广东省高考数学 11.3二项式定理配套课件 理 新人教A版.pptVIP

第三节二项式定理 三年10考高考指数 1 能用计数原理证明二项式定理 2 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 1 二项展开式的通项公式的应用 利用通项公式求特定的项或特定项的系数 或已知某项 求指数n等是考查重点 2 赋值法 化归思想是解决二项展开式问题的基本思想和方法 也是高考考查的热点 3 题型以选择题和填空题为主 与其他知识点交汇则以解答题为主 1 二项式定理 a b n n n tk 1 二项展开式中各项的系数为 k 0 1 2 n 它表示第 项 即时应用 1 a b n展开式中 二项式系数 k 0 1 2 n 与展开式中项的系数 填 一定 不一定 相同 2 3 的展开式中 x3的系数等于 解析 1 二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念 二项式系数是指它只与各项的项数有关 而与a b无关 而项的系数是指该项中除变量外的部分 它不仅与各项的二项式系数有关 而且也与a b所代表的项有密切关系 2 原式 1 2 11 1 3 的通项为tr 1 令6 r 3 得r 2 r 3 0 故x3的系数为 1 2 15 答案 1 不一定 2 1 3 15 2 二项式系数的性质 1 对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 即 2 增减性 二项式系数当k 时 二项式系数是递增的 当k 时 二项式系数是递减的 3 最大值 当n是偶数时 中间的一项 取得最大值 当n是奇数时 中间两项 和 相等 且同时取得最大值 即时应用 1 二项式 1 x 4n 1的展开式中 系数最大的项为第 项 2 若展开式中第6项的系数最大 则不含x的项等于 解析 1 因为4n 1为奇数 所以展开式有4n 2项 则t2n 1 x 2n t2n 2 x 2n 1 系数分别为所以系数最大的项为第2n 1项 2 由已知 得第6项应为中间项 则n 10 令30 5r 0 得r 6 t6 1 210 答案 1 2n 1 2 210 3 各个二项式系数的和 1 a b n的展开式的各个二项式系数的和等于 即 2 二项展开式中 偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和 即 2n 2n 1 即时应用 1 若 x n的展开式中第3项的二项式系数是15 则展开式中所有项的系数之和为 2 已知 3 x 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 则a0 a1 a2 a3 a4等于 3 已知 1 x 5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5 则 a0 a2 a4 a1 a3 a5 的值等于 解析 1 依题意 得 15 即 15 n n 1 30 其中n 2 由此解得n 6 因此展开式中所有项的系数之和为 1 6 2 由题意 可知令x 1 代入式子 可得a0 a1 a2 a3 a4 3 1 4 256 3 分别令x 1 x 1 得a0 a1 a2 a3 a4 a5 0 a0 a1 a2 a3 a4 a5 32 由此解得a0 a2 a4 16 a1 a3 a5 16 所以 a0 a2 a4 a1 a3 a5 256 答案 1 2 256 3 256 求二项展开式中特定的项或特定项的系数 方法点睛 1 理解二项式定理应注意的问题 1 tr 1通项公式表示的是第 r 1 项 而不是第 r 项 2 通项公式中a和b的位置不能颠倒 3 展开式中第r 1项的二项式系数与第r 1项的系数在一般情况下是不相同的 在具体求各项的系数时 一般先处理符号 对根式和指数的运算要细心 以防出错 2 求特定项的步骤 1 根据所给出的条件 特定项 和通项公式建立方程来确定指数 求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件 即n为正整数 r为非负整数 且r n 2 根据所求项的指数特征求所要求解的项 例1 1 2012 宁波模拟 在的展开式中 系数为有理数的项共有 项 2 2012 烟台模拟 