高三数学第一轮讲义多面体和球

高三数学第一轮复习讲义 多面体和球【知识归纳】1、多面体有关概念：（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体。2、正多面体：（1）定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。（2）正多面体的种类：只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。其中正四面体、正八面体和正二十面体的每个面都是正三角形，正六面体的每个面都是正方形，正十二面体的每个面都是正五形边，如下图： 正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体3、球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面圆半径r之间的关系是r。提醒：球与球面的区别（球不仅包括球面，还包括其内部）。4、球的体积和表面积公式：V。【基础训练】（1）若正棱锥的底面边长与侧棱长都相等，则该棱锥一定不是（ ） A三棱锥 B四棱锥 C五棱锥 D六棱锥（2）一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角总和为16，则它的棱数为A24 B22 C18 D16（ ）（3）若一个四面体由长度为1，2，3的三种棱所构成，则这样的四面体的个数是A2B4C6D8 （ ）（4）已知一个简单多面体的每个面均为五边形，且它共有30条棱，则此多面体的面数F和顶点数V分别等于（ ）AF=6,V=26 BF=8,V=24 CF=12,V=20 DF=20,V=12（5）在半径为10的球面上有三点，如果，则球心到平面的距离为_ _；（6）已知球面上的三点A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13，空x(时间)PQ满y(水量)O则球心到平面ABC的距离为_ _（7）一个水平放置的圆柱形贮油桶，桶内有油部分占底面一头的圆周长的，则油桶直立时，油的高度与桶的高之比是A B C D（ ）（8）在球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别为49cm2、400cm2，则球的表面积为_ _；（9）三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC内接于球O，求球O的表面积与体积；（10）已知直平行六面体的各条棱长均为3，长为2的线段的一个端点在上运动，另一端点在底面上运动，则的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面所围成的几何体的体积为为_ _；【例题选讲】【例1】已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为, 试求第三条侧棱长的取值范围【例2】已知简单多面体的顶点数面数数分别为VF E 多面体的各面为正x边形，过同一顶点的面数为y 求证： 【例3】如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，AB=a （）求证：直线A1DB1C1； （）求点D到平面ACC1的距离； （）判断A1B与平面ADC的位置关系， 并证明你的结论【例4】如图，在三棱锥中，平面，D为BC的中点（1）判断AD与SB能否垂直，并说明理由； （2）若三棱锥的体积为，且为 钝角，求二面角的平面角的正切值；（3）在（）的条件下，求点A到平面SBC的距离【例5】过半径为R的球面上一点P引三条长度相等的弦PA、PB、PC，它们间两两夹角相等。（1）若APB=2，求弦长关于的函数表达式.（2）求三棱锥PABC体积的最大值（14分）【巩固练习】1长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为 A5B6 C D 【 】2长方体三条棱长分别是AA=1，AB=2，AD=4，则从A点出发，沿长方体的表面到C的最短矩离是A5 B7C D【 】3平行六面体的棱长都是a，从一个顶点出发的三条棱两两都成60角，则该平行六面体的体积为A B C D 【 】4正四棱锥的一个对角面与侧面的面积之比为，则侧面与底面所成的二面角为A BCD【 】5设正多面体的每个面都是正n边形，以每个顶点为端点的棱有m条，棱数是E，面数是F，则它们之间的关系不正确的是【 】AnF=2EBmV=2ECV+F=E+2DmF=2E6三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为1、，则此三棱锥的外接球面积为A6B12C18D24 【 】7半径为1的球面上有A、B、C三点，A与B、A与C之间的球面距离都是，B和C之间的球面距离为，则过A、B、C三点的截面与球心的距离是 ABCD【 】8.地球表面上从A地（北纬45，东经120）到B地（北纬45，东经30）的最短距离为（地球半径为R） 【 】（A）R （B） （C） （D）9.在底面边长为6、高为14的正三棱柱内放入相同的n个球，使球半径尽量大，则n10在平行四边形ABCD中，AD=a，AB=2a，ADC=60，M、N分别是AB、CD的中点，以MN为折痕把平行四边形折成三棱柱AMBDNC的两个侧面，求三棱柱体积的最大值.11如图，直三棱柱的底面为RtABC，ACB=90，AB=4，ABC=15，将两侧面C1CAA1与C1CBB1铺平在一个平面内，得矩形ABB1A1.此时AC1BC1，求棱柱的侧面积. 12已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面边长为3，侧棱长为4，连CD1，作C1MCD1交DD1于M.（1）求证：BD1平面A1C1M.（2）求二面角C1A1MD1的大小.参考答案【基础训练】（5）（答：）（6）（答：12）（8）（答：）（9）（答：表面积，体积）（10）（答：）【例题选讲】1 解: 如图, 四面体ABCD中,AB=BC=CA=1（2分）, DA=DC=（4分）, 只有棱DB的长x是可变的 在三角形ACD中, M为AC的中点, MD= MB=（6分）由MF-MBBDMD+MB（8分）, (MF=MD) 得: （10分）2证明：由题设，有 ，由此得到所证等式.3 （）证法一：点D是正ABC中BC边的中点，ADBC，又A1A底面ABC，A1DBC ，BCB1C1，A1DB1C1 证法二：连结A1C1，则A1C=A1B 点D是正A1CB的底边中BC的中点， A1DBC ，BCB1C1，A1DB1C1（4分）（）解法一：作DEAC于E， 平面ACC1平面ABC，DE平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的 距离 在RtADC中，AC=2CD=所求的距离（9分）解法二：设点D到平面ACC1的距离为，体积 即点D到平面ACC1的距离为（9分） （）答：直线A1B/平面ADC1，证明如下：证法一：如图1，连结A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，D是BC的中点，DFA1B， 又DF 平面ADC1，A1B平面ADC1，A1B平面ADC1 （14分）证法二：如图2,取C1B1的中点D1，则ADA1D1，C1DD1B，AD平面A1D1B，且C1D平面A1D1B，平面ADC1平面A1D1B，A1B平面A1D1B，A1B平面ADC1 （14分）4 解：（1）因为SB在底面ABC上的射影AB与AD不垂直，否则与AB=AC且D为BC的中点矛盾，所以AD与SB不垂直；（4分）（2）设，则 解得 ，所以（舍），平面ABC，AB=AC，D为BC的中点，则是二面角SBCA的平面角在中，,故二面角的正切值为；（9分）（3）由（2）知，平面SDA，所以平面SBC平面SDA，过点A作AESD，则AE平面SBC，于是点A到平面SBC的距离为AE,从而即A到平面SBC的距离为（14分）5解：（1）由题知PABC为正三棱锥，作其高PO，则O为正A