四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学(文)试题（解析版）

绵阳市高中2019届高三第二次诊断性考试文科数学一、选择题（60分）1.在复平面内，复数12+i对应的点位于( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】zi2.己知集合A=0, 1，2, 3，4，B=x ex-11，则AB( )A. 1，2，3，4 B. 2，3，4 C. 3，4 D. 4【答案】B【解析】【分析】先求出集合B，由此能求出AB【详解】ex-11e0，所以，x10，即x1，集合A中，大于1的有：2，3，4 ，故AB2，3，4 .故选B.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、指数不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3.下图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各5名同学在一次数学小测试中的选择题总成绩（每道题5分，共8道题）已知两组数据的中位数相同，则m的值为( )A. 0 B. 2 C. 3 D. 5【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，直接写出甲、乙两个班级的中位数，得出30+m35，求出m的值【详解】甲班成绩：25、30、35、40、40，中位数为：35，乙班成绩：30、30、30+m、35、40，因为中位数相同，所以30+m35，解得：m5故选D.【点睛】本题考查了利用茎叶图求中位数的应用问题，是基础题4.“ab1”是“直线axy+10与直线xby10平行”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】ab1时，两条直线平行成立，但由axy+10与直线xby10平行，可得ab1，不一定是ab1【详解】ab1时，两条直线axy+10与直线xby10平行， 反之由axy+10与直线xby10平行，可得：ab1，显然不一定是ab1，所以，必要性不成立，“ab1”是“直线axy+10与直线xby10平行”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查了直线平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5.直线l：xy20与圆O：x2y24交于A，B两点，O是坐标原点，则AOB等于（ ）A. 6 B. 4 C. 3 D. 2【答案】D【解析】【分析】先计算圆心到直线的距离d，由此能求出弦长AB,在三角形AOB中利用三边可得AOB【详解】圆心O（0，0）到直线xy20的距离d=|-2|1+1=2，可得AB2r2-d2=22,所以AOB90，故选D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，属于基础题6.设a,b是互相垂直的单位向量，且（ab）（a2b），则实数的值是（ ）A. 2 B. 2 C. 1 D. 1【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件：向量垂直数量积等于0，列出方程求出【详解】依题意，有：ab1，且ab0，又（ab）（a2b），所以，（ab）（a2b）0，即a22b2（21）ab0，即20，所以，2故选B.【点睛】本题考查两向量垂直的充要条件：数量积等于0；单位向量的定义，属于基础题.7.执行如图的程序框图，其中输入的a=sin76，b=cos76，则输出a的值为（ ）A. 1 B. 1 C. 3 D. 3【答案】A【解析】【分析】由条件结构的特点，先判断，再执行，计算出a，即可得到结论【详解】由asin76=-12，bcos76=-32，ab，则a变为-123（-32）1，则输出的a1故选A.【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查条件结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题8.若函数f(x)=lnx+2x2bx1的图象上任意一点的切线斜率均大于0，则实数b的取值范围为（ ）A. （，4） B. （，4 C. （4，）D（0,4）【答案】A【解析】【分析】由条件得到kf（x）0对x0恒成立，所以b0对x0恒成立，所以b（1x+4x）min，又1x+4x4，当x12时，1x+4x取得最小值4，所以b0)的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p（ ）A. 1 B. 2 C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】设直线l的方程为x12y+p2，与抛物线联立利用韦达定理可得p【详解】由已知得F（p2，0），设直线l的方程为x12y+p2，并与y22px联立得y2pyp20，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0），y1+y2p，又线段AB的中点M的纵坐标为1，则y0=12（y1+y2）p2=1，所以p=2,故选：C【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题10.已知F1，F2是焦距为8的双曲线E：x2a2y2b2=1(a0,b0)的左右焦点，点F2关于双曲线E的一条渐近线的对称点为点A，若AF14，则此双曲线的离心率为（ ）A. 2 B. 3 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】由题意知AF282-42=43，结合点到直线的距离与双曲线中a、b、c间得关系得到4ba2+b2=23a2+b2=16，解得结果.