2019届天津市部分区高三下学期质量调查（一）数学（文）试题（解析版）

天津市部分区2019年高三质量调查试卷（一）数学（文史类）一、选择题1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用交集的定义求解即可.【详解】集合，集合与集合公共元素组成的集合，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是（ ）A. 7B. 5C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件，表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，最大值为，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3.如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）A. 3B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.【详解】输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环，退出循环输出，故选A.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.设，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性可证明充分性与必要性均成立.【详解】在上递减，若充分性成立， 若，则，必要性成立，即“”是“”的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查指数函数的性质以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.5.已知函数，若，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.【详解】，在上递减，即，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题是看两个区间 ；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6.已知双曲线的左、右焦点分别是，双曲线的渐近线上点满足，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的渐近线上点满足，结合，列出关于 、 、的方程组，求出 、即可得结果.【详解】在的渐近线上，又，又，由得，双曲线方程为，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程与简单性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.7.函数的图象过点（如图所示），若将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用图象求得函数的解析式，根据平移法则求得，由可得结果.【详解】过，,或，又， 向右平移个单位，得，即，令，,时，为的一条对称轴的方程，故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.8.已知函数若存在实数满足，其中，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由二次函数性质可得，数形结合求出的取值范围，可得的取值范围，从而可得结果.【详解】画出 图象，如图，由二次函数的性质可得，由图可知，即的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查了二次函数指数函数的性质以及数形结果思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质二、填空题9.是虚数单位，复数_.【答案】【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数即可.【详解】，故答案为.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10.已知函数且，为的导函数，且满足，则_.【答案】【解析】【分析】利用对数函数的求导公式求出,将代入所求导函数，从而可得结果.【详解】，故答案为.【点睛】本题主要考查初等函数的求导公式，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.11.圆柱的体积为，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的体积为_.【答案】【解析】【分析】利用柱体的体积公式求出圆柱的高，由勾股定理求出球的半径，根据球的体积公式可得结果.【详解】设圆柱的高为，圆柱体积为，底面半径为，设球半径为，则，可得，球的体积为，故答案为.【点睛】本题主要考查圆柱与球体的性质，以及柱体与球体的体积公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，考查了空间想象能力，属于中档题.12.已知圆心在直线上的圆与轴的两个交点坐标分别为，则该圆的方程为_.【答案】【解析】【分析】求出的垂直平分线方程，与直线联立，可得圆心坐标，从而求得圆的半径，进而可得结果.【详解】圆与轴的两个交点坐标分别为，圆心在的垂直平分线上，又圆心在上，由得圆心坐标为，圆半径为，圆的方程为，故答案为.【点睛】本题主要考查圆的方程与性质，属于中档题. 求圆的方程常见思路与方法有:直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.13.已知，若点在直线上，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由在直线上，可得，设，则，原式化为，展开后利用基本不等式可得结果.【详解】在上，设，则，当，即时，“=”成立，即的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.14.在中，为中点，点满足，若，则_.【答案】200【解析】【分析】由已知，求得，且，则，利用平面向量数量积的运算法则求解即可.【详解】中，为的中点，点满足，且，故答案为200.【点睛】本题主要考查平面向量的运算以及平面向量数量积的运算，属于中档题. 平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决三、解答题15.在中，（）求a的值；（）求的值【答案】（）（）【解析】【分析】（）根据同角的三角函数关系式，结合，可以求出的值，运用正弦定理，可以求出a的值；（）由，运用诱导公式，可以求出的值，根据同角的三角函数关系式，可以求出的值，运用三角形内角和定理和两角和的正弦公式求出，最后利用二倍角的余弦公式求出的值.【详解】解：（）在中，由，得因为，由正弦定理，得，即，所以（）因为，所以，所以故【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了二倍角的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了数学运算能力.16.“微信运动”已经成为当下最热门的健身方式，小李的微信朋友圈内也有大量的好友参加了“微信运动.”他随机的选取了其中30人，记录了他们某一天走路的步数，将数据整理如下：步数人数51312（1）若采用样本估计总体的方式，试估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；（2）已知某人一天的走路步数若超过8000步则他被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”.将这30人按照“积极型”、“懈怠型”分成两层，进行分层抽样，从中抽取5人，将这5人中属于“积极型”的人依次记为，属于“懈怠型”的人依次记为，现再从这5人中随机抽取2人接受问卷调查.（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人来自不同的类型”，求事件M发生的概率.【答案】（1）；（2）（i），；（）【解析】【分析】（1）根据统计表各区间段的人数和总人数，得到每日走路步数超过5000步的频率，利用频率估计出概率；（2）（i）根据分层抽样，得到“积极型”和“懈怠型”的人数，从而列出所有的可能结果；（ii）写出满足事件的情况，根据古典概型公式，得到答案.【详解】解：（1）由题意知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为，所以估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为. （2）（i）5人中“积极型”有人，这两人分别记为，.5人中“懈怠型”有人，这三人分别记为，.在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：，.（ii）事件M“抽取的2人来自不同的类型”有以下6中不同的等可能结果：， 所以根据古典概型公式，得其概率为.所以事件M发生的概率.【点睛】本题考查利用频率估计概率，分层抽样中各层数量的计算，求古典概型概率，属于简单题.17.如图，四棱锥中，为的中点.（1）求证：；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成的角.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据，得到平面，从而得到；（2）【详解】（1）证明：， 又，平面，平面 又平面.（2）证明：取中点，连接.，分别是，的中点，且，又且，且，四边形MNBC是平行四边形，又平面，平面，平面. （3）解：，平面，平面为直线与平面所成的角 在中， 所以在中，. .所以，直线与平面所成的角为.【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，线面平行的判定，求直线与平面所成的夹角，属于简单题.18.已知是等差数列，是等比数列，且，.（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由，求出的公差，可得的通项公式，由求出等比数列的首项与公比，从而可得的通项公式；（2）利用（1）得，结合等比数列的求和公式，利用错位相减法可得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，. 设等比数列的公比为，. （2）由题意，得 , , ,上述两式相减，得 . .【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列通项公式基本量运算，以及等比数列的求和公式，错位相减法的应用，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；相减时注意最后一项 的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.19.已知椭圆的离心率为，短轴长为.（1）求的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点且斜率为的直线与交于两点，交轴于点，点为线段的中点，若点关于轴的对称点为，过点作（为坐标原点）垂直的直线交直线于点，且面积为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率为，短轴长为，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 即可得结果；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理求得直线的斜率，可得直线方程，与直线的方程联立求得点，根据点到直线的距离公式、弦长公式以及三角形面积公式可得，从而可得结果.【详解】（1）由题意，知. 解得.椭圆的方程为. （2）易知，椭圆的左顶点，设直线的方程为，则.由消去并整理，得.设，.，. ，直线的斜率为.直线方程为，直线的方程为.点. 点到直线的距离为. ，解得.【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解