高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修12.ppt

2 2 2反证法 路边苦李 王戎7岁时 与小伙伴们外出游玩 看到路边的李树上结满了果子 小伙伴们纷纷去摘取果子 只有王戎站在原地不动 伙伴问他为什么不去摘 王戎回答说 树在道边而多子 此必苦李 小伙伴摘取一个尝了一下 果然是苦李 王戎是怎么知道李子是苦的呢 他运用了怎样的推理方法 王戎的推理方法是 假设李子不苦 则因树在 道 边 李子早就被别人采摘而没有了 这与 多李 产生矛盾 所以假设不成立 李为苦李 1 反证法的定义 2 反证法的一般步骤 重点 3 运用反证法的注意事项 难点 探究点1反证法的定义 引例 证明 在一个三角形中至少有一个角不小于60 已知 a b c是 abc的内角 求证 a b c中至少有一个不小于60 证明 假设的三个内角 a b c都小于60 则有 a 60 b 60 c 60 所以 a b c 180 所以假设不成立 所求证的结论成立 先假设结论的反面是正确的 然后通过逻辑推理 推出与公理 已证的定理 定义或已知条件相矛盾 说明假设不成立 从而得到原结论正确 这种证明方法就是 反证法 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明 注 反证法是最常见的间接证法 一般地 假设原命题不成立 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫做反证法 反证法 否定结论 推出矛盾 肯定结论即分三个步骤 反设 归谬 存真 反设 假设命题的结论不成立 归谬 从假设出发 经过一系列正确的推理 得出矛盾 反证法的证明过程 存真 由矛盾结果 断定反设不成立 从而肯定原结论成立 归谬矛盾 1 与已知条件矛盾 2 与假设矛盾或自相矛盾 3 与已有公理 定理 定义 事实矛盾 反证法的思维方法 正难则反 应用反证法推出矛盾的推导过程中 要把下列哪些作为条件使用 结论相反判断 即假设 原命题的结论 公理 定理 定义等 原命题的条件a b c d c 即时训练 你能说出下列结论的反面吗 a b2 d是正数3 a 04 a b a不垂直于b d不是正数 即d 0 a 0 a不平行b 万事开头难 让我们走好第一步 探究点2反证法的应用 常用的互为否定的表述方式 至多有两个 至少有两个 至少有三个 最多有一个 准确地作出反设 即否定结论 是非常重要的 下面是一些常见的结论的否定形式 不是 不都是 不大于 大于或等于 一个也没有 至少有两个 至多有 n 1 个 至少有 n 1 个 存在某x 不成立 存在某x 成立 不等于 某个 用反证法证明命题 三角形中最多有一个是直角 时 应假设 三角形中有两个或三个角是直角 即时训练 证明 因为a b所以经过直线a b确定一个平面 因为 而 所以与是两个不同的平面 例1已知直线a b和平面 如果 且 求证 下面用反证法证明直线a与平面没有公共点 假设直线a与平面有公共点p 则p 即点p是直线a与b的公共点 这与a b矛盾 所以a 如图 在 abc中 若 c是直角 那么 b一定是锐角 变式练习 证明 假设结论不成立 则 b是直角或钝角 当 b是直角时 则 b c 180 这与三角形的三个内角和等于180 矛盾 当 b是钝角时 则 b c 180 这与三角形的三个内角和等于180 矛盾 综上所述 假设不成立 所以 b一定是锐角 分析 直接证明一个数是无理数比较困难 我们采用反证法 假设不是无理数 那么它就是有理数 我们知道 任一有理数都可以写成形如 m n互质 m z n n 的形式 下面我们看看能否由此推出矛盾 反证法的一般步骤 先假设命题的结论不成立 从假设出发 经过推理 得出矛盾 否定假设 肯定原命题 分清条件和结论 总结提升 宜用反证法证明的题型 1 以否定性判断作为结论的命题 2 某些定理的逆命题 3 以 至多 至少 或 不多于 等形式陈述的命题 4 关于 唯一性 结论的命题 8 涉及各种 无限 结论的命题等 7 有些基本定理或某一知识体系的初始阶段 6 一些不等量命题的证明 5 解决整除性问题 证 假设m 则 f 1 1 a b f 0 b 1 a b 2b 1 a b 2 2 即 1 a b 2b 1 a b 2 又 1 a b 2b 1 a b 1 a b 2b 1 a b 2 即 1 a b 2b 1 a b 2 与 式矛盾 假设不成立 m f 1 1 a b 对于函数f x x2 ax b a b r 当x 1 1 时 f x 的最大值为m 求证 m 变式练习 1 命题 abc中 若 a b 则a b 的结论的否定应该是 a a bb a bc a bd a b b 2 实数a b c不全为0等价于 a a b c均不为0b a b c中至多有一个为0c a b c中至少有一个为0d a b c中至少有一个不为0 d 3 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不大于60 时 反设正确的是 a 假设三内角都不大于60 b 假设三内角都大于60 c 假设三内角至多有一个大于60 d 假设三内角至多有两个大于60 b 4 如果两个实数之和为正数 则这两个数 a 一个是正数 一个是负数b 两个都是正数c 至少有一个正数d 两个都是负数 c 5 用反证法证明 一个三角形不能有两个直角 有三个步骤 a b c 90 90 c 180 这与三角形内角和为180 矛盾 故假设错误 所以一个三角形不能有两个直角 假设 abc中有两个直角 不妨设 a 90 b 90 上述步骤的正确顺序为 填序号 6 已知p3 q3 2 求证p q 2 证明 假设p q 2 那么p 2 q 所以p3 2 q 3 8 12q 6q2 q3 将p3 q3 2代入消去p 得6q2 12q 6 0 即6 q 1 2 0 这与6 q 1 2 0矛盾 故假设错误 所以