2021版高考数学苏教版：正弦定理、余弦定理含答案.doc

教学资料范本2021版高考数学苏教版：4.6正弦定理、余弦定理含答案编 辑：_时 间：_第六节正弦定理、余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理、并能解决一些简单的三角形度量问题1正弦、余弦定理在ABC中、若角A、B、C所对的边分别是a、b、c、R为ABC的外接圆半径、则定理正弦定理余弦定理内容2R.a2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C变形(1)a2Rsin A、b2Rsin B、c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)2R.cos A；cos B；cos C2.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)1在ABC中、ABabsin Asin B.2三角形中的射影定理在ABC中、abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.3内角和公式的变形(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C.4角平分线定理：在ABC中、若AD是角A的平分线、如图、则.一、思考辨析(正确的打“”、错误的打“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)在ABC中、若sin Asin B、则AB.()(3)在ABC的六个元素中、已知任意三个元素可求其他元素()(4)当b2c2a20时、ABC为锐角三角形；当b2c2a20时、ABC为直角三角形；当b2c2a20时、ABC为钝角三角形()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1已知ABC中、角A、B、C所对的边分别为a、b、c、若A、B、a1、则b()A2B1C. D.D由得b2.2在ABC中、若a18、b24、A45、则此三角形有()A无解 B两解C一解 D解的个数不确定Bbsin A24sin 4512、121824、即bsin Aab.此三角形有两解3在ABC中、acos Abcos B、则这个三角形的形状为 等腰三角形或直角三角形由正弦定理、得sin Acos Asin Bcos B、即sin 2Asin 2B、所以2A2B或2A2B、即AB或AB、所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形4在ABC中、A60、AC4、BC2、则ABC的面积等于 2因为、所以sin B1、所以 B90、所以AB2、所以SABC222.考点1利用正、余弦定理解三角形问题解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A、B与一边a、由ABC及、可先求出角C及b、再求出c.(2)已知两边b、c及其夹角A、由a2b2c22bccos A、先求出a、再求出角B、C.(3)已知三边a、b、c、由余弦定理可求出角A、B、C.(4)已知两边a、b及其中一边的对角A、由正弦定理可求出另一边b的对角B、由C(AB)、可求出角C、再由可求出c、而通过求角B时、可能有一解或两解或无解的情况(1)(20xx全国卷)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c、已知asin Absin B4csin C、cos A、则()A6B5C4 D3(2)(20xx全国卷)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.求A；若ab2c、求sin C.(1)Aasin Absin B4csin C、由正弦定理得a2b24c2、即a24c2b2.由余弦定理得cos A、6.故选A.(2)解由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C、故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0A180、所以A60.由知B120C、由题设及正弦定理得sin Asin(120C)2sin C、即cos Csin C2sin C、可得cos(C60).由于0C120、所以sin(C60)、故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60.解三角形问题、关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化、三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式等、作为化简变形的重要依据教师备选例题(20xx天津高考)在ABC中、内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小；(2)设a2、c3、求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中、由正弦定理、可得bsin Aasin B、又由bsin Aacos、得asin Bacos、即sin Bcos、可得tan B.又因为B(0、)、可得B.(2)在ABC中、由余弦定理及a2、c3、B、有b2a2c22accos B7、故b.由bsin Aacos、可得sin A.因为ac、故cos A.因此sin 2A2sin Acos A、cos 2A2cos2A1、所以、sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.1.(20xx全国卷)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知bsin Aacos B0、则B .bsin Aacos B0、.由正弦定理、得cos Bsin B、tan B1.