高中数学 第二章 数列 2.3.2 等比数列的前n项和（一）课件 新人教B版必修5.ppt

第二章 数列 学习目标 1 掌握等比数列的前n项和公式及公式推导思路 2 会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 2 3等比数列2 3 2等比数列的前n项和 一 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 1 求等差数列前n项和用的是倒序相加法 对于等比数列 an 当q 1 sn a1 a1q a1q2 a1qn 1 a1 q a1 a1q a1qn 1 a1qn 1 a1 q sn a1qn 1 至此 你能用a1和q表示出sn吗 至此你能用a1和q表示出sn吗 预习导引 1 等比数列前n项和公式 2 注意 应用该公式时 一定不要忽略q 1的情况 na1 2 等比数列前n项和公式的变式 3 错位相减法推导等比数列前n项和的方法叫法 一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和 错位相减 要点一前n项和公式基本量的运算例1在等比数列 an 中 1 若q 2 s4 1 求s8 解方法一设首项为a1 q 2 s4 1 解设公比为q 由通项公式及已知条件得 2 若a1 a3 10 a4 a6 求a4和s5 a1 8 规律方法 1 在等比数列 an 的五个量a1 q an n sn中 已知其中的三个量 通过列方程组求解 就能求出另两个量 这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用 2 在解决与前n项和有关的问题时 首先要对公比q 1或q 1进行判断 若两种情况都有可能 则要分类讨论 跟踪演练1若等比数列 an 满足a2 a4 20 a3 a5 40 则公比q 前n项和sn 解析设等比数列 an 的公比为q 2n 1 2 2 要点二错位相减法求和例2求和 sn x 2x2 3x3 nxn x 0 解分x 1和x 1两种情况 当x 1时 sn 1 2 3 n 当x 1时 sn x 2x2 3x3 nxn xsn x2 2x3 3x4 n 1 xn nxn 1 1 x sn x x2 x3 xn nxn 1 规律方法一般地 如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 求数列 anbn 的前n项和时 可采用错位相减法 跟踪演练2求数列1 3a 5a2 7a3 2n 1 an 1的前n项和 解 1 当a 0时 sn 1 2 当a 1时 数列变为1 3 5 7 2n 1 3 当a 1且a 0时 有sn 1 3a 5a2 7a3 2n 1 an 1 asn a 3a2 5a3 7a4 2n 1 an 得sn asn 1 2a 2a2 2a3 2an 1 2n 1 an 1 a sn 1 2n 1 an 2 a a2 a3 a4 an 1 要点三等比数列前n项和的综合应用例3借贷10000元 月利率为1 每月以复利计息 王老师从借贷后第二个月开始等额还贷 分6个月付清 试问每月应支付多少元 1 016 1 061 1 015 1 051 解方法一设每个月还贷a元 第1个月后欠款为a0元 以后第n个月还贷a元后 还剩下欠款an元 1 n 6 则a0 10000 a1 1 01a0 a a2 1 01a1 a 1 012a0 1 1 01 a a6 1 01a5 a 1 016a0 1 1 01 1 015 a 由题意 可知a6 0 即1 016a0 1 1 01 1 015 a 0 故每月应支付1739元 方法二一方面 借款10000元 将此借款以相同的条件存储6个月 则它的本利和为s1 104 1 0 01 6 104 1 01 6 元 另一方面 设每个月还贷a元 分6个月还清 到贷款还清时 其本利和为s2 a 1 0 01 5 a 1 0 01 4 a 故每月应支付1739元 规律方法解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数 所谓复利计息 即把上期的本利和作为下一期本金 在计算时每一期本金的数额是不同的 复利的计算公式为s p 1 r n 其中p代表本金 n代表存期 r代表利率 s代表本利和 跟踪演练3一个热气球在第一分钟上升了25m的高度 在以后的每一分钟里 它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80 这个热气球上升的高度能超过125m吗 解用an表示热气球在第n分钟上升的高度 由题意 得an 1 an 因此 数列 an 是首项a1 25 公比q 的等比数列 热气球在前n分钟内上升的总高度为 故这个热气球上升的高度不可能超过125m 例4设 an 是公比大于1的等比数列 sn为数列 an 的前n项和 已知s3 7 且a1 3 3a2 a3 4构成等差数列 1 求数列 an 的通项 设数列 an 的公比为q 由a2 2 可得a1 a3 2q 又s3 7 可知 2 2q 7 即2q2 5q 2 0 解得q1 2 q2 由题意得q 1 q 2 a1 1 故数列 an 的通项为an 2n 1 2 令bn lna3n 1 n 1 2 求数列 bn 的前n项和tn 解由于bn lna3n 1 n 1 2 由 1 得a3n 1 23n bn ln23n 3nln2 又bn 1 bn 3ln2 bn 是等差数列 规律方法利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值 同时对两种数列的性质 要熟悉它们的推导过程 利用好性质 可降低题目的难度 解题时有时还需利用条件联立方程组求解 跟踪演练4已知sn是无穷等比数列 an 的前n项和 且公比q 1 已知1是s2和s3的等差中项 6是2s2和3s3的等比中项 1 求s2和s3 解得3s2 2s3 6 即s2 2 s3 3 2 求此数列 an 的前n项和 3 求数列 sn 的前n项和 解由 2 得s1 s2 sn 1 等比数列1 x x2 x3 的前n项和sn为 c 1 2 3 4 2 设等比数列 an 的公比q 2 前n项和为sn 则等于 c 2 3 4 1 3 等比数列 an 的各项都是正数 若a1 81 a5 16 则它的前5项的和是 a 179b 211c 243d 275 1 2 3 4 b 4 某厂去年产值为a 计划在5年内每年比上一年产值增长10 从今年起5年内 该厂的总产值为 解析注意去年产值为a 今年起5年内各年的产值分别为1 1a 1 12a 1 13a 1 14a 1 15a 1 1a 1 12a 1 13a 1 14a 1 15a 11a 1 15 1 1 2 3 4 11a 1 15 1 课堂小结1 在等比数列的通项公式和前n项和公式中 共涉及五个量 a1 an n q sn