高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的概念及表示课件 苏教版必修4.ppt

2 1向量的概念及表示 第2章平面向量 学习目标1 能结合物理中的力 位移 速度等具体背景认识向量 掌握向量与数量的区别 2 会用有向线段作向量的几何表示 了解有向线段与向量的联系与区别 会用字母表示向量 3 理解零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量及向量的模等概念 会辨识图形中这些相关的概念 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一向量的概念 思考1 在日常生活中有很多量 如面积 质量 速度 位移等 这些量有什么区别 答案面积 质量只有大小 没有方向 而速度和位移既有大小又有方向 思考2 两个数量可以比较大小 那么两个向量能比较大小吗 答案数量之间可以比较大小 而两个向量不能比较大小 答案 向量与数量 1 向量 既有 又有的量称为向量 2 数量 只有 没有的量称为数量 梳理 大小 方向 大小 方向 思考1 知识点二向量的表示方法 向量既有大小又有方向 那么如何形象 直观地表示出来 答案可以用一条有向线段表示 思考2 0的模长是多少 0有方向吗 答案0的模长为0 方向任意 答案 思考3 单位向量的模长是多少 答案单位向量的模长为1个单位长度 答案 1 向量的几何表示 向量可以用一条有向线段表示 带有的线段叫做有向线段 它包含三个要素 如图所示 梳理 长度 长度等于1个单位 方向 起点 方向 长度为0 0 思考1 知识点三向量间的关系 已知a b为平面上不同两点 那么向量相等吗 它们共线吗 答案因为向量方向不同 所以二者不相等 又表示它们的有向线段在同一直线上 所以两向量共线 答案 思考2 向量平行 共线与平面几何中的直线 线段平行 共线相同吗 答案不相同 由相等向量定义可知 向量可以任意移动 由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上 所以平行向量也叫做共线向量 因此共线向量所在的直线可以平行 也可以重合 思考3 若a b b c 那么一定有a c吗 答案不一定 因为当b 0时 a c可以是任意向量 答案 1 相等向量 且的向量叫做相等向量 2 平行向量 方向的向量叫做平行向量 记法 向量a平行于b 记作 规定 零向量与平行 3 共线向量 由于任意一组平行向量都可以平移到同一直线上 所以向量也叫做共线向量 也就是说 平行向量与共线向量是等价的 因此要注意避免向量平行 共线与平面几何中的直线 线段的平行和共线相混淆 梳理 平行 长度相等 方向相同 相同或相反 非零 a b 任一向量 题型探究 类型一向量的概念 例1下列说法中 正确的是 向量的长度相等 两个有共同起点 且长度相等的向量 它们的终点相同 零向量没有方向 任意两个单位向量都相等 两个相等向量的起点相同 则终点也相同 答案 解析 解析两个有共同起点 且长度相等的向量 它们的方向不一定相同 终点也不一定相同 零向量的方向不确定 并不是没有方向 任意两个单位向量只有长度相等 方向不一定相同 故 都错误 正确 反思与感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义 对单位向量与零向量要特别注意方向问题 跟踪训练1下列说法正确的有 若 a b 则a b或a b 向量是共线向量 则a b c d四点必在同一条直线上 向量是平行向量 答案 解析 解析 错误 a b 仅说明a与b的模相等 不能说明它们方向的关系 错误 共线向量即平行向量 只要方向相同或相反 并不要求两个向量必须在同一直线上 因此点a b c d不一定在同一条直线上 正确 向量是长度相等 方向相反的两个向量 类型二共线向量与相等向量 例2如图所示 abc的三边均不相等 e f d分别是ac ab bc的中点 1 写出与共线的向量 解因为e f分别是ac ab的中点 又因为d是bc的中点 解答 解答 反思与感悟 1 非零向量共线是指向量的方向相同或相反 2 共线的向量不一定相等 但相等的向量一定共线 跟踪训练2如图所示 o是正六边形abcdef的中心 1 与的模相等的向量有多少个 解与的模相等的线段是六条边和六条半径 如ob 而每一条线段可以有两个向量 所以这样的向量共有23个 解答 2 是否存在与长度相等 方向相反的向量 若存在 有几个 解存在 由正六边形的性质可知 bc ao ef 3 与共线的向量有哪些 解由 2 知 bc oa ef 线段od ad与oa在同一条直线上 解答 类型三向量的表示及应用 例3一辆汽车从a点出发向西行驶了100km到达b点 然后又改变方向 向西偏北50 的方向走了200km到达c点 最后又改变方向 向东行驶了100km到达d点 解答 在四边形abcd中 ab綊cd 四边形abcd为平行四边形 解答 反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点 再确定向量的方向 然后根据向量的大小确定向量的终点 跟踪训练3在如图的方格纸上 已知向量a 每个小正方形的边长为1 1 试以b为终点画一个向量b 使b a 解根据相等向量的定义 所作向量与向量a平行 且长度相等 作图略 2 在图中画一个以a为起点的向量c 使 c 并说出向量c的终点的轨迹是什么 解由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以a为圆心 半径为的圆 作图略 解答 当堂训练 1 下列结论正确的个数是 温度含零上和零下温度 所以温度是向量 向量的模是一个正实数 向量a与b不共线 则a与b都是非零向量 若 a b 则a b 1 解析 温度没有方向 所以不是向量 故 错 向量的模也可以为0 故 错 向量不可以比较大小 故 错 若a b中有一个为零向量 则a与b必共线 故a与b不共线 则应均为非零向量 故 对 1 2 3 4 答案 解析 1 2 3 4 2 有下列说法 若向量a与向量b不平行 则a与b方向一定不相同 若a b 则a一定不与b共线 由于零向量方向不确定 故其不能与任何向量平行 其中 正确说法的个数是 答案 解析 1 1 2 3 4 解析对于 由共线向量的定义知 两向量不平行 方向一定不相同 故 正确 对于 因为向量不能比较大小 故 错误 对于 两个向量不相等 可能是长度不同 方向可以相同或相反 所以a与b有共线的可能 故 错误 对于 因为零向量与任一向量平行 故 错误 3 把同一平面内所有模不小于1 不大于2的向量的起点 移到同一点o 则这些向量的终点构成的图形的面积等于 1 2 3 4 3 解析这些向量的终点构成的图形是一个圆环 其面积为 22 12 3 答案 解析 1 2 3 4 4 如图所示 以1 2方格纸中的格点 各线段的交点 为起点和终点的向量中 解答 1 向量是既有大小又有方向的量 从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征 因此借助于向量 我们可以将某些代数问题转化为几何问题 又将几何问题转化为代数问题 故向量