【详解】如下图，因为A为F2关于渐近线的对称点，所以，B为AF2的中点，又O为F1F2的中点，所以，OB为三角形AF1F2的中位线，所以，OBAF1，由AF2OB，可得AF2AF1，AF282-42=43，点F2（4,0），渐近线：y=bax，所以4ba2+b2=23a2+b2=16，解得：b23，a2，所以离心率为e2,故选C.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用及点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题11.博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（ ）A. P1P214 B. P1P213 C. P1+P256 D. P1P2【答案】C【解析】【分析】将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321方案一坐车可能：132、213、231，所以，P136；方案二坐车可能：312、321，所以，P126；所以P1+P256故选C.【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.12.已知椭圆C：x2m+y2m4=1(m4)的右焦点为F，点A（一2，2)为椭圆C内一点。若椭圆C上存在一点P，使得PAPF8，则m的取值范围是（ ）A. (6+25,25 B. 9，25 C. (6+25,20 D. 3，5【答案】A【解析】【分析】设椭圆的左焦点为F（2，0），由椭圆的定义可得2m|PF|+|PF|，即|PF|2m|PF|，可得|PA|PF|82m，运用三点共线取得最值，解不等式可得m的范围，再由点在椭圆内部，可得所求范围【详解】椭圆C：x2m+y2m-4=1(m4)的右焦点F（2，0），左焦点为F（2，0），由椭圆的定义可得2m|PF|+|PF|，即|PF|2m|PF|，可得|PA|PF|82m，由|PA|PF|AF|2，可得282m2，解得3m5，所以9m25,又A在椭圆内，所以4m+4m-41,所以8m-16m(m-4),解得m6+25,与取交集得6+2513 【解析】【分析】先判断奇偶性，再直接利用函数的单调性及奇函数可得3x一1-2，由此求得x的取值范围【详解】根据f（x）exex在R上单调递增，且f（-x）exex =- f（x），得f（x）为奇函数，f(3x一1)-f(2)=f(-2)，3x一1-2，解得x-13，故答案为x-13.【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题16.已知点P是椭圆C：x29+y2=1上的一个动点，点Q是圆E：x2+(y4)2=3上的一个动点，则PQ的最大值是_【答案】43【解析】【分析】由圆E：x2+（y4）23可得圆心为E（0，4），又点Q在圆E上，可得|PQ|EP|+3设P（x1，y1）是椭圆C上的任意一点，可得x12=9-9y12于是|EP|2=-8(y1+12)2+25由于y1-1，1，利用二次函数的单调性即可得出【详解】由圆E：x2+（y4）23可得圆心为E（0，4），又点Q在圆E上，|PQ|EP|+|EQ|EP|+3（当且仅当直线PQ过点E时取等号）设P（x1，y1）是椭圆C上的任意一点，则x129+y12=1，即x12=9-9y12|EP|2=x12+(y1-4)2=9-9y12+(y1-4)2=-8(y1+12)2+27y1-1，1，当y112时，|EP|2取得最大值27，即|PQ|33+3=43|PQ|的最大值为43故答案为43.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质的应用、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22. 23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.设数列an的前n项和为Sn，已知3Sn=4an4，nN*（1)求数列an的通项公式； (2）令bn=1log2anlog2an+1，求数列bn的前n项和Tn.【答案】（1）an=22n1（2）n2n+1【解析】分析：（1）由n=1求得a1，由n2时，an=SnSn1可得an的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式；（2）根据（1）的结论，数列bn的前n项和可用裂项相消法求得详解：（1）3Sn=4an-2 当n=1时，3a1=4a1-2，a1=2当n2时，3Sn-1=4an-1-2 由-得：3an=4an-4an-1an=4an-1an是以a1=2为首项，公比为4的等比数列an=24n-1=22n-1（2）bn=1log2anlog2an+1=12n-12n+1=1212n-1-12n+1Tn=b1+b2+bn=1211-13+13-15+12n-1-12n+1=n2n+1点睛：设数列an是等差数列，bn是等比数列，则数列an+bn，anbn，1anan+1的前n项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法18.进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如下表：(1)根据表中周一到周五的数据，求y关于x的线性回归方程。(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是可靠的请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？ 注：回归方程y=bx+a中斜率和截距最小二乘估计公式分别为b=i=1n(xix)(yiy)i=1n(xix)2,a=ybx.【答案】（1）y=2x+58；（2）可靠.