进行可视化处理非常重要的一个环节。实现医学图像三维重建，其首要任务就是将图像数据进行正确合理分割。只有对三维数据进行了准确分类，才能经过后续的三维重建得出合理几何模型。本文研究的重点 是基于三维图像的图像分割技术 。 图像分割方法分类 我们知道对灰度图像的分割常可基于像素灰度值的两个性质 :不连续性和相似性 。 区域内部的像素一般具有灰度相似性 ,而在区域之间的边界上一般具有灰度不连续性 。 所以分割算法可据此分为利用区域间灰度不连续性的基于边界的算法和利用区域内灰度相似性的基于区域的算法 ,也就是说大致可以分为基于边缘检测的方法和基于区域的方法 4。 基于边缘检测的方法使用局部窗口操作，检测出局部特性的不连续性，再将它们连成边界，这些边界把图像分成不同的区域 。 基于区域的方法按某种准则人为地把 图像分为若干规则块，以后按属性一致的原则，反复分开属性不一致的图像块，合并具有一致属性的相邻图像块，直至形成一张区域图 。 在实际应用中，从不同的理论角度提出了许多方法，这些方法主要可划分为三种类型 : 阈值型、边缘 检测型和区域跟踪型 。 三维图像分割方法 随着三维可视化技术的发展，医学图像分割的 三维分割受到更多关注。 对 图像数据均可转化为规则体数据的形式，亦称三维医学图像， 因此，对其进行分割是在三维空间进行。 现在 医学图像中 能 直接给出了以二维切片形式组织的三维数据，这就为三维分割提供了可能。 按 分割空间 的不同 ，目前主要 有两种三维分割方式：一种是直接在三维数据空间中分割，提取出感兴趣对象包含的体素；另一种是对每张二维切片独立进行分割，再将每张切片中提取的轮廓组合起来用于三维中北大学 2007 届毕业 论文 第 5 页 共 38 页 重建。 图像分割是医学图像三维重建和可视化研究中一个非常重要的部分，这些分割方法按输出结果的不同可以分为两类 ： 二值分割 （ 和模糊分割 (二值分割结果对每个体素做出一个肯定的二值判断，即它属于或者不属于某个物体 ； 而模糊分割则与此不同，它只给出每个体素属于某 个物体的可能性或者某种物体占有率 5。对医学图像的分割，到目前为止还不存在一个一致公认的最好方法，也没有一个判断分割是否成功的客观标准。按 分割方法 的不同 ， 三维医学图像的分割主要有两类：一类是自动或半自动的 :另一类是交互的。 图 三维医学图像分割流程 我们采用半自动的分割方法，通过对被分割组织或感兴趣区域图像特征的分析，确定采用不同的分割操作。我们分割的路线是： （ 1） 对原始图像进行滤波； （ 2） 在给定阈值范围内对三维图像进行二值处理； （ 3）对二值图像进行数学形态学操作 (开启或闭合 )； （ 4）种子填充，由此获得要提取的组织或感兴趣区域。 （ 5）重复 (2)至 (4)步交互改变阈值范围及形态学操作，直到获得满意的分割结果。 运用该路线进行分割，可以较正确、准确地提取出待重建组织 6。 中北大学 2007 届毕业 论文 第 6 页 共 38 页 3 三维医学图像分割步骤 医学图像的获取由各种影像设备生成，经图像传输、预处理即可用于图像分割与三维重建。图像预处理包括图像的直方图修改、滤波、图像间插值等内容。图像分割是所有图像处理、分析和理解系统的关键技术之一，也是对三维数据进行可视化非常重要的一步。只有对 三维数据进行准确分类，才能经过后续的重建得出合理几何模型。 图像的输入与获取 像 可由 像设备，这些影像设备的基本原理都是相似的，它们都采用傅立叶变换、卷积法或 演运算从多个方向上的射线 (或波 )投影反算空间的某种物理属性 ， 经 图像 重建 (构出一幅幅断层 图像 。 