x 1 5展开式中的常数项为 3 在的展开式中 系数绝对值最大的项是第几项 解题指南 1 先明确系数为有理数的项的特征 然后由二项展开式的通项找出符合条件的项的个数 2 可将括号内的三项分成两组看成两项 再利用二项式定理求解 也可直接展开所给式子进行求解 3 设第r 1项系数的绝对值最大 据此可构造含有r的不等式组 求出r的范围后 再求项数 规范解答 1 要求系数为有理数的项 则r必须能被4整除 由0 r 20且r n知 当且仅当r 0 4 8 12 16 20时所对应的项系数为有理数 答案 6 2 方法一 x 1 5 x 1 5 它的展开式的通项为 tr 1 0 r 5 当r 5时 tr 1 1 1 5 1 当0 r 5时 x 5 r的通项公式为 0 r 5且r z r只能取1或3 相应的k值分别为2或1 即或所以 其常数项为 1 1 3 1 51 方法二 由于本题只是5次展开式 也可以直接展开 x 1 5 即 x 1 5 x 5 5 x 4 10 x 3 10 x 2 5 x 1 由x 的对称性知 只有在x 的偶次幂中 其展开式才会出现常数项 且是各自的中间项 所以 其常数项为 答案 51 3 设第r 1项系数的绝对值最大 则即 5 r 6 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项 互动探究 在本例 3 中 条件不变 求系数最大的项和最小的项 解析 由本例 3 知 展开式的第6项和第7项系数的绝对值最大 而第6项的系数为负 第7项的系数为正 故系数最大的项为 系数最小的项为 反思 感悟 求二项式n次幂的展开式中的特定项 一般利用结合律 借助于二项式定理的通项求解 当幂指数比较小时 可以直接写出展开式的全部或局部 变式备选 已知的展开式中 前三项系数的绝对值依次成等差数列 1 求证 展开式中没有常数项 2 求展开式中所有的有理项 解析 由题意得即n2 9n 8 0 所以n 8或n 1 舍去 所以 1 若tr 1是常数项 则 0 即16 3r 0 因为r z 这不可能 所以展开式中没有常数项 2 若tr 1是有理项 当且仅当为整数 又0 r 8 r z 所以r 0 4 8 即展开式中有三项有理项 分别是t1 x4 t5 t9 二项式系数和或各项的系数和 方法点睛 赋值法的应用 1 对形如 ax b n ax2 bx c m a b c r 的式子求其展开式的各项系数之和 常用赋值法 只需令x 1即可 对形如 ax by n a b r 的式子求其展开式各项系数之和 只需令x y 1即可 2 若f x a0 a1x a2x2 anxn 则f x 展开式中各项系数之和为f 1 奇数项系数之和为a0 a2 a4 偶数项系数之和为a1 a3 a5 提醒 赋值法 是求二项展开式系数问题常用的方法 注意取值要有利于问题的解决 可以取一个值或几个值 也可以取几组值 解题易出现漏项等情况 应引起注意 例2 2012 梅州模拟 设 2x 1 5 a0 a1x a2x2 a5x5 求 1 a0 a1 a2 a3 a4 2 a0 a1 a2 a3 a4 a5 3 a1 a3 a5 4 a0 a2 a4 2 a1 a3 a5 2 解题指南 2x 1 5 a0 a1x a2x2 a5x5为关于x的恒等式 求系数和的问题可用赋值法解决 规范解答 设f x 2x 1 5 a0 a1x a2x2 a5x5 则f 1 a0 a1 a2 a5 1 f 1 a0 a1 a2 a3 a4 a5 3 5 243 1 a5 25 32 a0 a1 a2 a3 a4 f 1 32 31 2 a0 a1 a2 a5 a0 a1 a2 a3 a4 a5 f 1 243 3 f 1 f 1 2 a1 a3 a5 a1 a3 a5 122 4 a0 a2 a4 2 a1 a3 a5 2 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a0 a1 a2 a3 a4 a5 f 1 f 1 243 反思 感悟 1 赋值法是解这类问题的重要方法 运用赋值法求值要抓住代数式的结构特征 通过特殊值代入构造相应的结构 2 本题是关于二项展开式各项系数的常见问题 应掌握f 1 f 1 的意义 借助f 1 求展开式各项的系数和是常用的方法 变式训练 1 已知 1 x 1 x 2 1 