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2 3 幂函数 问题引入 1 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克 那么她需要支付p 元 2 如果正方形的边长为a 那么正方形的面积 3 如果立方体的边长为a 那么立方体的体积 4 如果一个正方形场地的面积为s 那么这个正方形的边长 5 如果某人ts内骑车行进了1km 那么他骑车的平均速度 我们先看几个具体问题 若将它们的自变量全部用x来表示 函数值用y来表示 则它们的函数关系式将是 w 定义 问题 你能说出幂函数与指数函数的区别吗 注意 幂函数的解析式必须是的形式 其特征可归纳为 系数为 只有 项 一般地 函数叫做幂函数 powerfunction 其中为自变量 为常数 底数 指数 指数 底数 幂值 幂值 幂函数与指数函数的对比 判断一个函数是幂函数还是指数函数关键 看看自变量x是指数还是底数 幂函数 指数函数 判断下列函数是否为幂函数 1 y x4 3 y x2 5 y 2x2 6 y x3 2 判一判 在同一平面直角坐标系内作出这五个幂函数的图象 下面结合图象 研究幂函数性质 定义域 值域 单调性 奇偶性 过定点的情况等 我们只讨论 1 2 3 1时的情形 按图索性 1 1 2 4 2 4 1 1 1 1 从图象能得出他们的性质吗 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 1 1 r r r x x 0 0 r r y y 0 0 0 在r上增 在 0 上减 观察幂函数图象 将你发现的结论写在下表 在r上增 在 0 上增 在 0 上减 在 0 上增 在 0 上减 幂函数的性质 所有的幂函数在 0 都有定义 并且函数图象都通过点 1 1 如果 0 则幂函数的图象过点 0 0 1 1 并在 0 上为增函数 幂函数的定义域 奇偶性 单调性 因函数式中的不同而各异 如果 0 则幂函数的图象过点 1 1 并在 0 上为减函数 方法技巧 分子有理化 证法二 任取x1 x2 0 且x1 x2 1 作差法 若给出的函数是有根号的式子 往往采用有理化的方式 2 作商法 证明时要注意分子和分母均为正数 否则不一定能推出 x1 x2 即 所以 例2比较下列两个代数式值的大小 解 1 考察幂函数在区间 0 上单调增函数 因为所以 2 考察幂函数在区间 0 上是单调减函数 因为所以 解 1 y x0 8在 0 内是增函数 5 2 5 3 5 20 8 5 30 8 2 y x0 3在 0 内是增函数 0 2 0 3 0 20 3 0 30 3 3 y x 2 5在 0 内是减函数 2 52 7 2 5 例题3 如果函数是幂函数 且在区间 0 内是减函数 求满足条件的实数m的集合 解 依题意 得 解方程 得m 2或m 1 检验 当m 2时 函数为 符合
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