像的 反映组织对 X 射线吸收值 (衰减系数 u)，其单位为 u)，以水的衰减系数为参照，即水的 为 0;物质衰减系数大于水者为正值 ，小于水者为负值 ;并以骨皮质和空气的衰减系数为上限和下限，定为 +1000 和般我们所处理的图像是经过量化后的灰度图像，标准的 度图像为12 位灰度图像。 像是根据电子、质子、中子等都具有自旋和磁距的特性，当机体置入磁场中之后，机体的质子都会被磁化，倾向于与磁场的方向一致或相反方向排列。磁化的强度是一个可测量的矢量。磁共振成像主要依赖的四个因素 ： 质子密度、 、 2 弛豫时间表示在完全均匀的外磁场中横向磁化所维持的时间 )和流空效应 。 应用不 同的磁共振射频脉冲程序可以得到反映这些因素不同侧重点的图像，即 强 像 、 强像 和质子密度 像 。 像一般为 512512 或 10241024，扫描层距为 25一代的螺旋 像一般为 256256,断层间距为 2l 0近年来医学成像设备的物理分辨率不断提高， 像分辨率已可达到 影像设备自身带的计算机一般是各生产厂家专用的，数据存储格式不尽相同，常见格式有 像的传输方式可用磁带 、 光盘和网络。医学图像的网 络传输国际上己有通用标准，即 议 7。 中北大学 2007 届毕业 论文 第 7 页 共 38 页 图像预处理 在图像分析中，对输入图像进行 特征抽取 、分割和匹配前所进行的处理。图像预处理的主要目的是消除图像中无关的信息，恢复有用的真实信息，增强有关信息的可检测性和最大限度地简化数据，从而改进特征抽取、 图像分割 、匹配和识别的可靠性。 直方图修改 医学图像中最常见的是全幅图像偏暗或偏亮，亮度范围不足或非线性等因素造成的对比度不足，不仅观看不甚理想，而且影响到后续图像分割质量。这时一般采用灰度变换方法进行处理，其中，直方图均衡是最常用方法 8。直方图均衡的目的是把图像的亮度级在整个亮度范围内均匀分散开来 。 图像滤波 在医学图像的获取过程中，由于影像设备中各电 子器件的随机扰动和周围环境的影响，使图像多少含有噪声和失真，影响了组织的分割与提取，因而需用滤波处理来增强图像特征。 当输入图像信号混入噪声，想要用滤波方法把噪声全部滤除而不损失原信号的强度几乎是不可能的。因此，对滤波处理的要求有两条： （ 1）最大限度地保持信号不受损失，不能损坏图像的轮廓及边缘等重要信息； （ 2）尽可能多地滤除噪声，使图像清晰，视觉效果好。 根据滤波空间的不同，可以把滤波分为实平面上的滤波和付平面上的滤波。在实平面上的滤波方法常用的有以下三种： 1邻域平均法 对于图像中的每一个像素，取一 个以它为中心的区域，用该区域内各像素灰度的加权平均值取代该像素的灰度值，这就是邻域平均法 9。具体的做法是取一个方形区域，称为平滑窗口 ( 掩模 (它是权值的二维阵列。滤波过程是用窗口在图像上滑动，窗口中心对着的像素根据下面式 更新其灰度值。当每个像素都被扫描一次之后，对一幅图像的平滑就完成了，这是实平面上对图像进行平滑的一种最简单的方法。 设 ),( 一幅待平滑的图像，平滑窗口为 w 的大小为 (2N+1) (2N+1) 。 则平滑后的图像可以 表示为： 中北大学 2007 届毕业 论文 第 8 页 共 38 页 (*),( (其中， 们可以对窗口内的权值进行归一化，即使权值之和等于 1 这样，式 剩下分子项。 一般来说，窗口越大，平滑能力就越强。但是，噪声的消除程度和 图像 原有信号的衰减程度皆与窗口的大小成正比，因此并不是窗口越大越好。实际中常用的有 33 和 55 两种 掩膜。 33 窗口 又可分为 4 邻域和 8邻域 。 2. 中值滤波法 由于邻域平均法在消除噪声的同时会将图像中的一些细节模糊掉。如果既要消除噪声又要保持图像的细节，可以使用中值 (波。中值滤波是一种有效的非线性滤波，常用于消除随机脉冲噪声。