又B(0、)、B.2在ABC中、AB4、AC7、BC边上中线AD、则BC .9设BDDCx、ADC、ADB、在ADC中、72x22xcos 、在ABD中、42x22xcos()、得x、BC9.3(20xx贵阳模拟)在ABC中、内角A、B、C的对边a、b、c成公差为2的等差数列、C120.(1)求边长a；(2)求AB边上的高CD的长解(1)由题意得ba2、ca4、由余弦定理cos C得cos 120、即a2a60、所以a3或a2(舍去)、所以a3.(2)法一：由(1)知a3、b5、c7、由三角形的面积公式得absinACBcCD、所以CD、即AB边上的高CD.法二：由(1)知a3、b5、c7、由正弦定理得、即sin A、在RtACD中、CDACsin A5、即AB边上的高CD.考点2与三角形面积有关的问题三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A、一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题、一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sin Acos A0、a2、b2.(1)求c；(2)一题多解设D为BC边上一点、且ADAC、求ABD的面积解(1)由已知条件可得tan A、A(0、)、所以A、在ABC中、由余弦定理得284c24ccos 、即c22c240、解得c6(舍去)、或c4.(2)法一：如图、由题设可得CAD、所以BADBACCAD、故ABD面积与ACD面积的比值为1、又ABC的面积为42sinBAC2、所以ABD的面积为.法二：由余弦定理得cos C、在RtACD中、cos C、所以CD、所以AD、DBCD、所以SABDSACD2sin C.法三：BAD、由余弦定理得cos C、所以CD、所以AD、所以SABD4sinDAB.(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)、一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积、再代入公式求解；(2)若已知三边、可先求一个角的余弦值、再求正弦值、最后代入公式得面积；(3)若求面积的最值、一般表示为一个内角的三角函数、利用三角函数的性质求解、也可结合基本不等式求解教师备选例题已知ABC的面积为3、AC2、BC6、延长BC至D、使ADC45.(1)求AB的长；(2)求ACD的面积解(1)因为SABC62sinACB3、所以sinACB、ACB30或150、又ACBADC、且ADC45、所以ACB150、在ABC中、由余弦定理得AB21236226cos 15084、所以AB2.(2)在ACD中、因为ACB150、ADC45、所以CAD105、由正弦定理得、所以CD3、又ACD18015030、所以SACDACCDsinACD2(3).1.(20xx全国卷)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若b6、a2c、B、则ABC的面积为 6法一：因为a2c、b6、B、所以由余弦定理b2a2c22accos B、得62(2c)2c222cccos 、得c2、所以a4、所以ABC的面积Sacsin B42sin 6.法二：因为a2c、b6、B、所以由余弦定理b2a2c22accos B、得62(2c)2c222cccos 、得c2、所以a4、所以a2b2c2、所以A、所以ABC的面积S266.2在ABC中、内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S、求角A的大小解(1)证明：由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B、故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B、于是sin Bsin(AB)又A、B(0、)、故0AB、所以B(AB)或BAB、因此A(舍去)或A2B、所以A2B.(2)由S、得absin C、故有sin Bsin Csin Asin 2Bsin Bcos B、由sin B0、得sin Ccos B.又B、C(0、)所以CB.当BC时、A；当CB时、A.综上、A或A.考点3判断三角形的形状判断三角形形状的2种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系、从而判断三角形的形状(2)化角：通过三角恒等变形、得出内角的关系、从而判断三角形的形状此时要注意应用ABC这个结论设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c、若bcos Cccos Basin A、则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定B由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A、sin(BC)sin2A、即sin(A)sin2A、sin Asin2A.A(0、)、sin A0、sin A1、即A、ABC为直角三角形母题探究1(变条件)本例中、若将条件变为2sin Acos Bsin C、判断ABC的形状解2sin Acos Bsin Csin(AB)、2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B、sin(AB)0.又A、B为ABC的内角AB、ABC为等腰三角形2(变条件)本例中、若将条件变为a2b2c2ab、且2cos Asin Bsin C、判断ABC的形状解a2b2c2ab、cos C、又0C、C、又由2cos Asin Bsin C得sin(BA)0、AB、故ABC为等边三角形在判断三角形的形状时、一定要注意解是否唯一、并注重挖掘隐含条件另外、在变形过程中要注意角A、B、C的范围对三角函数值的影响、在等式变形中、一般两边不要约去公因式、应提取公因式、以免漏解1.在ABC中、角A、B、C的对边分别为a、b、c、若、(bca)(bca)3bc、则ABC的形状是()A直角三角形 B等腰非等边三角形C等边三角形 D钝角三角形C因为、所以.所以bc.又(bca)(bca)3b