四边形经典题型整理.doc

学习资料收集于网络，仅供参考四边形经典题型1、下列条件中，能确定一个四边形是平行四边形的是（ ） A、一组对边相等B、一组对角相等C、两条对角线相等D、两条对角线互相平分2、（2017温州）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH已知AM为RtABM较长直角边，AM=2 EF，则正方形ABCD的面积为（ ） 2题图 3题图A、12S B、10S C、9S D、8S3、在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，ACF=AFC，FAE=FEA。若ACB=21，则ECD的度数是（ ）A、7 B、21 C、23 D、244、（2017嘉兴）一张矩形纸片 ，已知 ， ，小明按所给图步骤折叠纸片，则线段 长为（ ）A、 B、 C、 D、5、（2017嘉兴）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， 若平移点 到点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（ ） 5题图 6题图A、向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B、向左平移 个单位，再向上平移1个单位C、向右平移 个单位，再向上平移1个单位 D、向右平移1个单位，再向上平移1个单位6、（2017丽水）如图，在ABCD中，连结AC，ABC=CAD=45，AB=2，则BC的长是（ ）A、 B、2 C、2 D、47、下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A、ABCD，ADBC B、AD=BC，AB=CD C、ABCD，AD=BC D、A=C，B=D8、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，CBD=90，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（ ） 8题图 9题图A、6 B、12 C、20 D、249、能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（ ） A、AD=BC，ABCD B、A=B，C=D C、AB=BC，AD=DC D、ABCD，CD=AB10、已知四边形ABCD，下列说法正确的是（ ） A、当AD=BC，ABDC时，四边形ABCD是平行四边形B、当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C、当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D、当AC=BD，ACBD时，四边形ABCD是正方形11、四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） 12题图 13题图 14题图 15题图A、ABDC，ADBC B、AB=DC，AD=BC C、AO=CO，BO=DO D、ABDC，AD=BC12、（2017宁波）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE4，过点E作EFBC，分别交BD、CD于G、F两点若M、N分别是DG、CE的中点，则MN的长为 （ ）A、3 B、 C、 D、413、（2017台州）如图，矩形EFGH四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF，将AEH，CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 时，则 为（ ）A、 B、2 C、 D、414、（2017衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（ ）A、 B、 C、 D、15、如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GECD，GFBC，AD=1500m，小敏行走的路线为BAGE，小聪得行走的路线为BADEF.若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为_m. 16题图 17题图 18题图 16、（2017丽水）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示.在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ/AB，则正方形EFGH的边长为_. 19题图17、（2017宁波）如图，在菱形纸片ABCD中，AB2，A60，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上则cosEFG的值为_18、（2017台州）如图，有一个不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是_19、（2017金华）在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m.拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）.如图1，若BC4m，则S_m.如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变.则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为_m.20、如图， 是 的中线， 是线段 上一点（不与点 重合） 交 于点 ， ，连结 (1)如图1，当点 与 重合时，求证：四边形 是平行四边形； (2)如图2，当点 不与 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由. (3)如图3，延长 交 于点 ，若 ，且 当 ， 时，求 的长 21、（2017宁波）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AECG，BFDH，连结EF、FG、GH、HE(1)求证：四边形EFGH为平行四边形； (2)若矩形ABCD是边长为1的正方形，且FEB45，tanAEH2，求AE的长 22、（2017丽水）如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过点F作GFAF交AD于点G，设 =n.