旋转最值之三线段共端点

三条线段共端点的旋转 常见基本图形如下 三条共端点的线段 PA PB PC 通过旋转使它们产生关系 图1中 P 是正 ABC 内一点 通过旋转 PAC 可使三条线段 PA PB PC 转化到一个 QBP 中 其中 QB 即 PC QP 即 PA 图2中 P 是等腰 RT ABC 内一点 通过旋转 PAC 可使三条线段 PA PB PC 转化到一个 QBP 中 其中 QB 即 PC QP 即PA2 图3与图1是相同类型的问题 条件中点 P 是正 ABC 外一点 旋转方法与图1完全相同 图4与图2是相同类型的问题 条件中点 P 是等腰 RT ABC 外一点 旋转方法与图2完全相同 Q C A B P Q C A B P Q C P B A Q C P B A 分类例析 一 公共端点在三角形内部 例1 如图 P 是正 ABC 内一点 PA 3 PB 4 PC 5 1 求 APB 的度数 2 求 APB 与 APC 的面积之和 3 直接写出 BPC 的面积 不需要说理 例 2 在等边 ABC 中 O 为 ABC 内一点 连接 AO BO CO 且 AO 1 BO 2 CO 3 求 AOB BOC 的度数分别是多少 A B C O 例 3 等腰 Rt ABC 中 ACB 90 AC BC 点 P 是 ABC 内一点 且 PA 6 PB 2 PC 4 1 求 BPC 的度数 2 求 ABC 的面积 例 4 七一月考 已知 P 是正方形 ABCD 内一点 APB 135 PB 6 PC 4 则正 5 方形 ABCD 的边长为 BC AD P 二 公共端点在三角形外部 例 5 江岸期中 如图 点 D 为等边 ABC 外一点 AD 4 CD 3 求 BD 的 0 30 ADC 长及四边形 ABCE 的面积 A BA CA DA 例 6 武汉中考 如图 在四边形 ABCD 中 AD 4 CD 3 ABC ACB ADC 45 则 BD 的长为 练习 1 如图 ABC 30O ADC 600 AD CD 求证 222 BCABBD 练习 2 青山九上期中 如图 在四边形 ABCD 中 CD AB CB 4 AB AC AD 3 则 BD 的长为 A D B C 三 最值问题 例7 已知 ABC 为等边三角形 M 为三角形外任意一点 MB 1 MC 2 1 如图1 当 BMC 30 时 求 MA 2 如图2 在 BMC 变化的过程中 线段 AM 是否存在最大值 若存在 请求出其最大值 及 BMC 的大小 若不存在 请说明理由 3 如图3 在 BMC 变化的过程中 线段 AM 存在最小值吗 是多少 A M C B A M C B A M C B 图1 图2 图3 例 8 点 P 是正方形 ABCD 外一点 PA PB 3 2 如图 1 若 PC 求 BPA 52 在 的条件下 求出正方形的面积 在 的条件下 求 PD 如图 2 在 BPA 度数变化的过程中 线段 PC 是否存在最大值 若存在求出其最大值 并求出些时 BPA 的度数 PD 呢 如图 3 在 BPA 度数变化的过程中 线段 PC 是否存在最小值 若存在求出其最小值 并求出些时 BPA 的度数 PD 呢 D C B P A D C B P A D C B P A 图 1 图 2 图 3 练习 1 已知 PA 2 PB 4 以 AB 为一边作正方形 ABCD 使 P D 两点落在直线 AB 的两侧 1 如图 当 APB 45 时 求 AB 及 PD 的长 2 当 APB 变化 且其它条件不变时 求 PD 的最大值 及相应 APB 的大小 练习 2 点 P 是正方形外一点 已知 PA 1 PB 2 则 PC PD 的最小值分别为多少 此 时 APB为多少度 D C PA B 课后作业 1 如图 点 P 是等边三角形 ABC 内部一点 则以 5 6 7APBBPCCPA PA PB PC 为边的三角形的三内角之比为 2 如图 等腰 Rt ABC 中有一点 P 若 BP 6 CP 2 且 APC 135 则 S ABC为 C A B P 3 P 是正方形 ABCD 内一点 连接 PA PB PC PA 2 PB 4 APB 135 求 PC 的长及正方 形的面积 A B C D P 4 如图 四边形 ABCD 中 若