高考数学 第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算课件 理 新人教A版.ppt

第四章平面向量 数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算 1 向量的有关概念 1 定义 既有 又有 的量叫做向量 2 表示方法 用字母表示 a b c 用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示 如其中有向线段的长度表示向量的 箭头所指的方向表示向量的 3 模 向量的 叫做向量的模 记作 a b 或 大小 方向 大小 方向 长度 2 特殊向量 0 任意的 1个单位 相同或相反 相同 相反 3 向量的加法与减法 1 向量的加法 三角形法则 已知非零向量a b 在平面内任取一点a 作 a b 则向量叫做a与b的和 记作 即 这种求向量和的方法 称为向量加法的三角形法则 a b a b 平行四边形法则 以同一点o为起点的两个已知向量a b为邻边作 oacb 则以o为起点的对角线就是a与b的和 这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 向量加法的几何意义 如图所示 2 向量的减法 定义 定义a b a 即减去一个向量相当于加上这个向量的 几何意义 如图 a b 则 b 相反向量 4 向量的数乘运算及其几何意义 1 定义 实数 与向量a的积是一个向量 这种运算叫向量的数乘 记作 a 它的长度与方向规定如下 a a 当 0时 a与a的方向 当 0时 a与a的方向 当 0时 a 0 相同 相反 2 运算律 设 是两个实数 则 a a a b 5 共线向量定理向量a a 0 与b共线 当且仅当有唯一一个实数 使 a a a a b b a 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 向量与有向线段是一样的 因此可以用有向线段来表示向量 2 两向量不能比较大小 3 若向量a b共线 则向量a b的方向相同或相反 4 a 与 b 是否相等与a b的方向无关 5 6 共线向量定理b a中 当a 0时 则实数 不唯一 解析 1 错误 向量是可以自由平移的 而有向线段是有端点的 端点不同 则有向线段不同 故向量与有向线段不同 但向量可用有向线段来表示 故不正确 2 正确 由于向量是具有大小和方向的量 因此无法比较大小 故正确 3 错误 当a b中有一个为0时 其方向是不确定的 故不正确 4 正确 当 a b 时 说明a b的模相等 与方向无关 故正确 5 正确 首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量 故正确 6 错误 当a 0且b 0时 则实数 可为任意实数 故不唯一 当a 0且b 0时 不存在 故不正确 答案 1 2 3 4 5 6 1 d是 abc的边ab上的中点 则向量等于 a b c d 解析 选a 如图 2 判断下列四个命题 若a b 则a b 若 a b 则a b 若 a b 则a b 若a b 则 a b 其中正确的个数是 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 选a 中两向量共线 但这两向量的方向 模均不一定相同 故不一定相等 中两向量的模相等 但方向不一定相同 故这两向量不一定相等 中两向量的模相等 但两向量不一定共线 中两向量相等 则模一定相等 故正确 3 若o e f是不共线的任意三点 则以下各式中成立的是 a b c d 解析 选b 4 如图 正六边形abcdef中 a 0 b c d 解析 选d 5 设a b是两个不共线的向量 且向量a b与2a b共线 则 解析 由题意知a b k 2a b 则有 k 答案 考向1平面向量的有关概念 典例1 1 下列命题中 时间 速度 加速度都是向量 向量的模是一个正实数 所有的单位向量都相等 共线向量一定在同一直线上 其中真命题的个数是 a 0 b 1 c 2 d 3 2 2013 广州模拟 下列结论中 不正确的是 a 向量共线与向量意义相同 b 向量 则向量 c 若a b b c 则a c d 若向量a b满足 a b 则向量a与b的方向相同 3 2013 宜宾模拟 给出下列命题 两个具有共同终点的向量 一定是共线向量 若a与b同向 且 a b 则a b 为实数 若 a b 则a与b共线 其中错误命题的序号为 思路点拨 1 根据向量及其有关概念分析解题即可 2 根据向量共线 相等的定义逐一分析即可 3 根据共线向量的概念逐一分析判断可得结论 规范解答 1 选a 中时间不是向量 不正确 中向量的模可以为0 故不正确 中单位向量的模相等 但方向不一定相同 故不正确 中共线向量所在的直线可能平行 故不正确 综上选a 2 选d 向量的共线与向量的平行是同义的 故a正确 根据相反向量的概念可得b正确 由向量相等的概念可知c正确 当两向量的模相等时 方向不一定相同 故d不正确 3 不正确 虽然终点相同 但两个向量也可能不共线 如图 a b即不共线 不正确 向量不能比较大小 不正确 当 0时 a与b可为任意向量 不一定共线 综上 都不正确 答案 拓展提升 平面向量中常用的几个结论 1 相等向量具有传递性 非零向量的平行也具有传递性 2 向量可以平移 平移后的向量与原向量是相等向量 解题时不要把它与函数图象的平移混为一谈 3 是与a同向的单位向量 是与a反向的单位向量 变式训练 1 设a是任一向量 e是单位向量 且a e 则下列表示形式中正确的是 a e b a a e c a a e d a a e 解析 选d 对于a 当a 0时 没有意义 错误 对于b c d当a 0时 选项b c d都对 当a 0时 由a e可知 a与e同向或反向 选d 2 给出下列命题 若a b c d是不共线的四点 