高中数学第二章2.4.1抛物线的标准方程课堂导学案新人教选修.docx

2.4.1 抛物线的标准方程课堂导学三点剖析一、求抛物线的方程【例1】 分别求适合下列条件的抛物线方程.(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点A(2,3);(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为.（3）顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x+3y+15=0上.解：(1)由题意,方程可设为y2=mx或x2=ny,将点A(2,3)的坐标代入,得32=m52或22=n53,m=或n=.所求的抛物线方程为y2=x或x2=y.(2)由焦点到准线的距离为,可知p=,所求抛物线方程为y2=5x或y2=-5x或x2=5y或x2=-5y.（3）令x=0得y=-5；令y=0得x=-15.抛物线的焦点为（0，-5）或（-15，0）.所求抛物线的标准方程为y2=60x或x2=-20y.温馨提示 (1)抛物线的标准方程有四种形式,主要看其焦点位置或开口方向. (2)抛物线的标准方程中只有一个参数p,即焦点到准线的距离,常称为焦参数.二、求动点的轨迹方程【例2】 平面上动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.解法一：设P点的坐标为（x，y），则有=|x|+1，两边平方并化简得y2=2x+2|x|.y2=即点P的轨迹方程为y2=4x（x0）或y=0（x0）.解法二：由题意，动点P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1.由于点F（1，0）到y轴的距离为1，故当x0时，直线y=0上的点适合条件；当x0时，原命题等价于点P到点F（1，0）与到直线x=-1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，x=-1为准线的抛物线，方程为y2=4x.故所求动点P的轨迹方程为y2=4x（x0）或y=0（x0）.温馨提示 求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；也可判断后，用类似于公式法的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件，防止重、漏解.三、利用抛物线的定义解题【例3】如右图，若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2=2x的焦点，点P是抛物线上一动点，则PA+PF取得最小值时点P的坐标是（ ）A.(0，0) B.(1，1) C.(2，2) D.(12，1)解析:PF等于P点到准线的距离，A在抛物线内部，PA+PF的最小值是由A点向抛物线的准线x=-作垂线(垂足为B)时垂线段AB的长度.PA+PF最小时，P点的纵坐标为2，从而得点P的横坐标为2.P点的坐标为(2，2).答案:C温馨提示 本题根据抛物线的定义，运用数形结合的方法简捷地得出了答案.各个击破类题演练 1抛物线y2=2px(p0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是y=2x，斜边长是53，求此抛物线方程.解:设AOB为抛物线的内接直角三角形，直角顶点为O，AO边的方程是y=2x,则OB边方程为y=-x.由可得A点坐标为（，）.由,可得B点坐标为（8p,-4）.，.p0,解得p=,所求的抛物线方程为y2=x.变式提升 1根据下列条件，求出抛物线的标准方程.（1）过点（-3，2）.（2）焦点在x轴上，且抛物线上一点A（3，m）到焦点的距离为5.解：（1）设所求的抛物线方程为y2=-2px，或x2=2py（p0）.抛物线过点（-3，2），4=-2p（-3），或9=2p2，p=或p=，所求抛物线方程为y2=x，或x2=y.（2）由题意，可设抛物线的方程为y2=2px（p0）.A（3，m）到焦点距离为5，+3=5.即p=4.所求抛物线方程为y2=8x.类题演练 2过点A（3，0）且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为（ ）A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线答案：D变式提升 2已知圆A：（x+2）2+y2=1与定直线l：x=2，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆圆心P的轨迹方程.解析：依题意可知，P到圆心A（-2，0）的距离和到定直线x=2的距离相等.P点轨迹为抛物线，且p=4.P点轨迹方程为y2=-8x.类题演练 3求到（1，0）的距离比到直线x=-2的距离小1的动点的轨迹方程.解析：动点到（1，0）的距离比到直线x=-2的距离小1.动点到点（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等，则动点轨迹