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间接证明 反证法 直接证明 1 综合法 2 分析法 由因导果 执果索因 直接从原命题的条件逐步推得结论成立 这种证明方法叫直接证明 复习回顾 练习 1 abc三边长 的倒数成等差数列 求证 证明 因为a b c为 abc三边 所以a c b 所以cosb 0 因此 a b c三个人 a说b撒谎 b说c撒谎 c说a b都撒谎 则c必定是在撒谎 为什么 分析 假设c没有撒谎 则c真 那么a假且b假 由a假 知b真 这与b假矛盾 那么假设c没有撒谎不成立 则c必定是在撒谎 间接证明 问题情境1 间接证明 问题情境2 间接证明 基本概念 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法 反证法 经过正确的推理 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫做反证法 归谬法 一般地 假设原命题不成立 最后得出矛盾 反证法是一种常用的间接证明方法 肯定条件p否定结论q 导致逻辑矛盾 p且 q 为假 若p则q 为真 合理的推理 归缪矛盾 1 与已知条件矛盾 2 与已有公理 定理 定义矛盾 3 自相矛盾 间接证明 基本概念 反证法的过程包括以下三个步骤 1 反设 假设命题的结论不成立 即假定原命题的反面为真 2 归谬 从反设和已知条件出发 经过一系列正确的逻辑推理 得出矛盾结果 3 存真 由矛盾结果 断定反设不真 从而肯定原结论成立 适宜使用反证法的情况 1 结论以否定形式出现 2 结论以 至多 至少 形式出现 3 唯一性 存在性问题 4 结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题 正难则反 间接证明 例题1 先求出周期 思路 用反证法证明是最小正周期 间接证明 例题1 假设t是正弦函数的周期 则对任意实数x都有 解 令x 0 得 即 从而对任意实数x都应有 这与 矛盾 因此 原命题成立 间接证明 例题2 已知 求证 2 中至少有一个不小于 1 求证 是无理数 间接证明 例题3 间接证明 习题1 1 求证 若一个整数的平方是偶数 则这个数也是偶数 假设这个数是奇数 可以设为2k 1 证 则有 而 不是偶数 这与原命题条件矛盾 2 用反证法证明 如果a b 0 那么 3 已知a 0 求证关于x的方程ax b有且只有一个根 已知 在 o中 弦ab cd相交于p 且ab cd不全是直径 求证 ab cd不能互相平分 a b c d 3 设函数 求证 中至少有一个不小于1 4 求证
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