北师大版选修（11）23《双曲线》word教案【精品教案】

北师大版选修（11）23双曲线word教案【精品教案】 2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程教学目标知识与技能目标理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解借助信息技术探究动点轨迹的几何画板的制作或操作方法熟练掌握用待定系数法求双曲线的标准方程。 能力目标想象与归纳能力能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是双曲线的实际例子，能用数学符号或自然语言的描述双曲线的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示思维能力会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力实践能力培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力数学活动能力培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力创新意识能力培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径情感、态度与价值观目标通过课件（a）的展示与操作，必须让学生认同与圆锥的轴平行的平面去截圆锥曲面所得截口曲线是一条双曲线而不是两条抛物线；必须让学生认同与体会双曲线的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是两条射线；必须让学生认同与理解已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量22bca?的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美；让学生认同与领悟像例1这基础题配备是必要的，但对定义的理解和使用是远远不够的，必须配备有一定灵活性、有一定的思维空间的补充题；例2是典型双曲线实例的题目，对培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题有一定的帮助，但要准确判定爆炸点，必须对此题进行扩展，培养学生归纳、联想拓展的思维能力教学过程 （1）预习与引入过程预习教科书56页至60页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题第 一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第 二、你能举出现实生活中双曲线的例子当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究P56页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm长，另一条约6cm每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm，另一条约12cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线启发性提问在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？板书221双曲线及其标准方程 （2）新课讲授过程（i）由上述探究过程容易得到双曲线的定义 1、双曲线的定义板书把平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值等于常数（小于12FF）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距即当动点设为M时，双曲线即为点集P?问题 (1)将定义中的“绝对值”去掉,动点轨迹是什么?(双曲线的一支)?122M MFMFa? (2)将定义中的常数令为零,动点轨迹是什么?(1F2F的中垂线) (3)将定义中的“小于”换为“等于”,动点轨迹是什么?(两条射线) (4)将定义中的“小于”换为“大于”,动点轨迹是什么?(不存在) (5)将定义中的“小于21FF”去掉,动点轨迹是什么?(分类讨论)（ii）双曲线标准方程的推导过程提问已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方的数学活动过程类比椭圆设参量b的意义第 一、便于写出双曲线的标准方程；第 二、,a bc的关系有明显的几何意义证明取过焦点21FF的直线为x轴，线段21FF的垂直平分线为y轴。 设P（x,y）为双曲线上的任意一点，|F1F2|=2c（c0）.则)0,()0,(21cFcF?，又设M与F1,F2距离之差的绝对值等于2a（常数）?aPFPFPP221?221)(ycxPF?又，aycxycx2)()(2222?，化简，得)()(22222222acayaxac?，由定义ca22?022?ac令222bac?代入，得222222bayaxb?，两边同除22ba得12222?byax，此即为双曲线的标准方程。 它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是)0,c()0,c(21FF?，其中222bac?若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，若焦点在y轴上，则焦点是),0(2F),0(1F?，将x,y互换，得到12222?bxay，此也是双曲线的标准方程。 所以双曲线的标准方程为12222?byax(a0,b0焦点在x轴上)或12222?bxay(a0,b0，焦点在y轴上)2用定义法求双曲线标准方程的思考 (1)注意定义中的限制条件， (2)何时为双曲线一支，何时为双曲线两支？ 3、待定系数法求双曲线的方程提出问题已知双曲线经过两点，求双曲线的标准方程，用什么办法解决呢？活动设计学生先独立思考，教师加以引导，教师从三个方面引导学生列式计算方程设法、方程特点、方程解法并找学生板演学情预测学生容易从焦点在y轴上的一般式方程入手，设双曲线的标准方程为22xbya221(a0，b0)，代入坐标后的方程组是分母是二次的分式方程组，用换元法或整体法求解解设双曲线的标准方程为y22xa2b21(a0，b0)，又因为双曲线过点P1(3，42)、P2(94，5)，所以，?32a29b21，25a28116b21，解得?a216.29.b所以所求双曲线方程为y216x291.变式教学提出问题例1若去掉“焦点在y轴上”这一条件，如何设双曲线的标准方程呢？