它的基本思想是 :在图像上滑动一个含有奇数个像素的窗口，对该窗口所覆盖像素的灰度按大小进行排字，处在灰度序列中间的那个灰度值称为中值，用它来代替窗口中心所对应像素的灰度。 3. 保持边缘滤波法 前面介绍的两种滤波方法在抑制噪声的同时都或多或少地钝化了边缘，使图像清晰度下降。我们希望在滤除噪声的同时保持边缘不被平滑掉。保持边缘的滤波器就是为了实现这个目的而设计的。如果在滤波之前能够检测出边缘，那么只要对那些没有边缘的图像区域进行平滑。然而，边缘是很难可靠地检测出来的。尤其是在噪声严重的情况下，更是无法区分哪些是真实的边缘哪些是噪声造成的伪边缘。 (a)四个五边形区域 (b)四个六边形区域 (c)一个正方形区域 图 55 保持边缘滤波器的九个测试邻 域 中北大学 2007 届毕业 论文 第 9 页 共 38 页 设计保持边缘滤波器的出发点是 :对应于同一个目标的 像 素具有相近的灰度。对于每一个 像 素，逐个检测它的每一个邻域 (包含该 像 素 )，其中，邻域的灰度方差最小的那个邻域是最平滑的，其内部的 像 素基本上可以认为是同属一类。因此，用该邻域的 像 素灰度均值取代该 像 素原来的灰度值。 断层间图像插值 随着新一代的 备的产生，二维切片图像的分辨率不断提高，断层不断变薄，己经接近并超过计算机显示的分辨率。但是，当断层图像间的距离比断层图像内 像 素间的距离大得多时，就需要用图像插值方法在原来的断层图像之间再插值 生成一些中间断层图像。在我们的重建系统中，分割和重建出来的组织和器官，待照射射束安排后，要送到剂量计算部分进行剂量计算与评价。为便于剂量计算，要求每个体素为正方体。因此，我们的断层图像就要插值成各向同性，即经插值后的断层图像序列中断层间距等于断层图像内 像 素间距。图像插值是一个具有很大任意性的问题，为了使图像插值成为一个确定、可解的问题，通常引入下面三个约束条件 : （ 1）插值图像要与原始断层图像相似； （ 2）插值图像与两个原始断层图像的相似度应该分别和它与这两个断层图像的距离成反比关系 ； （ 3）插值图像序列应 该呈现出从一幅原始断层图像到另一幅原始断层图像的渐变过程。最简单的插值方法是对上下两个相邻的断层图像进行加权平均，产生一组插值图像。线性加权平均的图像插值方法可描述如下： 设 ),( ， ),(1 分别是第 k 层和第 k+l 层切片图像。它们之间的插值图像可表示为 ),(),()1(),( 1 (其中， )/( 211 ， 1d 2d 分别是插值图像到第 k, k+l 层图像的距离。 当断层间距与断层图像内像素间距相差不是很大时，采用这种插值方法是可行的。但是，当断层间距与像素间距相差很大时，这种线性加权插出的图像模糊不清，其原因是两个相邻断层图像中处于同一位置的像素不一定对应同一对断层间距较大的插值。他们的加权平均没有什么意义。 中北大学 2007 届毕业 论文 第 10 页 共 38 页 三维 体数据封装 由于后续的分割及表面模型的构建都是基于体数据 (亦称三维图像 )进行的，因此需要将插值成各向同性的二维图像序列封装成一个规则的体数 据来保存和记录 。我们处理的数据是从 备输出，经归一化处理，灰度级转换成 856级灰度 )的灰度图像。经断层插值并封装成体数据后，我们用一维数组记录此体数据，数组每个元素占一个字节 (数组的长度 为 XYZ(其中 X， Y 分别为断层图像的长和宽， Z 为断层图像数目 )，数组的第 0 至第 元素保存第一断层图像的第一行 像 素，第 X 至 2存第一断层图像的第二行 像 素，数组的第0 至第 X素保存的是第一断层的 像 素，第 XY 至第 2X素保存的是第二断层的 像 素，依次地保存至第 Z 断层。 