高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充与复数的概念课件 新人教A版选修22.ppt

第三章 数系的扩充与复数的引入 十六世纪 人们在讨论一元二次方程 一元三次方程的根时 为了研究问题的需要引入了复数 复数是由意大利米兰学者卡当首先引入 经过达朗贝尔 棣莫弗 欧拉 高斯等人的工作 此概念逐渐为数学家所接受 高斯把复数与平面上的点一一对应使得复数与向量 解析几何 三角函数等密切联系起来 复数有向量表示 三角表示 指数表示等 满足四则运算等性质 它是复变函数论 解析数论 傅里叶分析 分形 流体力学 相对论 量子力学等学科中最基础的对象和工具 随着科学和技术的进步 复数理论不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义 而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用 并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力 也为建立巨大水电站提供了重要的理论 学习本章要注意感受人类理性思维在数系扩充中的作用 3 1数系的扩充与复数的概念 3 1 1数系的扩充与复数的概念 自主预习学案 1 数系扩充的脉络 原则脉络 自然数系 整数系 有理数系 实数系 原则 数系扩充时 一般要遵循以下原则 1 增添新元素 新旧元素在一起构成新数集 2 在新数集里 定义一些基本关系和运算 使原有的一些主要性质 如运算定律 适用 3 旧元素作为新数集里的元素 原有的运算关系 4 新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾 复数系 依然 保持不变 1 实部 虚部 复数集 a c且b d a 0且b 0 必要不充分 b 0 b 0 2 集合表示 c 2 若复数z a2 3 2ai的实部与虚部互为相反数 则实数a的值为 解析 由条件知a2 3 2a 0 a 1或a 3 3 若复数z m 1 m2 9 i 0 则实数m的值等于 1或 3 3 4 实数m分别取什么数值时 复数z m2 5m 6 m2 2m 15 i 1 是实数 2 是虚数 3 是纯虚数 4 是0 互动探究学案 命题方向1 复数的概念 典例1 b 3 判断下列命题的真假 若x y c 则x yi 1 2i的充要条件是x 1 y 2 若实数a与ai对应 则实数集与纯虚数集一一对应 实数集的补集是虚数集 解析 1 对于 当z r时 z2 0成立 否则不成立 如z i z2 1 0 所以 为假命题 对于 2i 1 1 2i 其虚部为2 不是2i 所以 为假命题 对于 2i 0 2i 其实部是0 所以 为真命题 2 由题意得 a2 2 2 b 3 所以a b 5 3 由于x y都是复数 故x yi不一定是代数形式 因此不符合两个复数相等的充要条件 故 是假命题 当a 0时 ai 0为实数 故 为假命题 由复数集的分类知 正确 是真命题 规律总结 判断与复数有关的命题是否正确的方法 1 举反例 判断一个命题为假命题 只要举一个反例即可 所以解答这类型题时 可按照 先特殊 后一般 先否定 后肯定 的方法进行解答 2 化代数式 对于复数实部 虚部的确定 不但要把复数化为a bi的形式 更要注意这里a b均为实数时 才能确定复数的实 虚部 特别提醒 解答复数概念题 一定要紧扣复数的定义 牢记i的性质 跟踪练习1 1 i2 0 若a b r 且a b 则a i b i 若x2 y2 0 则x y 0 两个虚数不能比较大小 其中 正确命题的个数是 a 1b 2c 3d 4 解析 选b 对于 因为i2 1 所以1 i2 0 故 正确 对于 两个虚数不能比较大小 故 错 对于 当x 1 y i时x2 y2 0成立 故 错 正确 b 命题方向2 复数的分类 典例2 规律总结 1 判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数 虚数 纯虚数 首先 参数的取值要保证复数有意义 然后按复数表示实数 虚数 纯虚数等各类数的充要条件求解 2 对于复数z a bi a b r 既要从整体的角度去认识它 把复数z看成一个整体 又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它 3 形如bi的数不一定是纯虚数 只有限定条件b r且b 0时 形如bi的数才是纯虚数 跟踪练习2 实数k为何值时 复数z k2 3k 4 k2 5k 6 i是 1 实数 2 虚数 3 零 命题方向3 复数相等的条件 已知x是实数 y是纯虚数 且满足 3x 10 i y 3i 求x与y 思路分析 因为y是纯虚数 所以可设y bi b r b 0 代入等式 把等式的左 右两边都整理成a bi的形式后 可利用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组 求解后得x与b的值 典例3 规律总结 一般利用复数相等的充要条件 可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组 从而可确定两个独立参数 复数相等是实现复数向实数转化的桥梁 跟踪练习3 已知m 1 m2 2m m2 m 2 i p 1 1 4i 若m p p 则实数m的值为 思路分析 由m p p知 m是p的子集 从而可知 m2 2m m2 m 2 i 1或4i 利用复数相等的条件可求得m的值 1或2 两个复数能比较大小时 这两个复数必为实数 从而这两个复数的虚部为0 根据复数的大小求参数的值 典例4 规律总结 已知两个复数的大小求参数值时 一般先由复数的虚部为0求得参数的值 再进一步检验复数的大小关系即可 跟踪练习4 1 已知复数z k2 3k k2 5k 6 i k r 且zz2的m值的集合是什么 使z1 z2的m值的集合又是什么 解析 1 z 0 z r 故复数的虚部k2 5k 6 0 即 k 2 k 3 0 k 2或k 3 k 3时 z 0 不符合题意 k 2时 z 2 0 符合题意 在下列命题中 正确命题的个数是 两个复数不能比较大小 若z1和z2都是虚数 且它们的虚部相等 则z1 z2 若a b是两个相等的实数 则 a b a b i是纯虚数 a 0b 1c 2d 3 要准确掌握复数的概念 典例5 错解 两个复数不能比较大小 故 正确 设z1 mi m r z2 ni n r z1与z2的虚部相等 m n z1 z2 故 正确 若a b是两个相等的实数 则a b 0 所以 a b a b i是纯虚数 故 正确 综上可知 都正确 故选d 辨析 两个复数当它们都是实数时 是可以比较大小的 错解 中忽视了这一特殊情况导致错误 而错解 将虚数与纯虚数概念混淆 事实上纯虚数集是虚数集的真子集 在代数形式上 纯虚数为bi b r且b 0 虚数为a bi a b r 且b 0 中要保证a b 0才可能是纯虚数 正解 a两个复数当它们都是实数时 是可以比较大小的 故 是不正确的 设z1 a bi a b r b 0 z2 c di c d r且d 0 b d z2 c bi 当a c时 z1 z2 当a c时 z