北京市朝阳区2018届高三第一学期期末文科数学试题（解析版）

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测 高三年级数学学科试卷（文史类） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知集合，则是A. B. C. D. 【答案】C【解析】 选C2.已知为虚数单位，设复数满足，则=A. B. C. D. 【答案】B【解析】 选B3.某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：日需求量n1415161820频率0.10.20.30.20.2试估计该商品日平均需求量为( )A. 16B. 16.2C. 16.6D. 16.8【答案】D【解析】估计该商品日平均需求量为 选D 4.“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由或 此时 ；但当 不一定得到，故“”是“”的充分而不必要条件选A5.下列函数中，是奇函数且在内是减函数的是 A. B. C. D. 【答案】A【解析】是奇函数且在内是减函数为偶函数；奇函数且在内是减函数是奇函数且在内是增函数故选A6.某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用三视图得到几何体为如图所示的四棱锥，利用公式可求其体积.【详解】由三视图可知，该四棱锥直观图如图（图中正四棱柱的底面边长为，高为，为棱的三等分点），由图可知四棱锥底面为边长为和的矩形，高为的四棱锥，体积为，故选A.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力以及棱锥的体积公式，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.7.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为,动点满足，当P、A、B不共线时，三角形PAB面积的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题，设点，根据题意，求得圆的方程，再求得P点的位置，即可求得面积的最大值.【详解】以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系；则： 设, ，两边平方并整理得： ，当点P到AB（x轴）的距离最大时，三角形PAB的面积最大，此时面积为 故选A【点睛】本题考查了曲线的轨迹方程，熟悉圆的定义和求轨迹方程是解题的关键，属于中档题型.8.如图，为等边三角形，四边形为正方形，平面平面若点为平面内的一个动点，且满足，则点在正方形及其内部的轨迹为 A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 一段圆弧D. 一条线段【答案】D【解析】【详解】在空间中，存在过线段中点且垂直线段的平面，平面上点到两点的距离相等，记此平面为，平面与平面 有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线故点在正方形及其内部的轨迹为一条线段 选D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卡上 9.执行如图所示的程序框图，输出的值为_.【答案】48【解析】第1次运行，成立第2次运行，成立第3次运行，成立第3次运行，不成立，故输出的值为4810.已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线方程为，则双曲线的方程是_【答案】【解析】抛物线的焦点坐标为所以双曲线的右焦点坐标为因为双曲线的一条渐近线方程为，所以 ，所以 ，所以 ，所以双曲线方程为11.已知菱形的边长为2，则_【答案】2【解析】由题意 12.若变量x，y满足约束条件则的最小值为_【答案】8【解析】画出可行域如图阴影部分所示，根据题意，的最小值为可行域内的点到原点距离平方的最小值，由图可知即原点到直线的距离的平方，即 即答案为8 13.高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：（1）左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积；（2）左图阴影区域面积用表示为_； （3）右图中阴影区域的面积为 ；（4）则柯西不等式用字母可以表示为请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：_【答案】 (1). (2). （1）两图中的阴影部分面积相等；（2）.【解析】（2）左图阴影区域面积用表示为两个矩形面积之和；因为两图中的阴影部分面积相等即 两边同时平方得 14.如图，一位同学从处观测塔顶及旗杆顶，得仰角分别为和. 后退 (单位m)至点处再观测塔顶，仰角变为原来的一半，设塔和旗杆都垂直于地面，且，三点在同一条水平线上，则塔的高为 _ m；旗杆的高为 _ m.（用含有和的式子表示）【答案】 (1). (2). 【解析】设 在中， 在中， ，即为等腰三角形， 在 中，则 【点睛】本题考查了解直角三角形应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.已知函数（）求的最小正周期；（）求证：当时，【答案】（）（）见解析 【解析】试题分析：（）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，即可求出的最小正周期；（）由（）可知， 根据讨论值域，可知其最小值为0，即当时，试题解析：（）因为 .