用数组记录，我们可以很方便地由体数据的空间位置求出体素在数组中的位置，也可以由体素在数组中的位置方便地反求出其空间位置。由体素的空间位置 ),( 其在数组中的位置 n： (由体素在数组中的位置 n 求其空间位置 ),( )%( ()%( in t) ()/( (其中 %为取余运算（模运算）， 取整运算 这样我们就可以不记录每个体素的空间位置而能方便地确定体素所处位置，从而大大节省存储空间。如图 示。 图 体数据内存记录方式 中北大学 2007 届毕业 论文 第 11 页 共 38 页 体数据以文件形式保存时，我们采用二进制文件存储，其文件格式为 :前面 44字节为文 件头，文件头中前 28 字节为文件属性说明，后 16 字节分别记录体素大小（体素为正方体，边长代表的实际距离 )，体数据 X, Y, Z 的数值，它们各占 4个字节。接下来的即是每个体素的灰度值，各占 1 个字节，记录次序与上面的一维数组记录次序相同，如图 示。 图 体数据文件格式 三维图像 分割 阈值分割是图像处理基本问题之一，在图像分析和识别中起着重要作用，其目的是按照灰度级将图像空间划分为与现实景物相对应的一些有意义区域。在各个区域内部，灰度级是相对比较均匀的，而相邻区域灰度级是不同的，其间存在 着边界。对包含了多个灰度级范围的一般图像，进行阈值分割是比较困难的，不易得到理想的分割结果，但在机器视觉、文字识别、生物医学图像分析、指纹判定等实际应用领域中，图像可视为两类图像的组合体 :背景和目标。此时，可以选择一个恰当的灰度值 (阈值 )以确定每一个图像点是属于目标还是背景，从而得到相应的二值图像。通常该过程被称为二值化。更一般的，可以选择多个阈值，把整个灰度级范围划分为几段，此为多阈值分割。 三维图像二值化 为了便于分割，我们将三维图像处在要求提取组织的灰度范围内的 像 素 (体素 )置为 1，其余 为 0，即我们利用两个 阈值 1q ，2输入图像为 ),( 输出图像为 ),( 其余若0),(1),( 21 (由于在数字化的 图像 数据中，无用的背景数据和对 像 物的数据常常混在一起，除此以外，在 图像 中还含有各种噪声。因此选择合适的 阈 值 是一个极为 重 要的问题，在此，我们用直方图来确定阈 值 ,分析三维 图像 中的几张断层二维 图像 ，确定被提中北大学 2007 届毕业 论文 第 12 页 共 38 页 取组织或区域的大致灰度范围，然后根据三维 图像 的整体灰度直方图及其一些二维断层 图像 的灰度直方图，确定被提取组织或区域的灰度 阈 值 的下限和上限。对于像 ， 像 素灰度值的大小直接反映出组织密度的大小。对于 于成 像 机理与 同， 图像 不具有物理 (密度 )相似性，通常，皮肤和脂肪具有高灰度值而骨骼的灰度值几乎与背景一样。根据 图像 的灰度直方图的峰值数基本能反映出 图像包含 组织的大致数量，谷值为不同组织间的分界限 ,图 像 的 一般情况，图 3.4(a)为 图像 灰度值分布曲线。由图 3.4(a)的峰值个数可将 图像 中的物质 (组织 )分成四类 ： 空气、脂肪、软组织和骨骼，如图 3.4(b)所示。 谷值可视为四种物质 (组织 )间的分界限。 1 （ a） 灰度值分布曲线 (b)各种灰度值分布曲线 图 人体 像灰度值分布曲线 法 介绍 法最早 是 1980年在日本大津 (中提出的，所以称为 法 10。它是在最小二乘法原理基础上推导出来的，这种方法的基本思想是将直方图在某一阈值处分割成两组，一 组对应于背景部分，一组对应于前景文字部分，当被分成的两组的组内方差最小，组间方差最大时，决定阈值。这种基于两组间最佳分类而决定阈值的方法也称为最大类间方差阈值分割方法。 