三角形中的中点问题.doc

三角形中有关“中点问题”是几何中最常见的重要问题之一，而有关中点的定理散见于各章节。三角形中的中点问题例1：如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，AD又是BC边上的中线，求证：AB=AC.分析：在ABC中，AD是BAD=CAD,AD=AD,BD=CD三个条件，但不能直接推出ABD和ACD全等，注意到点D是BC的中点，即AD是ABC的中线，可尝试常用的辅助线添设“中线倍长”。讲评：一见到三角形一边（即AB边）上的中线，就应该想到，可以试试将该中线延长一倍，这样就把原先成叉状的三条线段（有共同端点的两条边（即BC边），（即CA边）和中线（即CD边）整合到一个三角形中（在该三角形中，原中线以两倍的形式出现），由此可得出一些结论： 例2：如图，在ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D是BC中点，DEAC于点E，则DE等于（ ）A、 B、 C、 D、讲评：由于等腰三角形具有顶角平分线、底边上的中线及底边上的高线三线合一的性质，因此若是题目给了等腰三角形底边中点的条件，通常情况下应该作出底边上的中线，那么它不仅是底边上的中线，而且是底边上的高，顶角平分线，这样就能把等腰三角形转化为两个全等的直角三角形。例3.如图，在ABC中，BD、CE为高，M是DE的中点，N是BC的中点，求证:MNDE.分析：可以先引导学生观察：有几个直角三角形？然后容易看出N是某两个直角三角形公共斜边的中点。讲评：如果题目中有直角三角形斜边中点的条件，那么最好的最好的辅助线是作出斜边上的中线。例4：如图，在四边形ABCD中，AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点，延长AD、BC与MN的延长线分别交于E、F。求证：AEC=BFM.分析：待证的两个角ANE、BFM的位置“参差不齐”，势必要换成等角进行过滤，本题中虽有中点条件，但明显没有等腰三角形、直角三角形，因此考虑利用三角形中位线定理来解决问题。讲评：已知两个中点，常常另找第三个中点，由此可得到两条中位线，而这个“第三者”的寻找有一定的难度，一般说，要有利于已知条件的集中，本题虽有AD=BC，但它们是“散”的；要有利于待证对象的集中，本题两个角的位置“参差不齐”的。例5：如图，在ABC中，D是BC中点，DEDF，求证：BE+CFEF.分析：待证的线段BE、CF、EF太分散，要设法集中，简单的平移，显然不行，那么可以不可以将它们折半后集中呢？可试试中位线。例6：如图，在等腰三角形ABCD中，CDAB,对角线AC、BD相交于点O, ACD=60，点S、P、Q分别是DO、AO、BC的中点，求证：SPQ是等边三角形。小结：初中数学中涉及三角形中有关中点的定理主要有三条：（1）等腰三角形的三线合一；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）三角形的中位线定理。2.涉及三角形中有关中点问题，常规的思路有：（1）先看和中点相关的三角形是不是特殊三角形？一见等腰三角形的底边的中点，可以考虑利用定理等腰三角形的三线合一解决问题；一见直角三角形的斜边上的中点，可以考虑利用定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解决问题；（2）如果和中点相关的三角形不是特殊三角形，那么通常的手法有：将中线延长一倍“中线倍长”；取另一边的中点，利用三角形的中位线定理解决问题，另一边的中点的选取有两个原则；有利于已知条件的集中，有利于待证对象的集中。3.在不能用平移等方法直接将线段集中打一个三角形中时，可以考虑将线段“折半”后集中，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，都有“折半”的功能。练习：1.如图，在ABC中，AD是三角形的高，点D是垂足，点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，求证：四边形EFGD是等腰三角形。2.如图，在ABC中，AD是三角形BC边上的中线，求证：.3.如图，在ABC中，AD是三角形的高，B=2C,E为BC的中点，求证：DE=AB.4.如图，以ABC的ABAC为斜边向形外作RtABE和RtACF，且使ABE=ACF,点D是BC的中点，求证：D