所以函数的最小正周期为. （）由（）可知， 当 时，.当即时，取得最小值所以当时，. 16.已知由实数构成的等比数列满足，（）求数列的通项公式；（）求【答案】（）或（）见解析【解析】试题分析：（）由题可得.由此解得，即可得到数列的通项公式；（）由（）知或，分情况讨论即可得到试题解析：（）由可得.由数列各项为实数，解得，.所以数列的通项公式为或. （）当时，；当时，. 17.2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图1在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术图1选手乙的接发球技术统计表技术反手拧球反手搓球反手拉球反手拨球正手搓球正手拉球正手挑球使用次数202241241得分率55%50%0%75%417%75%100%表1（）观察图1，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术？（）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？（）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定？（结论不要求证明）【答案】（）正手搓球和反手拧球（）（）正手技术更稳定. 【解析】试题分析：（）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术.（）根据表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，分别记为A,B,正手拉球4次，分别记为a,b,c,d.则从这六次拉球中任取两次，共15种结果，其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，由古典概型概率公式可得概率（）正手技术更稳定. 试题解析：（）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术.（）根据表1数据可知，选手乙的反手拉球2次，分别记为A,B,正手拉球4次，分别记为a,b,c,d.则从这六次拉球中任取两次，共15种结果，分别是:AB, Aa,Ab, Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd, ab，ac, ad, bc, bd,cd.其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，分别是:AB,Aa，Ab，Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd.则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率. （）正手技术更稳定. 18.如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱底面已知是的中点，（）求证：平面平面；（）求证：平面；（）求三棱锥的体积【答案】（）见解析 （）见解析（） 【解析】试题分析：（）由，及,可证平面即可证明平面平面；（）证明又因为平面，平面，所以平面（）由即可求得三棱锥的体积试题解析：（）证明：由已知为正三角形，且D是BC的中点，所以因为侧棱底面，所以底面又因为底面，所以.而,所以平面因为平面，所以平面平面 （）证明：连接，设，连接由已知得，四边形为正方形，则为中点.因为是的中点，所以又因为平面，平面，所以平面（）由（）可知平面，所以与到平面的距离相等，所以由题设及，得，且所以，所以三棱锥的体积为 【点睛】本题考查了正三角形与平行四边形的性质、线面平行、面面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，其中求体积时等价转换和等体积法的应用是解题的关键19.已知椭圆的一个焦点坐标为（）求椭圆的方程；（）已知点，过点的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，直线与直线相交于点，试证明：直线与轴平行【答案】（）（）见解析【解析】试题分析：（）由题意可知所以，即可得到求椭圆的方程；（）当直线的斜率不存在时，易证直线与轴平行当直线的斜率存在时，设直线的方程为 .因为点，所以直线的方程为.令，所以.由消去得.显然恒成立.所以这时可证，即.所以直线 轴.试题解析：（）由题意可知所以.所以椭圆的方程为. （）当直线的斜率不存在时，此时轴.设，直线与轴相交于点，易得点是点和点的中点，又因为， 所以，所以直线 轴.当直线的斜率存在时，设直线的方程为 .因为点，所以直线的方程为.令，所以.由消去得.显然恒成立.所以因为，所以.所以直线 轴.综上所述，所以直线 轴. 20.已知函数，（）求曲线在点处的切线的斜率；（）判断方程（为的导数）在区间内的根的个数，说明理由；（）若函数在区间内有且只有一个极值点，求的取值范围【答案】（）（）见解析（） 【解析】试题分析：（）求导.根据导数的几何意义可得. （）设，.由的单调性及因为，,可知有且只有一个，使成立.即方程在区间内有且只有一个实数根. （）若函数在区间内有且只有一个极值点，由于，即在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号.由的单调性可知函数在处取得极大值.当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在 两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号，则只需满足：.即可得到的取值范围 试题解析：（）. （）设，.当时，则函数为减函数.又因为，,所以有