x n a0 a1x a2x2 anxn 且a1 a2 an 1 29 n 则n 解析 易知an 1 令x 0得a0 n 所以a0 a1 an 30 又令x 1 有2 22 2n a0 a1 an 30 即2n 1 2 30 所以n 4 答案 4 2 已知 1 x n a0 a1x a2x2 anxn 若5a1 2a2 0 则a0 a1 a2 a3 1 nan 解析 由二项式定理 得代入已知得 5n n n 1 0 所以n 6 令x 1得 1 1 6 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 即a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 64 答案 64 变式备选 设 x2 x 1 50 a100 x100 a99x99 a98x98 a0 1 求a100 a99 a98 a1的值 2 求a100 a98 a96 a2 a0的值 解析 1 令x 0 得a0 1 令x 1 得a100 a99 a98 a1 a0 1 所以a100 a99 a98 a1 0 2 令x 1 得a100 a99 a98 a1 a0 1 而a100 a99 a98 a1 a0 1 整理可得a100 a98 a96 a2 a0 1 二项式定理的综合应用 方法点睛 二项式定理的综合应用 1 利用二项式定理进行近似计算 当n不很大 x 比较小时 1 x n 1 nx 2 利用二项式定理证明整除问题或求余数问题 在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形 使被除式 数 展开后的每一项都有除式的因式 要注意变形的技巧 3 利用二项式定理证明不等式 由于 a b n的展开式共有n 1项 故可以对某些项进行取舍来放缩 从而达到证明不等式的目的 例3 1 求证 4 6n 5n 1 9能被20整除 2 根据所要求的精确度 求1 025的近似值 精确到0 01 解题指南 1 将6拆成 5 1 将5拆成 4 1 进而利用二项式定理求解 2 把1 025转化为二项式 适当展开 根据精确度的要求取必要的几项即可 规范解答 1 4 6n 5n 1 9 4 6n 1 5 5n 1 4 5 1 n 1 5 4 1 n 1 20 5n 1 4n 1 是20的倍数 所以4 6n 5n 1 9能被20整除 2 1 025 1 0 02 5 当精确到0 01时 只要展开式的前三项和 1 0 10 0 004 1 104 近似值为1 10 互动探究 将本例 2 中精确到0 01改为精确到0 001 如何求解 解析 由本例 2 知 当精确到0 001时 只要取展开式的前四项和 1 0 10 0 004 0 00008 1 10408 近似值为1 104 反思 感悟 利用二项式定理证明整除问题时 首先需注意 a b n中 a b中有一个是除数的倍数 其次展开式有什么规律 余项是什么 必须清楚 变式备选 1 除以9 得余数是多少 解析 7 1 n 1 8n 1 9 1 n 1 i 当n为奇数时原式 除以9所得余数为7 ii 当n为偶数时原式 除以9所得余数为0 即被9整除 2 求0 9986的近似值 使误差小于0 001 解析 0 9986 1 0 002 6 1 6 0 002 1 15 0 002 2 0 002 6 因为t3 0 002 2 15 0 002 2 0 00006 0 001 且第3项以后的绝对值都小于0 001 所以从第3项起 以后的项都可以忽略不计 所以0 9986 1 0 002 6 1 6 0 002 1 0 012 0 988 易错误区 对展开式中的项考虑不全面致误 典例 2011 新课标全国卷 x 2x 5的展开式中各项系数的和为2 则该展开式中常数项为 a 40 b 20 c 20 d 40 解题指南 用赋值法求各项系数和 确定a的值 然后再求常数项 规范解答 选d 令x 1 可得 x 2x 5的展开式中各项系数和为1 a 1 a 2 即a 1 2x 5的通项公式 x 2x 5的展开式中的常数项为 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 陕西高考 4x 2 x 6 x r 展开式中的常数项是 a 20 b 15 c 15