高三数学向量的有关运算资料二新课标人教

高三数学向量的有关运算复习资料二（一）基础知识回顾：1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法有三角形法则和平行四边形法则. 2向量加法的交换律：+=+； 向量加法的结合律：(+) +=+ (+)3向量的减法：向量加上的相反向量叫做与的差。即： -= + (-)4差向量的几何意义： = , =, 则=- 5实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：（1）|=|；（2）0时与方向 相同 ；0时与方向 相反 ；=0时=.运算定律：、为实数时，()= () ，(+)= + ，(+)= + .6 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件：有且只有一个实数，使=.（等价于：存在两个不同为零的实数1、2，使得7平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2使=1+2.不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；注意：(1)基底不惟一，关键是作为基底的两个向量不共线；(2)由定理可知：任一向量在给出基底、的条件下可进行分解，且分解形式是惟一的. 即1、2是被，唯一确定的实数.8.非零向量和的数量积的定义：=| |cos（向量和的夹角为）9. 若非零向量和的夹角为，则向量在上的投影为： |cos 10.平面向量数量积的性质：2|2； 和的夹角公式：，或者；当和方向 相同 时=| |，当和方向 相反 时=| |；、| |的大小关系是 | | .11 向量数量积的运算律（交换律）()=（）（）(+)=+ 12.平面向量的坐标表示：分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的（直角）坐标，记作，其中叫在轴上的坐标，叫在轴上的坐标.13. 向量的坐标运算及重要结论： 若 =（，）, =（，）, 则 +=0cos= （为向量、的夹角）14.若，则， （二）例题分析：例1在梯形ABCD中，AB/CD，且AB=2CD，E，F分别是AD，BC的中点.设、解：，-0.5，-0.5，+0.5.例2 已知向量（1）（2）若，求的最大值.解：（1）或（2）令，则5（）+25+25+2，所以的最大值为5+2.例3如图，向量、有公共起点，且满足=,证明三个向量的终点在一直线上的充要条件是证明：（1）先证明三个向量的终点A、B、C在一直线上时A、B、C三点共线，又， （）+，（）：（1）：1，即（2）再证明时三个向量的终点A、B、C在一直线上.， （）+ （+） A、B、C三点共线.综上可知：三个向量的终点在一直线上的充要条件是例4已知.（1）当取最小值时，求实数t的值；（2）当取最小值时，求的值.解：（1）1+t2 +2tcos45（t+）2+1.5，当取最小值时t；（2）当取最小值时t，0.（三）课后作业： A组1若（ C ）ABCD2点O是ABC内一点， （ D ）A内心B外心C垂心D重心3下列等式中，不正确的个数是（ B ） 0 A5B4C3D24在四边形ABCD中，不共线，则四边形ABCD为（ C ）A平行四边形 B矩形 C梯形 D菱形5已知向量（ B ）ABCD6已知（ B ）A30B45C60D907等于（ B ）ABCD8若O为平行四边形ABCD的对角线的交点，等于（ B ）ABCD9如果是平面内所有向量的一组基底，那么（ A ）A若实数B空间任一向量C对实数D对平面中的任一向量有无数对10已知A，B，C三点共线，且A（3，6），B（5，2）若C点横坐标为6，则C点的纵坐标为（ C ）A13B9 C9 D1311已知12在中，O为中线AM上一个动点，若AM=4，则的最小值是16 13设是不共线的向量，而共线，则实数k的值为.14 如图，在等腰直角ABC中，C=90，|AB|=2.求（1）的值.（2）的值. （3）解：（1）4.（2）4. （3）415. 已知向量(cosx，sinx)，()，且x0，若f (x)2的最小值是，求的值解：= coscossinsin=cos2x；|=2x0, cosx0 |=2cosxf (x) = cos2x4cosx 即f (x) =2 (cosx)2122x0, 0cosx1当0时，当且仅当cosx=0时，f(x)取得最小值1，这与已知矛盾。当01时，当且仅当cosx=时，f(x)取得最小值122，由已知122 = ，解得= 。当1时，当且仅当cosx=1时，f (x) 取得最小值14，由已知得14=，解得 = ，这与1相矛盾；综上所述， = 即为所求。点评：本题以平面向量的知识为