【解析】【分析】（1）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，求出a的值，即可得线性回归方程（2）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为8和8.5时的y的值，把预报的值同原来表中所给的8和8.5对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程可靠【详解】（1）x=10+9+9.5+10.5+115=10，y=78+76+77+79+805=78 i=15(xi-x)(yi-y)=(10-10)(78-78)+(9-10)(76-78)+(9.5-10)(77-78) +(10.5-10)(79-78)+(11-10)(80-78)=5， i=15(xi-x)2=(10-10)2+(9-10)2+(9.5-10)2+(10.5-10)2+(11-10)2=2.5， b=i=15(xi-x)(yi-y)i=15(xi-x)2=52.5=2 a=y-bx=78-210=58 y关于x的线性回归方程为y=2x+58.（2）当x=8时，y=28+58=74满足|74-73|=12，当x=8.5时，y=28.5+58=75满足|75-75|=02， 所得的线性回归方程是可靠的【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查了线性回归分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目，属于基础题19.ABC的内角A. B. C的对边分别为a，b，c，己知3ABACb（3casinC）。（1)求角A的大小； (2）若bc332，a=3，求ABC的面积。【答案】（1）3；（2）5316.【解析】【分析】（1）由条件可得3ccosA=3c-asinC由正弦定理得sinA+3cosA=3化简得sin(A+3)=32，解得A即可.（2）由余弦定理得3=b2+c2-bc，即3=(b+c)2-3bc，又b+c=332，解得bc=54.可求ABC面积.【详解】（1） 3ABAC=b(3c-asinC)， 3cbcosA=b(3c-asinC)，即3ccosA=3c-asinC由正弦定理得3sinCcosA=3sinC-sinAsinC， sinC0， 3cosA=3-sinA，即sinA+3cosA=3所以12sinA+32cosA=32，即sin(A+3)=32 0A, 3A+30时， 函数f(x)在(0，1m)上单调递增，函数f(x)在(1m，+)上单调递减；（2）e2(e2+1)e2-1.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，对m分类讨论，解得导函数大于0及小于0的范围，即可得到单调性（2）由条件可将问题转化函数y=m的图象与函数h(x)=lnxx的图象有两个交点.分析可得0x1e令t=x3x1，则t(1，e2由t=x3x1，lnx3=mx3，lnx1=mx1，解得lnx1=lntt-1，lnx3=tlntt-1. 构造(t)=(t+1)lntt-1，t(1，e2，利用导函数转化求解即可【详解】（1）函数的定义域为(0，+).由已知可得f(x)=1x-m=1-mxx当m0时，f(x)0，故f(x)在区间(0，+)上单调递增； 当m0时，由f(x)0，解得0x1m；由fx1m所以函数f(x)在(0，1m)上单调递增，在(1m，+)上单调递减. 综上所述，当m0时，函数f(x)在区间(0，+)上单调递增；当m0时， 函数f(x)在(0，1m)上单调递增，函数f(x)在(1m，+)上单调递减. （2） 函数g(x)=(x-e)(lnx-mx)有且只有三个不同的零点，显然x=e是其零点， 函数f(x)=lnx-mx存在两个零点，即lnx-mx=0有两个不等的实数根可转化为方程m=lnxx在区间(0，+)上有两个不等的实数根，即函数y=m的图象与函数h(x)=lnxx的图象有两个交点. h(x)=1-lnxx2， 由h(x)0，解得0xe，故h(x)在上单调递增；由h(x)e，故h(x)在(e，+)上单调递减；故函数y=m的图象与h(x)=lnxx的图象的交点分别在(0，e)，(e，+)上，即lnx-mx=0的两个根分别在区间(0，e)，(e，+)上， g(x)的三个不同的零点分别是x1，e，x3，且0x1e 令t=x3x1，则t(1，e2由t=x3x1，lnx3=mx3，lnx1=mx1，解得lnx1=lntt-1，lnx3=tlntt-1. 故ln(x1x3)=lnx1+lnx3=(t+1)lntt-1，t(1，e2令(t)=(t+1)lntt-1，则(t)=t-2lnt-1t(t-1)2令(t)=t-2lnt-1t，则(t)=1-2t+1t2=t2-2t+1t2=(t-1)2t20所以(t)在区间(1，e2上单调递增，即(t)(1)=0 所以(t)0，即(t)在区间(1，e2上单调递增，即(t)(e2)=2(e2+1)e2-1，所以ln(x1x2)2(e2+1)e2-1，即x1x3e2(e2+1)e2-1，所以x1x3的最大值为e2(e2+1)e2-1【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值以及函数的极值的求法，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力（二）选考题：共10分。请考生在第22, 23题中任选一题做答。如果多做则按所做的第一题记分。22.在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程是x=2+3cosy=3sin（为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：(cos+sin)=t（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设直线6(R)与直线l交于点M，与曲线C交于P，Q两点，已知OMOPOQ）10，求t的值。【答案】（1）24cos5=0；（2）13或3+1.【解析