(1)求证：AE=GE； (2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示 的值； (3)若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值. 23、如图1，已知ABCD，AB/x轴，AB=6，点A的坐标为（1，-4），点D的坐标为（-3,4），点B在第四象限，点P是ABCD边上的一个动点. (1)若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标. (2)若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上，求点P的坐标. (3)若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标（直接写出答案）. 24、定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.(1)如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，ABC=90，若AB=CD=1，AB/CD，求对角线BD的长.若ACBD，求证：AD=CD. (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形.求AE的长. 25、（2017衢州）在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连结OB，D为OB的中点。点E是线段AB上的动点，连结DE，作DFDE，交OA于点F，连结EF。已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒。(1)如图1，当t=3时，求DF的长； (2)如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tanDEF的值； (3)连结AD，当AD将DEF分成的两部分面积之比为1:2时，求相应t的值。 26、（2017金华）(本题12分)如图1,在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别O(0,0),A(3, )，B(9,5 )，C(14,0).动点P与Q同时从O点出发，运动时间为t秒，点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动，点Q沿折线OAABBC运动，在OA，AB，BC上运动的速度分别为3， ， (单位长度/秒)当P,Q中的一点到达C点时，两点同时停止运动(1)求AB所在直线的函数表达式. (2)如图2，当点Q在AB上运动时，求CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值. (3)在P,Q的运动过程中，若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点，求相应的t值. 27、（2017金华）(本题10分) 如图1，将ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰BED和等腰DHC的底边上的高线EF,HG折叠,折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形.类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩 形，这样的矩形称为叠合矩形.(1)将ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段_，_；S矩形AEFG:SABCD=_ (2)ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长. (3)如图4，四边形ABCD纸片满足ADBC,AD0，AB= . .（3）解：设AE=a，则AD=na，由AD=4AB，则AB= .当点F落在线段BC上时（如图2），EF=AE=AB=a，此时 ，n=4.当点F落在矩形外部时，n4.点F落在矩形的内部，点G在AD上，FCGBCD，FCG90，若CFG=90，则点F落在AC上，由（2）得 ，n=16.若CGF=90（如图3），则CGD+AGF=90，FAG+AGF=90，CGD=FAG=ABE，BAE=D=90，ABEDGC， ，ABDC=DGAE，即（ ）2=（n-2）aa.解得 或 （不合题意，舍去），当n=16或 时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形.【考点】矩形的性质，解直角三角形的应用 【解析】【分析】（1）因为GFAF，由对称易得AE=EF，则由直角三角形的两个锐角的和为90度，且等边对等角，即可证明E是AG的中点；（2）可设AE=a，则AD=na，即需要用n或a表示出AB，由BEAF和BAE=D=90，可证明ABEDAC , 则 ，因为AB=DC，且DA，AE已知表示出来了，所以可求出AB，即可解答；（3）求以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形时的n，需要分类讨论，一般分三个，FCG=90，CFG=90，CGF=90；根据点F在矩形ABCD的内部就可排除FCG=90，所以就以CFG=90和CGF=90进行分析解答. 23、【答案】（1）解：在ABCD中， CD=AB=6，所以点P与点C重合，所以点P的坐标为（3,4）.（2）解：当点P在边AD上时，由已知得，直线AD的函数表达式为y=-2x-2，设P（a,-2a-2），且-3a1，若点P关于x轴对称点Q1（a,2a+2）在直线y=x-1上，所以2a+2=a-1，解得a=-3，此时P（-3,4）。若点关于y轴对称点Q2（-a,-2a-2）在直线y=x-1上，所以-2a-2=-a-1，解得a=-1，此时P（-1,0）.当点P在边AB上时，设P（a,-4）,且1a7，若点P关于x轴对称点Q3（a，4）在直线y=x-1上，所以4=a-1，解得a=5,此时P（5，-4）.若点P关于y轴对称点Q4（-a,-4）在直线y=x-1上，所以-4=-a-1，解得a=3,此时P（3，-4）.综上所述，点P的坐标为（-3,4）或（-1,0）或（5，-4）或（3，-4）.（3）解：因为直线AD为y=-2x-2，所以G（0,-2）.