活动设计学生讨论交流，尝试解答学情预测学生的答案可能有三种216x （1）直接认为是y291或x216y291； （2）分类讨论后检验； （3）用一般式设为Ax2By21(AB0)活动设计教师引导学生讨论后请2至3名学生上台板书，教师巡视后订正、引导学生比较解法、点评点评已知双曲线经过两点，所求双曲线方程设为Ax二元一次方程组简捷迅速，应予掌握小结用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 (1)定位确定焦点位置，若不能确定，应分类讨论定型求a，b，c的值 (2)注意若过两点，无法判断焦点位置的设法（iii）例题讲解、引申与补充2By21(AB0)，不必讨论且解例1已知双曲线两个焦点分别为?15,0F?，?25,0F，双曲线上一点P到1F，2F距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程分析由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,a bc补充求下列动圆的圆心M的轨迹方程与C?2222xy?内切，且过点?2,0A；与1C?2211xy?和2C?2214xy?都外切；与1C?2239xy?外切，且与2C?2231xy?内切解题剖析这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题具体解设动圆M的半径为rC与M内切，点A在C外，2MCr?，MAr?，因此有2MAMC?，点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，即M的轨迹方程是?2222127yxx?；M与1C、2C均外切，11MCr?，22MCr?，因此有211MCMC?，点M的轨迹是以2C、1C为焦点的双曲线的上支，M的轨迹方程是22434134xyy?；M与1C外切，且M与2C内切，13MCr?，21MCr?，因此124MCMC?，点M的轨迹是以1C、2C为焦点的双曲线的右支，M的轨迹方程是?221245xyx?例2已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340/m s，求炮弹爆炸点的轨迹方程分析首先要判断轨迹的形状，由声学原理由声速及A，B两地听到爆炸声的时间差，即可知A，B两地与爆炸点的距离差为定值由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程扩展某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s已知各观察点到该中心的距离都是1020m试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为340/相关点均在同一平面内）解法剖析因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上m s；如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向分别为x轴、y轴方向，建立直角坐标系，设A、B、C分别是西、东、北观察点，则?1020,0A?，?1020,0B，?0,1020C设?,P x y为巨响发生点，A、C同时听到巨响，OP所在直线为yx?，又因B点比A点晚4s听到巨响声，?4340?1360PBPAm?由双曲线定义知，680a?，1020c?，3405b?，P点在双曲线方程为222216805340?xy?680x?联立、求出P点坐标为?6805,6805P?即巨响在正西北方向68010m处探究如图，设A，B的坐标分别为?5,0?，?5,0直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为49，求点M的轨迹方程，并与21例3比较，有什么发现？探究方法若设点?,M x y，则直线AM，BM的斜率就可以用含,xy的式子表示，由于直线AM，BM的斜率之积是49，因此，可以求出,xy之间的关系式，即得到点M的轨迹方程例2如果方程x22my2m11表示双曲线，求m的取值范围解由(2m)(m1)0，得10)，对条件进行加强训练，对此方程既可变式 (1)方程x22my2m11表示双曲线时，m的取值范围为_解由(2m)(m1)0，得m2.2ym11表示椭圆时，m的取值范围为_ (2)方程x2m2解由?2m0，m10，2mm1，得m(1，12)(12，2) (3)方程x22my2m11表示圆时，m的值为_解由2mm1，得m12.设计意图通过变式，对方程Ax曲线、椭圆方程时的通法，但一定要注意条件2By21的认识能有进一步提升，使学生明白在设双2.3.2双曲线的几何性质教学目标知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题 （1）根据条件，求出表示曲线的方程； （2）通过方程，研究曲线的性质理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义能力目标分析与解决问题的能力通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力思维能力会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力实践能力培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力创新意识能力培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新必须让学生认同和掌握双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，充分利用图形对称性，注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉取近似值的两个原则实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能教学过程 （1）复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；由方程的性质得到双曲线的对称性；由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；应用信息技术的几何画板探究双曲线的渐近线问题；类比椭圆通过56P的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率板书222双曲线的简单几何性质 （2）新课讲授过程（i）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质提问研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质（ii）双曲线的简单几何性质范围由双曲线的标准方程得，222210yxba?，进一步得xa?，或xa?这说明双曲线在不等式x对称性由以x曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心；a?