广东学导练八年级数学上册 第十三章 13.4 课题学习 最短路径问题课件 （新版）新人教版.ppt

第十三章轴对称 13 4课题学习最短路径问题 课前预习 1 我们已经学习过 两点的所有连线中 和 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 等问题 我们称它们为最短路径问题 2 如图13 4 1所示 从a地到b地有三条路可供选择 其中最近的是第条路 理由是 线段最短 垂线段最短 两点之间线段最短 3 如图13 4 2 a b在直线l的两侧 请在l上选取一点p 使得这个点到点a b的距离之和最短 即pa pb最小 请问这样选取的理由是即此时pa pb 两点之间线段最短 ab 4 求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题 只要找到其中一个点关于这条直线的 连接与 则与该直线的交点即为所求 5 在解决最短路径问题时 我们通常利用 等变化把已知问题转化为容易解决的问题 从而作出最短路径的选择 对称点 对称点 另一个点 轴对称 平移 6 如图13 4 3 四边形abcd中 bad 120 b d 90 在bc cd上分别找一点e和f 使 aef的周长最小 此时 aef afe的度数为 120 名师导学 新知1 运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质 将所求线段之和转化为一条线段的长 是解决距离之和最小问题的基本思路 不论题目如何变化 运用时要抓住直线同旁有两点 这两点到直线上某点的距离和最小这个核心 所有作法都相同 例1 如图13 4 4 一个牧童在小河的南边a处牧马 而他正位于他的小屋b处 他想把他的马牵到小河边去饮水 然后回家 问 马牵到小河边什么地方饮水 然后回家所走的路程最短 请在图中画出河边马饮水的位置 例题精讲 解析本题要在河边找一点d 使ad bd最小 可作出点a关于河南岸所在直线的对称点a 连接a b 交河岸于点d 则点d是马饮水的位置 解如图13 4 5 作出点a关于河的对称点a 连接a b 交河岸于点d 则点d是马饮水的位置 注意 利用轴对称解决最值问题应注意题目要求 根据轴对称的性质 利用三角形的三边关系 通过比较来说明最值问题是常用的一种方法 解决这类最值问题时 要认真审题 不要只注意图形而忽略题意要求 导致答非所问 举一反三 1 直线l是一条河 a b两地相距5km a b两地到l的距离分别为3km 6km 欲在l上的某点m处修建一个水泵站 向a b两地供水 现有如下四种铺设方案 图中实线表示铺设的管道 则铺设的管道最短的是 a 2 直线l是一条河 p q是两个村庄 计划在l上的某处修建一个水泵站m 向p q两地供水 现有如下四种铺设方案 图中实线表示铺设的管道 则所需管道最短的是 d 3 如图13 4 6 点p为 aob内一点 分别作点p关于oa ob的对称点p1 p2 连接p1 p2交oa于m 交ob于n 若p1p2 6 则 pmn周长为 a 4b 5c 6d 7 c 新知2 利用平移确定最短路径选址 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时 可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零 转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题 在解决最短路径问题时 我们通常利用轴对称 平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上 从而作出最短路径的方法来解决问题 例2 如图13 4 7 两个村庄a和b被一条河隔开 现要在河上架设一小桥dc 请你为两村设计桥址 使由a村到b村的距离最小 假定两河岸m n是平行的 且桥要与河垂直 要求简单写出作图过程并保留作图痕迹 例题精讲 解析a到b要走的路线是a d c b 如图13 4 8所示 而dc是定值 于是要使路程最短 只要ad bc最短即可 此时两线段应在同一平行方向上 平移dc到aa1 从a1到b应是余下的路程 连接ba1的线段即为最短的 此时不难说明点c即为建桥的位置 dc即为所建的桥 解 1 如图13 4 8 过点a作aa1垂直于河岸 且使aa1等于河宽 2 连接ba1与河岸的一边交于点c 3 过点c作河岸的垂线交另一条河岸于点d 则dc为所建的桥的位置 举一反三 1 如图13 4 9 a和b两地在一条河的两岸 现要在河上造一座桥mn 使从a到b的路径amnb最短的是 假定河的两岸是平行直线 桥要与河岸垂直 d 2 如图13 4 10 要在一条河上架一座桥mn 河的两岸互相平行 桥与河岸垂直 在如下四种方案中 使得e