具体做法如图 示。设给定图像具有 L 级灰度值，对 1 中的每个 k 将1L 分成两组，计算组 1 的 像素 数 1 k ，平均灰度 1差 1 k ；组 2 的中北大学 2007 届毕业 论文 第 13 页 共 38 页 像素 数 2 k，平均灰度 2差 2 k11。则： 组间方差 2212W (组内方差 221 2 1 2B (对于一幅给定的图像可以证明 22=常数，因此只需求出 则W自然达到最小 ,从而确定阈值 k 。 法反映了整个图像灰度分布情况 。（如图 图 流程图 这种方法，在直方图中具有两个波峰（存在一个波谷）的时候， k 将取波谷处的灰度值，与前述方法一致。即使不存在波谷，也可以求出最佳分界阈值 k ，所以本文中 采用 这种算法来实现图像的分割 。 区域修整 形态学 通常 指 生物学的一个分支，它用于处理动物和植物的形状和结构。人们中北大学 2007 届毕业 论文 第 14 页 共 38 页 后来用数学形态学（也称图像代数 ） 表示以形态为基础对图像进行分析的数学工具。我们在数学形 态学的语境中也使用形态学一词作为提取图像分量的一种工具，这些分量在表示和描述区域形状（如边界、骨骼）时是很有用的。 数学形态学的基本思想是用具有一定形态的结构元素去量度和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。数学形态学的数学基础和所用语言是集合论。数学形态学的应用可以简化为图像数据，保持它们基本的形状特性，并除去不相干的结构。数学形态学的算法具有天然的并行实现的结构。 数学形态学的基本运算有 4 种， 膨胀 (扩张 结构和 )、腐蚀 (侵蚀结构差 )、开启 结构开 )和 (闭合 结构闭 )， 它们在二值图像和灰度 (多值 )图像中各有特点，基于这些基本运算还可推导和组合成各种数学形态学实用算法。我们将给出一些数学形态学中常用的集合定义，然后介绍二值数学形态学的基本运算和算法，最后再推广到灰度数学形态学。 二值形态学与灰度形态学是建立在经典的 构和差运算基础上的，又称标准形态学， 它已由二值和灰度形态学发展成软数学形态学，其基本思想是利用“顺序统计”理论并将结构元素分为核心和软边界两大部分；将模糊集合理论用于数学形态学形成了模糊数学形态学 ，进而发展成模糊软数学形态学。本文主要讨论标准数学形态学。 集合论是数学形态学的基础，首先对集合论的一些基本概念作一 个 总结性的概括 介绍。 （ 1）集合（集） ： 具有某种性质的、确定的、有区别的事物的全体（它本身也是一个事物）。常用大写字母如 ,表示。如果某种事物不存在，就称这种事物的全体是空集。规定任何空集都只是同一个集，记为 。在以下的介绍中我们设,A B C 等均为欧几里德空间 间中的集合，如图 (a)所示。 （ 2）元素：构成集合的每个事物。常用小写字母如 ,表示。任何事物都不是 中的元素。 （ 3）子集：当且仅当集合的元素都属于集合 B 时，称 A 为的 B 子集。 （ 4）并集：由 A 和的 B 所有元素 组成的集合称为 A 和 B 的并集，记为 图 b)所示。 中北大学 2007 届毕业 论文 第 15 页 共 38 页 （ 5）交集：由 A 和 和 B 的交集 , 记为 图 c)所示。 （ 6）补集： A 的补集，记为 定义为： ， (如图 (d)所示。 （ 7）差集：两个集合 A 和 B 的差，记为 ，定义为： , (如图 (e)所示。 (a) 集合 (b) 并集 (c) 交集 (d) 集合 A (e) A 和 图 基本集合图解 （ 8）平移：数学形态学的基本思想是基于填充结构元素的概念。利用结构元素填充的过程，取决于一个基本的欧氏空间运算 平移。 