高中数学 2.4.1 抛物线及其标准方程课件 新人教B版选修21 .ppt

2 4抛物线2 4 1抛物线及其标准方程 生活中存在着各种形式的抛物线 抛物线的生活实例 1 掌握抛物线的定义及标准方程 重点 2 能求简单抛物线的方程 重点 难点 我们知道 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象是一条抛物线 而且研究过它的顶点坐标 对称轴等问题 那么 抛物线到底有怎样的几何性质 它还有哪些几何性质 探究点1抛物线的定义 m h f e 思考 如图 点f是定点 l是不经过点f的定直线 h是l上任意一点 经过点h作mh l 线段fh的垂直平分线m交mh于点m 拖动点h 观察点m的轨迹 你能发现点m满足的几何条件吗 m 一条经过点f且垂直于l的直线 抛物线的定义 在平面内 与一个定点f和一条定直线l l不经过点f 距离相等的点的轨迹叫做抛物线 mf d 焦点 d 准线 点f叫做抛物线的焦点 直线l叫做抛物线的准线 想一想 定义中当直线l经过定点f 则点m的轨迹是什么 以过点f且垂直于直线l的直线为x轴 垂足为k 以fk的中点o为坐标原点建立直角坐标系xoy k o f m l x y 设m x y 是抛物线上任意一点 h 点m到l的距离为d d 由抛物线的定义 抛物线就是点的集合 探究点2抛物线的标准方程 p 0 两边平方 整理得 k o f m l x y h d 其中p为正常数 它的几何意义是 焦点到准线的距离 方程y2 2px p 0 表示焦点在x轴正半轴上的抛物线 若抛物线的开口分别朝左 朝上 朝下 你能根据上述办法求出它的标准方程吗 抛物线的标准方程还有哪些不同形式 o 准线方程 焦点坐标 标准方程 焦点位置 图形 四种抛物线及其它们的标准方程 x轴的正半轴上 x轴的负半轴上 y轴的正半轴上 y轴的负半轴上 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 f 1 若一次项的变量为x 或y 则焦点就在x轴 或y轴 上 如何判断抛物线的焦点位置 开口方向 2 一次项的系数的正负决定了开口方向 即 焦点与一次项变量有关 正负决定开口方向 提升总结 例1 1 已知抛物线的标准方程是y2 6x 求它的焦点坐标和准线方程 2 已知抛物线的焦点是f 0 2 求它的标准方程 解 1 因为 故抛物线的焦点坐标为 准线方程为 2 因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上 且故所求抛物线的标准方程为x2 8y 1 根据下列条件写出抛物线的标准方程 1 焦点是 0 3 2 准线是 2 求下列抛物线的焦点坐标与准线方程 1 y 8x2 2 x2 8y 0 x2 12y y2 2x 焦点 准线 焦点 准线 提升总结 1 用待定系数法求抛物线标准方程 应先确定抛物线的形式 再求p值 2 求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程 变式练习 例2 一种卫星接收天线的轴截面如图 1 所示 卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线 经反射聚集到焦点处 已知接收天线的口径 直径 为4 8m 深度为0 5m 试建立适当的坐标系 求抛物线的标准方程和焦点坐标 即p 5 76 解 如图 2 在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系 使接收天线的顶点 即抛物线的顶点 与原点重合 设抛物线的标准方程是 所以 所求抛物线的标准方程是 焦点坐标是 2 88 0 由已知条件可得 点a的坐标是 0 5 2 4 代入方程得 2 f c 2 设抛物线y2 8x上一点p到y轴的距离是4 则点p到该抛物线焦点的距离是 a 12b 4c 6d 8 c 3 已知动圆m经过点a 3 0 且与直线l x 3相切 求动圆圆心m的轨迹方程 解析 设动点m x y 设圆m与直线l x 3的切点为n 则 ma mn 即动点m到定点a和定直线l x 3的距离相等 所以点m的轨迹是抛物线 且以a 3 0 为焦点 以直线l x 3为准线 所以 3 所以p 6 所以圆心m的轨迹方程是y2 12x 平面内与一个定点f的距离和一条定直线l l不经过点f 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 一个定义 两类问题 三项注意 四种形式 1 求抛物线标准方程 2 已知方程求焦点坐标和准线方程 1 定义的前提条件 直线l不经过点f 2 p的几何意义 焦点到准线的距离 3 标准方程表示的是顶点在原点 对称轴为