上海市嘉定区2016-2017学年高二下学期期末数学试题（解析版）

嘉定区2016学年第二学期期末考试高二年级数学试卷一、填空题：考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果1.双曲线的实轴长等于_【答案】4【解析】【分析】根据双曲线的标准方程求出，而后直接求出实轴长.【详解】由双曲线的标准方程可知：，故双曲线的实轴长为4.故答案为：4【点睛】本考查了求双曲线的实轴长，属于基础题.2.若复数满足：（是虚数单位），则_【答案】【解析】【分析】运算复数的除法运算法则求出复数，再根据复数模的公式求出.【详解】.故答案为：【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了复数模的公式，考查了数学运算能力.3.抛物线的焦点到准线的距离是 .【答案】2【解析】焦点（1，0），准线方程，焦点到准线的距离是2.4.若两个球的体积之比是，则它们的表面积之比是_【答案】【解析】【分析】设两个球的半径，根据体积公式，结合已知可以求出两个球的半径之比，最后根据球的表面积公式求出它们的表面积之比.【详解】设两个球的半径、体积、表面积分别为：.由题意可知：，所以有.故答案为：【点睛】本题考查了球的表面积公式和体积公式，属于基础题.5.若是实系数一元二次方程的一个根，则_.【答案】【解析】【分析】由题意可知，实系数一元二次方程的两个虚根分别为和，利用韦达定理可求出、，进而可求出的值.【详解】由题意可知，实系数一元二次方程的两个虚根分别为和，由韦达定理得，解得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查由实系数方程的虚根求参数，理解实系数二次方程的两个虚根互为共轭复数是解题的关键，此外，也可以将虚根代入实系数方程化简计算，考查运算求解能力，属于基础题.6.底面半径为1、母线长为的圆锥的体积等于_（结果保留）【答案】【解析】【分析】由底面半径、母线长、高的长度之间的关系，利用勾股定理先求出圆锥的高，再利用圆锥体积公式直接求解即可.【详解】因为圆锥的底面半径为1、母线长为，所以圆锥的高的长度为：，因此圆锥的体积为：.故答案为：【点睛】本题考查了圆锥体积的计算，考查了数学运算能力.7.从1、2、3、4这四个不同的数字中任选出三个数字，组成没有重复数字的三位数，则这样的三位数共有_个【答案】24【解析】【分析】根据排列的定义直接求解即可.【详解】因为要从1、2、3、4这四个不同的数字中任选出三个数字，组成没有重复数字的三位数，所以这是一个排列问题，所以共有个三位数，因为，所以共有24个三位数.故答案为：24【点睛】本题考查了排列的定义，考查了排列数的计算，属于基础题.8.在的二项展开式中，项的系数是_【答案】12【解析】【分析】利用二项式的通项公式直接求解即可.【详解】因为的通项公式为：，所以令，项的系数为.故答案：12【点睛】本题考查了求二项展开式某项系数问题，考查了二项展开式的通项公式的应用，考查了数学运算能力.9.双曲线1（a0）的一条渐近线方程为y2x，则a的值为_【答案】1【解析】分析】根据双曲线焦点的位置，明确渐近线的方程为，从而可得a的值.【详解】双曲线1（a0）的一条渐近线方程为y2x，可得：，解得a1故答案为1【点睛】本题主要考查双曲线渐近线的应用，求解或使用渐近线时，要先明确焦点的位置.10.椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是_【答案】【解析】【分析】设出椭圆的右焦点，利用椭圆的定义，可以知道当直线过椭圆右焦点时，的周长最大，这样可以求出的面积.【详解】由椭圆的标准方程可知：，设椭圆的右焦点为，显然有：.的周长为：，因为，当且仅当在线段上时取等号，所以的周长有最大值，最大值为，此时显然直线过右焦点，即，直线方程为，代入椭圆方程中，可求出，因此，所以的面积为：.故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的定义的应用，考查了两点间线段最短公理的应用，考查了数学运算能力.11.已知复数集且，集合且，则集合在复平面上表示区域面积是_【答案】【解析】【分析】设，根据复数模几何意义可以求出集合在复平面表示的平面区域，再结合复数模的几何意义可以求出集合在复平面表示的平面区域，这样根据补集的定义求解即可.【详解】设，由且，可知：，所以集合为正方形（含边界）.表示的点是以为圆心，1为半径的圆上，因此集合为图中染色区域（含边界），集合表示区域面积是故答案为：【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了复数的虚部、实部，考查了不等式组表示的平面区域，属于中档题.12.如图，已知正方体中，为线段上一点，为平面内一点，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】当时，才有可能取到最小值，将平面和平面展开成一平面，根据、三点共线，且，这样可以求出最小值.【详解】 当时，才有可能取到最小值，将平面和平面展开成一平面，得上右图，当且仅当、三点共线，且时，取得最小值，此时，故答案为：【点睛】本题考查了多面体表面上最短问题，考查了空间想象能力，属于中档题.二、选择题： 13.若，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】分析：若，则，反之不然，由此可得结论.详解：若，则“”不一定有“”的，如;反过来，若，则，故若，则“”是“”的必要不充分条件.点睛：本题考查必要不充分条件判断，属中档题.14.下列命题正确的是（ ）A. 若直线平面，直线平面，则B. 若直线上有两个点到平面的距离相等，则C. 