A 用 ),( 21 平移，记为，定义为： ,)( x (中北大学 2007 届毕业 论文 第 16 页 共 38 页 上式的含义是说，取出 A 中的每个点 a ,将它与 x 相加，便得到一个新的点 。所有这些新点所构成的图像便是 A 被 x 平移的结果，如图 示。 图 二值图像的位移 （ 9）映像： A 的映像（也称映射），记为 A ，定义为： (如图 示： 图 二 值图像的映射 2. 二值形态学操作简述 设 A, B 为 n 维空间的两个集合，其中 A 为图像集合， B 为结构元素。下面定义四个基本的二值形态操作 1)膨胀 (膨胀也叫 增厚 (它定义为如下变换 h ,: (2)腐蚀 (腐蚀也叫细化 (它定义为如下变换 h ,: (3)开启 (开启操作定义为先进行腐蚀，后进行膨胀的一对有序操作对，而且它们使用同中北大学 2007 届毕业 论文 第 17 页 共 38 页 一个结构元素。 )( (开启操作的作用是，去除 A 中小于结构元素的连通分量，以切断大块的连通分量之间细长的 连接带，如图 示。 4)闭合 (闭合操作定义为先进行膨胀，后进行腐蚀的一对有序操作对，而且它们使用同一个结构元素。 )( (闭合操作的作用是，填补 A 中的小孔，以及弥合相邻连通分量之间的缝隙。闭合和开启构成一对互反的操作，如图 示。 （ a）原图像 (b)结构元素 （ c）对原图像的腐蚀 （ d）对腐蚀图像的膨胀 图 开启操作 （ a）原图像 （ b）结构元素 中北大学 2007 届毕业 论文 第 18 页 共 38 页 （ c）对原图像的膨胀 （ d）对膨胀图像的腐蚀 图 闭合操作 3)利用 形态学操作进行区域修整 由 二值形态学操作简述可知，开启操作可以去掉被分割图像中小于结构元素的区域，切断大块的区域之间细长的连接带 。 闭合操作可以消除区域中的小孔，弥合相邻区域之间的缝隙，使两非常接近的非连通区域成为连通的 。 对于三维医学图像，我们假设对于同一器官或组织在空间上是强连通的，而对于不同器官或组织在空间上是弱连通的或分离的。事实上，这种假设是合理的。 本文引用了开启操作和闭合操作两种针对三维图像的二值形态学处理方法，并设计了三种结构元素 (通、 18 连通、 26 连通 )可供选择，如图 示 。其中最常用的是三维十字形 (6 连通 )结构元素。 （ a） 6 连通 （ b） 18 连通 （ c） 26 连通 图 形态学分割的结构元素 种子填充法进行组织提取 三维图像 经过二值化及形态学操作后，会形成多个子区域，而我们分割的目的是分割出某一待建组织或器官所在区域。为了在这些子区域中提取出待重建的区域，我们采用种子填充的方法来实现。 我们处理的是三维医学图像，即填充在三维空间中进行，填充生成的区域是三维连通区域。可用二维图像的种子填充算法的基础上增加 z 方向功能来实现。 种子填充算法 ： 中北大学 2007 届毕业 论文 第 19 页 共 38 页 (1) 在要提取的区域中输入一个点（可直接键盘输入，也可鼠标点取）作为种子点，将种子点压进堆栈中； (2) 从堆栈中弹出一个点，将该点置为 0（涂成黑色）并记录下该点； (3) 将弹出的点的左 前 下后的顺序查看它的 6 个相邻点，若为 1（表示没有被填充），则将该点压进栈； (4) 检查堆栈是否为空，为空，清楚堆栈，结束；否则，转 3。 种子点的选取可以直接用键盘输入，亦可用鼠标在对应的二维断层图像中点取。 中北大学 2007 届毕业 论文 第 20 页 共 38 页 4 医学图像三维重建介绍 医学图像体数据主要源自各种影像设备，像 共振、超声等。按照体数据在三维空间上离散数据间的连接关系来分类，医学图像体数据属于规则网格或均匀网格结构化数据。