则是四边形abcd为平行四边形的充要条件 0 a 0 a b的充要条件是 a b 且a b 若a与b均为非零向量 则 a b 与 a b 一定相等 其中正确命题的序号是 解析 正确 一方面 数乘向量的结果为向量 而不是实数 另一方面 实数与向量的数乘运算不能用符号 故不正确 当a b时 a b 且a b 反之不成立 故错误 当a b不同向时不成立 故错误 答案 考向2平面向量的线性运算 典例2 1 如图 d e f分别是 abc的边ab bc ca的中点 则 a 0 b 0 c 0 d 0 2 2013 泉州模拟 已知p a b c是平面内四点 且 那么一定有 a b c d 3 2013 湛江模拟 在 abc中 e f分别为ac ab的中点 be与cf相交于g点 设 a b 试用a b表示 思路点拨 1 利用平面向量的线性运算并结合图形求解 2 将向量分解为以点p为起点的两向量的差 然后化简即可 3 结合图形 利用向量加法将表示为相关向量的线性运算式 规范解答 1 选a 0 0 即 0 2 选d 由题意得 即 3 设 m 0 则 又 解得 m 拓展提升 向量线性运算的注意点 1 一个关系 当向量a b不共线时 a b的方向与a b的方向都不相同 且满足 a b b 则a b与a同向 且 a b a b 若 a b 则a b与b同向 且 a b b a 若 a b 则a b与a b 同向 且 a b 0 2 两个结论 向量的中线公式 若p为线段ab中点 则 向量加法的多边形法则 提醒 当两个向量共线 平行 时 三角形法则同样适用 向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的 但当两个向量共线 平行 时 平行四边形法则就不适用了 变式训练 1 在 abc中 c b 若点d满足 则 a b c d 解析 选a 2 若a b c d是平面内任意四点 给出下列式子 其中正确式子的序号为 解析 由得 从而 即 0 故不正确 由得 即 故正确 由得 即 故正确 综上可得 正确 答案 考向3共线向量定理及其应用 典例3 1 已知向量a b c中任意两个都不共线 并且a b与c共线 b c与a共线 那么a b c等于 a a b b c c d 0 2 设两个非零向量a与b不共线 若 a b 2a 8b 3 a b 求证 a b d三点共线 试确定实数k 使ka b和a kb共线 思路点拨 1 根据向量共线的充要条件得到向量的关系式 比较系数可得结论 2 先证明共线 再说明它们有一个公共点 从而得证 利用共线向量定理列出方程组求k 规范解答 1 选d a b与c共线 a b 1c 又 b c与a共线 b c 2a 由 得 b 1c a b c 1 1 c a 2a 即 a b c c c 0 2 a b 2a 8b 3 a b 2a 8b 3 a b 5 a b 5 共线 又与有公共点b a b d三点共线 ka b与a kb共线 存在实数 使ka b a kb k 1 互动探究 本例 2 条件不变 结论若改为 若向量ka b和向量a kb反向共线 求k的值 则结果如何 解析 ka b与a kb反向共线 存在实数 使ka b a kb 0 k 1 又 0 k 1 故当k 1时两向量反向共线 拓展提升 三点共线的表示a p b三点共线 o为平面内任一点 t r o为平面内任一点 x r y r x y 1 变式备选 已知点g是 abo的重心 三边中线的交点 m是ab边的中点 1 求 2 若pq过 abo的重心g 且 a b ma nb 求证 3 解析 1 又 0 2 显然 因为g是 abo的重心 所以 由p g q三点共线 得 所以 有且只有一个实数 使 而 所以 又因为a b不共线 所以消去 整理得3mn m n 故 3 易错误区 概念理解不清致误 典例 2013 江门模拟 若点m为 abc所在平面内的一点 且满足 则 abm与 abc的面积之比为 a b c d 误区警示 在解答本题时 容易因忽视题目中的隐含条件 无法判断点m的位置而造成无法解题或解题错误 规范解答 选b 由得 即 所以 可得到点b c m共线 所以点m在直线bc上 如图 设ae ab ad ac 则四边形aemd为平行四边形 由bm bc 故点m到直线ab的距离是点c到直线ab距离的 所以 abm与 abc的面积之比为 故选b 思考点评 1 准确把握点共线的证明方法即用非零向量的共线来证明点共线 但又要注意点共线与向量共线的区别 2 注意题目中隐含条件的挖掘题目隐含条件的挖掘是解决问题的关键 而这一点在解题中往往被忽视 解题时要养成正确理解题意的习惯 探索题目所给的条件 从中找到利于解题的因素 1 2013 广州模拟 在平面上有a b c三点 设m n 若m与n的长度恰好相等 则有 a a b c三点必在一条直线上 b abc必为等腰三角形且 b为顶角 c abc必为直角三角形且 b为直角 d abc必为等腰直角三角形 解析 选c 如图 以为邻边作平行四边形abcd 则m n 由m n的长度相等可知 两对角线相等 因此平行四边形abcd一定是矩形 故选c 2 2013 梅州模拟 已知 如图 1 与的夹角为120 与的夹角为30 若 r 则等于 a b c d 2 解析 选d 如图 以oc为对角线作 omcn 则在 ocn中 noc 90 ocn 30 on nc 2 3 2013 潮州模拟 已知 abc中 点d在bc边上 且 则r s的值是 a b c 3 d 0 解析 选d 又 r s r s 0 4 2013 茂名模拟 给出下列命题 向量长度与向量的长度相等 两个有共同起点且长度相等的向量 其终点必相同 两个有公共终点的向量 一定是共线向量 向量 则a b c d必在一条直线上 其中真命题的序号为 写出所有真命题的序号 解析 真命题 假命题 起点相同长度相等的两向量方向不一定相同 故不正确 假命题 向量的终点相同并不能说明向量的方向相同或相反 假命题 时 直线ab cd可