直线l与平面所成角的取值范围是D. 若直线平面，直线平面，则【答案】D【解析】【分析】根据线面平行垂直的性质与判定判断即可.【详解】对A, 若直线平面,直线平面,不一定有,故A错误.对B,当平面时也满足直线上有两个点到平面的距离相等.故B错误.对C, 直线l与平面所成角的取值范围是,故C错误.对D, 若直线平面,直线平面,则成立.故D正确.故选：D【点睛】本题主要考查了线面平行垂直关系的判定,属于基础题型.15.如图，正三棱锥中，侧面与底面所成的二面角等于，动点在侧面内，底面，垂足为，则动点的轨迹为（ ）A. 线段B. 圆C. 一段圆弧D. 一段抛物线【答案】D【解析】【分析】过点作的垂线，根据二面角的关系得出，即点到点的距离等于点到的距离，可得其轨迹为抛物线的一部分.【详解】过点作的垂线，垂足为，连接，底面，是平面内两条相交直线，所以平面，所以，所以是二面角的平面角，在中，由题，所以，即点到点的距离等于点到的距离，所以动点的轨迹为抛物线的一部分.故选：D【点睛】此题考查根据二面角关系求线段长度关系，转化成轨迹问题.16.曲线为：到两定点、距离乘积为常数的动点的轨迹以下结论正确的个数为（ ）（1）曲线一定经过原点；（2）曲线关于轴对称，但不关于轴对称；（3）的面积不大于8；（4）曲线在一个面积为60的矩形范围内A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】设P（x，y），则，（1）（0，0）代入，方程不成立，即曲线C一定经过原点，不正确；（2）以x代替x，y代替y，方程成立，即曲线C关于x、y轴对称，不正确；（3）x=0，y=，MPN的最大面积=，故正确；（4）令y=0，可得x=2，曲线C在一个面积为的矩形范围内，不正确故选B点睛：本题主要考查直接法求动点的轨迹方程，化简后利用方程判断曲线的对称性，考查三角形的面积公式.利用直接法求动点的轨迹方程的基本过程是：设出动点的坐标，利用题目的已知条件建立关于的方程，化简这个方程即可得到动点的轨迹方程.三、解答题： 17.已知为虚数单位，设复数满足，且为纯虚数，求【答案】或【解析】【分析】设，运用模的性质，结合已知可以求出，最后根据复数的除法运算法则求出，再根据共轭复数的定义求出.【详解】设，则，当时，当时，综上，或【点睛】本题考查了复数模的性质，考查了复数除法的运算法则，考查了数学运算能力.18.在的展开式中，第三项的二项式系数与第二项的二项式系数之比是（1）求的值；（2）求展开式中的常数项【答案】（1）（2）180【解析】【分析】（1）根据二项式系数公式，结合已知直接求解即可；（2）写出二项式的展开式的通项公式并化简，令的指数为零求解即可.【详解】（1），（2），当，即时，常数项为【点睛】本题考查了二项式系数，考查了二项式展开式中的常数项，考查了数学运算能力.19.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且底面，为的中点（1）求直线与底面所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）（及其内部）绕所在直线旋转一周形成一个几何体，求该几何体体积【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据线面角直接求解即可；（2）根据两个圆锥体积的差直接求解即可.【详解】（1）连接，因为底面，所以直线与底面所成的角为，在直角中，；（2）因为（及其内部）绕所在直线旋转一周，所以形成的几何体的体积为：【点睛】本题考查了线面角的求法，考查了求旋转体的体积，考查了空间想象能力和推理论证能力.20.如图，已知点在圆柱的底面圆上，为的直径，圆柱的表面积为，（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求三棱锥的体积【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据圆柱的表面积可以求出圆柱的高，在中，利用余弦定理可得的长，取中点，连接，利用三角形中位线定理，结合异面直线所成角的定义可以判断出或它的补角为异面直线与所成的角最后利用余弦定理求解即可；（2）利用三棱锥体积的等积性求解即可.【详解】（1）由题意，解得在中，所以，取中点，连接，则，得或它的补角为异面直线与所成的角，如下图所示：又，得，由余弦定理得，得异面直线与所成的角的大小为（2）在中，所以，【点睛】本题考查了异面直线所成的角，考查了圆柱表面积公式，考查了三棱锥的体积公式，考查了推理论证能力和数学运算能力.21.已知椭圆经过点，且长轴长是短轴长的2倍（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在椭圆上运动，点在圆上运动，且总有，求的取值范围；（3）过点的动直线交椭圆于、两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明由【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根据长轴长是短轴长的2倍，可得之间的关系，把点的坐标代入椭圆方程中，这样可以求出的值，进而求出椭圆的标准方程；（2）设，求出圆的圆心坐标，根据两点间距离公式写出的表达式，根据椭圆的范围，求出的取值范围，根据圆的半径和的大小关系，进行分类讨论，最后求出的取值范围；（3）由对称性可知，点一定位于轴上，设，根据题意可以判断，根据直线是否存在斜率进行分类讨论.当存在斜率时，直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合，可以判断存在定点满足题意，并求出定点；当不存在斜率时，解方程