经过图像预处理以后即可用于图像的分割和三维重建。预处理的过程则包括了断层图像的滤波、插值和规则体数据的封装等内容。 在经过了预处理和图像分割之后。我们就可以进行三维图像重建。 进行三维重建的主要任务就是实现三维可视化显示 、 操作及分析为诊断和治疗目的而提供的医学图像数据。三维可视化显示关心的是在显示设备上如何绘制出具有真实感的人体组织结构 ;在操作方面，完成交互式显示组织结构的改变，如进行手术导航等 ;而分析是对人体组织结构进 行形态或功能上的定量处理。从 80 年代开始，就己经有许多可视化的体绘制方法被提出并成功的应用于医学领域了 7。目前图像三维重建的方法主要有两大类 :一类是通过几何单元拼接拟合物体表面来描述物体三维结构的，称为基于表面的三维面绘制方法 (又称为间接绘制方法 ;另一类是直接将体素投影到显示平面的方法，称为基于体数据的体绘制方法 (，又称为直接绘制方法。其中，表面绘制方法是基于二维图像边缘或轮廓线提取，并借助传统图形学技术及硬件实现的，而 体绘制方法则是直接应用视觉原理，通过对体数据重新采样来合成产生三维图像。 体绘制更能反应真实的人体结构，但是由于体绘制算法运算量太大，即使利用高性能的计算机，仍然无法满足实际应用中交互操作的需要，因此面绘制仍是目前的主流算法。基于表面的三维面绘制方法是首先在三维空间数据场中构造出中间几何图元，然后再由传统的计算机图形学技术实现画面绘制。这种方法构造出的可视化图形虽不能反映整个原始医学图像数据场的全貌及细节，但是可以对感兴趣的等值面产生清晰的图像，而且可以利用现有的图形硬件实现绘制功能，速度较快，因而得到了广 泛的应用 8。另外，这种传统的划分，使得某些既以绘制表面为目标，又采用了体绘制原理、或者既以反映数据整体信息为目标又以几何造型作为显示单元的算法无从归属，从而造成了长期以来算法讨论中的混乱。因此，可以将这一部分算法归为第三大类，即混合绘制方法 。 中北大学 2007 届毕业 论文 第 21 页 共 38 页 三维重建技术产生背景 70 年代以来，随着计算机断层扫描 (核磁共振成像(医学成像技术的产生和发展，人们可以得到人体及其内部器官的二维数字断层图像序列。这些医学 成像的临床应用，使得医学诊断和治疗技术取得了很大的进展 12。但是，二维断层图像只是表达某一截面的解剖信息，仅有二维断层图像，人们很难建立起三维空间的立体结构。为提高医疗诊断和治疗规划的准确性与科学性，可将断层图像序列转变成为具有直观立体效果的图像，展现人体器官的三维结构与形态，从而提供若干用传统手段无法获得的解剖结构信息，并为进一步模拟操作提供视觉交互手段 13。医学图像三维重建与可视化技术就是在这一背景下提出的，这一技术一经提出，就得到大量研究与广泛应用。 三维可视化方法的典型算法 表面绘制方法 由于表面可以简洁地反映复杂物体的三维结构，因此在医学图像中边界面轮廓是用于描述器官的最重要特征。表面绘制是一种普遍应用的三维显示技术，其首先是从体数据中抽取一系列相关表面，并用多边形拟合近似后，再通过传统的图形学算法显示出来。而表面的提取通常是通过门限设定，必要时结合手工描制完成的。表面绘制方法的处理过程主要包括下面三部分 ： (1)体数据中待显示物体表面的分割 ； (2)通过几何单元内插形成物体表面 ； (3)通过照明、浓淡处理、纹理映射等图形学算法来显示有真实感的图像，并突出特定信息。表面绘制 有多种算法，但从重建过程处理的基本元素的级别上来分，可以把这些方法分成两大类 ： 体素级重建方法和切片级重建方法。其具体形式有两种 ： 边界轮廓线表示和表面曲面表示 14。 表面绘制方法中，连接轮廓线法是最早被用来进行表面绘制的方法。