高三数学文科数列一等差数列知识精讲人教

高三数学文科数列一 等差数列知识精讲一. 本周教学内容：数列（一）等差数列二. 知识讲解：1. 判定（1）定义法（）（2）等差中项法（3）通项公式法（）（4）前项和法2. 性质为等差（1）若（2）为的子数列，若为A.P则也是A.P（即等差间隔抽取的子数列也是A.P），（如：）如数列仍成等差数列，公差（3）中依次项和仍成A.P，公差，如仍成A.P，公差（4）设为所有奇数项之和为所有偶数项之和 若为奇数，则事实上， 若为偶数，则，（5）【典型例题】例1 设数列的前项和为，证明为等差数列的充要条件是（）证明：（）若为等差，则，故（）当时，由题设，故同理从而即由此对任意，成立，即为等差数列例2 等差数列中，已知，求的值。解：注意到（）只需求的值由则条件即，所以注：一般地有以下结论：在等差数列中，如果有正整数（）及正整数使 则事实上，由故0，上题中，故例3 等差数列中，已知，求。解：由例4 等差数列中，已知，求。解：即 得：而成A.P且公差即例5 两个等差数列和的前项和分别为与，且，求的值。解：由，则例6 一等差数列的前项和为100，前100项和为10，求该数列前110项之和。解：已知，求由仍为A.P，则，三点共线，于是例7 在等差数列中，项数为奇数。若奇数项和，偶数项和，则项数为多少，中间一项的值是多少？解：又例8 一个等差数列共11项，则其所有奇数项与所有偶数项之和的比是多少？解：由例9 设等差数列满足且，为其前项之和，则中最大的是（ ）A. S10 B. S11 C. S20 D. S21解：由由由，则，故有最大值时，为最大设故当时，相应的Sn为最大，故选C。例10 等差数列前项和的最大值为，且，求使的的最大值。解：依题意（1）当即时，由，则（2）当时，由，又，则例11（2004年北京春考试题）下表给出一个“等差数阵”47（ ）（ ）（ ）712（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）其中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列的数（1）写出的值；（2）写出的计算公式；（3）证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1，可以分解成两个不是1的正整数之积。解：（1）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的A.P，则第二行是首项为7，公差为5的A.P由，则第四列是首项为13，公差为9的A.P（2）由（1）有则第列是首项为，公差为的A.P则（3）必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数使得，从而这表明正整数可以分解为两个不是1的正整数之积充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数，使得从而可见正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。例12（05江苏23）设数列的前项和为，已知，且，其中A、B为常数。（1）求A与B的值；（2）证明数列为等差数列；（3）证明不等式对任何正整数都成立解：（1）由已知，得，由知（2）由（1）得 所以 由得 所