，或x?代x，以a?所表示的区域；代y和x?代x，且以yy?代y这三个方面来研究双顶点圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；渐近线直线byxa?叫做双曲线22221xyab?的渐近线；离心率双曲线的焦距与实轴长的比ace?叫做双曲线的离心率（1e?）（iii）例题讲解与引申、扩展例1求双曲线22916144yx?的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程分析由双曲线的方程化为标准方程，容易求出,a bc引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y轴上的渐ayxb近线是?扩展求与双曲线221169xy?共渐近线，且经过?23,3A?点的双曲线的标准方及离心率解法剖析双曲线221169xy?的渐近线方程为34yx?焦点在x轴上时，设所求的双曲线为22221169xykk?，?23,3A?点在双曲线上，214k?，无解；焦点在y轴上时，设所求的双曲线为22221169xykk?，?23,3A?点在双曲线上，214k?，因此，所求双曲线的标准方程为221944yx?，离心率53e?这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为?22,0169xym mRm?例2双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图 （1），它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m）解法剖析建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为22221xyab?，算出,a bc的值；此题应注意两点注意建立直角坐标系的两个原则；关于,a bc的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定引申如图所示，在P处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路PA或PB送到呈矩形的足球场ABCD中去铺垫，已知150APm?，100BPm?，60BCm?，60APB?能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由解题剖析设M为“等距离”线上任意一点，则PAAMPBBM?，即50BMAMAPBP?（定值），“等距离”线是以A、B为焦点的双曲线的左支上的一部分，容易“等距离”线方程为?2213525,0606253750xyxy?理由略例3如图，设?,M xy与定点?5,0F的距离和它到直线l165x?的距离的比是常数54，求点M的轨迹方程分析若设点?,M xy，则?225MFxy?，到直线l165x?的距离165dx?，则容易得点M的轨迹方程引申用几何画板探究点的轨迹双曲线若点?,M xy与定点?,0F c的距离和它到定直线l2axc?的距离比是常数cea?0ca?，则点M的轨迹方程是双曲线其中定点?,0F c是焦点，定直线l2axc?相应于F的准线；另一焦点?,0Fc?，相应于F?的准线l?2axc?补充双曲线第二定义教学目标11111知识目标掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。 11112能力目标培养学生分析问题和解决问题的能力及探索和创新意识。 教学重点双曲线的第二定义教学难点双曲线的第二定义及应用.教学方法类比法（类比椭圆的第二定义）教学过程111111111111111111111111111111 一、复习引入 1、 （1）、双曲线的定义平面上到两定点21FF、距离之差的绝对值等于常数（小于|21FF）的点的轨迹叫做双曲线.定点21FF、叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 (2)、双曲线的标准方程焦点在x轴12222?byax)0,0(?ba焦点在y轴22221yxab?)0,0(?ba其中222cba? 2、对于焦点在x轴上的双曲线的有关性质 （1）、焦点F1(-c,0),F2(c,0)； (2)、渐近线:xaby?； （3）、离心率ace? 13、今节课我们来学习双曲线的另一定义。 （板书课题双曲线第二定义） 二、新课教学 1、引例(课本P64例6)点M(x,y)与定点F(5,0)距离和它到定直线16:5l x?的距离之比是常数54,求点M的轨迹方程.分析利用求轨迹方程的方法。 解:设d是点M到直线l的距离,根据题意,所求轨迹就是集合P=M|54MFd?,F2F1H Hx2axc?o y即22 (5)51654xyx?221169xy?化简得所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为 8、6的双曲线。 由例6可知:定点F(5,0)为该双曲线的焦点,定直线16:5l x?为2axc?,常数为离心率ace?1.提出问题（从特殊到一般）将上题改为点M(x,y)与定点F(c,0)距离和它到定直线2:al xc?的距离之比是常数1cea?,求点M的轨迹方程。 解设d是点M到直线l的距离,根据题意,所求轨迹就是集合P=M|54MFd?,即222()x c?ycaaxc?化简得22222222()()ca xaya ca?两边同时除以222()a ca?得22221xyab?(0,0)ab?其中 2、小结双曲线第二定义:当动点M(x,y)到一定点F(c,0)的距离和它到一定直线2:al xc?的距离之比是常数1cea?时,这个动点M(x,y)的轨迹是双曲线。 其中定点F(c,0)是双曲线的一个焦点，定直线2:al xc?叫双曲线的一条准线，常数e是双曲线的离心率。 双曲线上任一点到焦点的线段称为焦半径。 例如PF是双曲线的焦半径。 （P65思考）与椭圆的第二定义比较,你有什么发现？（让学生讨论）答只是常数e的取值范围不同，椭圆的01cea?,而双曲线的1cea?. 三、课堂练习1求22134xy?的准线方程、两准线间的距离。 解:由22134xy?可知,焦点在x轴上,且347c?所以准线方程为:37x?；故两准线的距离为3367()777?. 2、(xx年广东高考第8题选择题)已知双曲线3x2y2=9，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于()。 (A)2(B)233(C)2(D)4解 3、如果双曲线22125144xy?上的一点P到左焦点的距离为9，则P到右准线的距离是解P到左准线的距离为m，由双曲线方程可知a=5，b=12，c=13，135cea?准线方程为22513axc?根据双曲线第二定义得,91345513emm?2550()1313?25又两准线间的距离为 134、双曲线两准线把两焦点连线段三等分，求e.459