它是首先将每层图像的轮廓提取出来，然后用以轮廓线点为顶点的三角形将每层的轮廓线连接起来，从而拼接出物体表面。这种方法占用存储少，速度快，便于进行三维实时旋转操作，而且可以纠正由于分类不当导致的错误结果。但该算法中两相邻层轮廓线对应点的确定和连接常常是难以解决的问题。 除了以轮廓线表示 物体外，还可以由轮廓重建物体的表面来表示。最早的方法是基于多边形技术，主要用平面轮廓的三角形算法，根据在不同切片图像上抽取出的一组轮廓线，用三角片拟合过这组轮廓线的曲面。 出了另外一种基中北大学 2007 届毕业 论文 第 22 页 共 38 页 于表面轮廓的 角形方法，解决了系列表面轮廓的三维连通性问题。用三角形或多边形的小平面 (或曲面 )在相邻的边界轮廓线间填充形成物体的表面，所得出的只是分片光滑的表面， 用从轮廓出发的 B 样条插值重建算法，得到了整体光滑的表面。 出了一种称为“ 的算法 ，这是一种基于体素的表面重建方法，该方法先确定一个表面 阈值 ，计算每一体素内的梯度值，并与表面 阈值 进比较判断，找出那些含有表面的立方体，利用插值的方法求出这些表面。这种方法虽然也是用三角形拼接来形成表面，但与连接轮廓线法不同的是，这些三角形位于单个立方体元内。这种方法避免了相邻切片间等值线连接的困难，可以直接生成三维的等值曲面。该方法对于一组体数据，可通过门限设定，将网格交点划分为在表面内和在表面外两种情况，这样，每个立方体元被表面切割的情况就可由 8 个顶点的值确定。然后用三角形将体元各边上的交点连接起来，从而 构造出表面 15。 另外，移动立方体法可以获得较高分辨率的图像，图像生成速度快，且易交互。但是，在相邻体元的共享面存在 4 个交点时，会产生歧义面，从而生成错误表面。为解决这一问题， 有人 提出了分解立方体法 (即将立方体分解，直至像素大小，以直接绘制表面点。 基于表面的方法主要优点是可以采用比较成熟的计算机图形学方法进行显示 (如裁剪，隐藏面消除和浓淡计算等 )，计算量小，运行速度快，借助于专用硬件支持，可以实现实时交互显示。 体绘制方法 近 10 年来 ，体绘制方法以其在体数据处理及特征信息表现方面的优势，己得到研究者越来越多的重视，被越来越广泛地应用于医学领域。这类方法依据视觉成像原理，首先构造出理想化的物理模型，即将每个体素都看成是能够接受或者发出光线的粒子，然后依据光照模型及体素的介质属性分配一定的光强和不透明度，并沿着视线观察方向积分，最后在像平面上就形成了半透明的投影图像。体绘制算法的 处理过程如图 ： 中北大学 2007 届毕业 论文 第 23 页 共 38 页 图 体绘制算法处理过程 由于体绘制方法基于体绘制方程，在具体实现过程中表现出多种多样的思想，从而演绎出多 种具体算法。现分别介绍如下 : （ 1） 按算法中数据处理顺序分类 按照算法进程中数据输入及处理顺序，体绘制方法可以分为像空间序 (、物体空间序 (0和混合序 (。 其中，像空间序法是按像空间坐标顺序将体数据沿视线方向进行重采样滤波，再累积到像平面的一种算法。视线跟踪算法 (就属于这类方法。由于算法的模型是沿着从像平面上某个像素出发的视线向后追溯体素，进行累积，所以又称之为后向投影算法 (物体空间序法则是按物体空间坐标顺序将体素投影到像平面上，以脚印法 (代表。这种算法实际上是体数据与一个低通滤波器 (称为重建核 )卷积，再将各体素分别沿视线反方向投影累积到像平面的过程，故又称前向投影算法(16。 这两类算法的程序框架恰好相反，因此从理论上讲，如果采用相同的重采样滤波器，其生成的图像应完全相同。混合序法是先生成一幅中间图像 ，但该图像空间的一个坐标轴与对应物体空间的一个坐标轴方向应一致，然后将其变换到视线