如图，当点P在CD边上时，可设P（m，4）,且-3m3,则可得MP=PM=4+2=6,MG=GM=|m|，易证得OGMHMP，则 ,即 ，则OM= ，在RtOGM中，由勾股定理得， ，解得m= 或 ，则P（ ，4）或（ ，4）；如下图，当点P在AD边上时，设P（m,-2m-2）,则PM=PM=|-2m|，GM=MG=|m|,易证得OGMHMP，则 ,即 ，则OM= ，在RtOGM中，由勾股定理得， ，整理得m= ,则P（ ，3）；如下图，当点P在AB边上时，设P（m，-4），此时M在y轴上，则四边形PMGM是正方形，所以GM=PM=4-2=2，则P（2，-4）.综上所述，点P的坐标为（2，-4）或（ ，3）或（ ，4）或（ ，4）. 【考点】平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】（1）点P在BC上，要使PD=CD，只有P与C重合；（2）首先要分点P在边AB，AD上时讨论，根据“点P关于坐标轴对称的点Q”，即还要细分“点P关于x轴的对称点Q和点P关于y轴的对称点Q”讨论，根据关于x轴、y轴对称点的特征（关于x轴对称时，点的横坐标不变，纵坐标变成相反数；关于y轴对称时，相反；）将得到的点Q的坐标代入直线y=x-1，即可解答；（3）在不同边上，根据图象，点M翻折后，点M落在x轴还是y轴，可运用相似求解. 24、【答案】（1）解：因为AB=CD=1，AB/CD,所以四边形ABCD是平行四边形.又因为AB=BC，所以ABCD是菱形.又因为ABC=90度，所以菱形ABCD是正方形.所以BD= .如图1，连结AC，BD，因为AB=BC，ACBD，所以ABD=CBD,又因为BD=BD，所以ABDCBD，所以AD=CD.（2）解：若EF与BC垂直，则AEEF，BFEF，所以四边形ABFE不是等腰直角四边形，不符合条件；若EF与BC不垂直，当AE=AB时，如图2，此时四边形ABFE是等腰直角四边形.所以AE=AB=5.当BF=AB时，如图3，此时四边形ABFE是等腰直角四边形.所以BF=AB=5，因为DE/BF，所以PEDPFB，所以DE：BF=PD：PB=1:2,所以AE=9-2.5=6.5.综上所述，AE的长为5或6.5.【考点】平行四边形的判定 【解析】【分析】（1）由AB=CD=1，AB/CD,根据“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形ABCD是平行四边形.由邻边相等AB=BC，有一直角ABC=90度，所以菱形ABCD是正方形.则BD= ；连结AC，BD，由AB=BC，ACBD，可知四边形ABCD是一个筝形，则只要证明ABDCBD，即可得到AD=CD.（2）分类讨论：若EF与BC垂直，明示有AEEF，BFEF，即EF与两条邻边不相等；由A=ABC=90，可分类讨论AB=AE时，AB=BF时去解答. 25、【答案】（1）解：当t=3时，如图1，点E为AB中点.点D为OB中点，DE/OA，DE=OA=4，OAAB,DEAB,OAB=DEA=90,又DFDE,EDF=90四边形DFAE是矩形，DF=AE=3.（2）解：DEF大小不变，如图2，过D作DMOA,DNAB,垂足分别是M、N,四边形OABC是矩形，OAAB,四边形DMAN是矩形，MDN=90，DM/AB,DN/OA,点D为OB中点，M、N分别是OA、AB中点，DM=AB=3,DN=OA=4,EDF=90,FDM=EDN.又DMF=DNE=90,DMFDNE,EDF=90,tanDEF=（3）解：过D作DMOA，DNAB。垂足分别是M,N.若AD将DEF的面积分成1：2的两个部分，设AD交EF于点G，则易得点G为EF的三等分点.当点E到达中点之前时. NE=3-t，由DMFDNE得 MF=（3-t）. AF=4+MF=-t+. 点为EF的三等分点。 （.t）.由点A（8，0），D（4，3）得直线AD解析式为y=-+6. (.t)代入，得t=.当点E越过中点之后. NE=t-3,由DMFDNE得MF=（t-3）. AF=4-MF=-+. 点为EF的三等分点. (.). 代入直线AD解析式y=-+6. 得t=.【考点】矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，与一次函数有关的动态几何问题 【解析】【分析】（1）当t=3时，如图1，点E、D分别为AB、OB中点，得出DE/OA，DE=OA=4，根据OAAB得出DEAB，从而得出四边形DFAE是矩形，根据矩形性质求出DF=AE=3.（2）如图2，过D作DMOA,DNAB,垂足分别是M、N,四边形OABC、DMAN都是矩形，由平行得出,由D、M、N是中点又可以得出条件判断DMFDNE，从而得出tanDEF=。（3）过D作DMOA，DNAB。垂足分别是M,N；若AD将DEF的面积分成1：2的两个部分，设AD交EF于点G，则易得点G为EF的三等分点.分点E到达中点之前或越过中点之后来讨论，得出 NE，由DMFDNE得 MF和AF的长度， 再算出直线AD的解析式，由点G为EF的三等分点得出G点坐标将其代入AD直线方程求出t值。 26、【答案】（1）解：把A（3，3 ），B（9，5 ）代入y=kx+b,得 ;解得：;y= x+2;（2）解：在PQC中，PC=14-t,PC边上的高线长为;当t=5时，S有最大值；最大值为.（3）解： a.当0t2时，线段PQ的中垂线经过点C（如图1）；可得方程解得：,（舍去），此时t=.b.当2t6时，线段PQ的中垂线经过点A（如图2）可得方程,解得：;（舍去），此时；c.当6t10时，线段PQ的中垂线经过点C（如图3）可得方程14-t=25-;解得：t=.线段PQ的中垂线经过点B（如图4）可得方程;解得,（舍去）；此时；综上所述：t的值为，.【考点】待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的应用，与一次函数有关的动态几何问题，与二次函数有关的动态几何问题 【解析】【分析】（1）用待定系数法求直线AB方程即可。（2）根据三角形的面积公式得到关于t的二次三项式，再由二次函数图像的性质求出S的最大值即可。（3）根据t的值分情况讨论，依题意列出不同的方程从而求出t的值。 27、【答案】（1）AE；GF；1:2（2）解：四边形EFGH是叠合矩形，FEH=90,EF=5,EH=12;FH=13;由折叠的轴对称性可知：DH=NH,AH=HM,CF=FN;易证AEHCGF;CF=AH;AD=DH+AH=HN+FN=FH=13.（3）解：本题有以下两种基本折法，如图1，图2所示.按图1的折法，则AD=1，BC=7.按图2的折法，则AD=,BC=. 【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】（1）由图可以观察出叠合的矩形是由AE和GF折叠而成，所以ABEAHE;四边形AGFH四边形DGFC;所以S矩形AEFG:SABCD=1：2.【分析】（1）由图2观察可得出答案为AE,GF,由折叠的轴对称性质可得出答案为1：2.（2）由EF和EH的长度根据勾股定理可求出FH的长度，再由折叠的轴对称性质易证