上海市控江中学2017届高三上学期开学摸底考试数学试题（解析版）

控江中学高三开学摸底考数学卷一填空题1.已知复数(是虚数单位)对应的点在二四象限的角平分线上,则实数_.【答案】-3【解析】【分析】根据复数的性质得到，计算得到答案.【详解】复数(是虚数单位)对应的点在二四象限的角平分线上则故答案为：【点睛】本题考查了复数的性质，属于简单题.2.已知集合,则图中阴影部分表示的集合是_.【答案】【解析】【分析】计算得到，阴影部分表示的集合为，计算得到答案.【详解】，图中阴影部分表示的集合为 故答案为：【点睛】本题考查了集合的运算，韦恩图，意在考查学生对于集合知识的综合应用能力.3.函数的最小正周期是，则实数_【答案】【解析】【分析】由二倍角公式化简函数得，代入周期计算公式即可求得.【详解】，周期，解得.故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式，正弦函数周期计算公式，属于基础题.4.直线与直线，若的方向向量是的法向量，则实数 【答案】【解析】试题分析：由题意得：，即考点：两直线垂直【名师点睛】在研究直线平行与垂直的位置关系时，如果所给直线方程含有字母系数时，要注意利用两直线平行与垂直的充要条件：(1)l1l2A1B2A2B10且A1C2A2C10(或B1C2B2C10)；(2)l1l2A1A2B1B20，这样可以避免对字母系数进行分类讨论，防止漏解与增根（3与平行的直线可设为，与垂直的直线可设为5.函数的反函数是，则方程的解是_【答案】【解析】【分析】首先求出，再根据原函数与反函数图像关于直线对称可知.【详解】因为，所以点在的图像上，即.故答案为：【点睛】本题考查两个互为反函数的图像的对称性，同角三角函数的平方关系，属于基础题.6.二项式的展开式中，含的项的系数是_.【答案】【解析】【详解】利用二项展开式通项公式可得，令，可得，代入可得所求系数为7.已知圆锥的底面半径为3，体积是，则圆锥侧面积等于_.【答案】【解析】试题分析：求圆锥侧面积必须先求圆锥母线，既然已知体积，那么可先求出圆锥的高，再利用圆锥的性质(圆锥的高，底面半径，母线组成直角三角形)可得母线，考点：圆锥的体积与面积公式，圆锥的性质8.某小组有10人，其中血型为A型有3人，B型4人，AB型3人，现任选2人，则此2人是同一血型概率为 .（结论用数值表示）【答案】【解析】试题分析：这属于古典概型，从10人中任选2人共有种选法，而2人为同一血型的选法数为，因此所求概率为考点：古典概型9.双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】把双曲线的方程化为标准方程，根据标准方程求出虚轴长和实轴长，再利用虚轴长是实轴长的2倍求出.【详解】双曲线的标准方程为，虚轴长是 ，实轴长是2由题可知解得【点睛】本题考查双曲线的标准方程，解题的关键是将方程化为标准形式，并注意焦点位置10.在平面坐标系中,动点和点满足,则动点的轨迹方程为_.【答案】【解析】【分析】根据，代入化简得到答案.【详解】，则即，化简得到故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力.11.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|xy|的值为_【答案】4【解析】【分析】利用平均数、方差概念列出关于的方程组，解方程即可得到答案【详解】由题意可得：，设，则，解得，故答案为4【点睛】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，属于基础题【此处有视频，请去附件查看】12.函数，若2恒成立的充分条件是，则实数的取值范围是_【答案】14【解析】【分析】根据充分条件定义将条件转化为不等式恒成立，然后利用二次函数的性质求最值即可【详解】|f（x）a|2恒成立的充分条件是1x2，当1x2时，|f（x）a|2恒成立，即2f（x）a2，a2f（x）2+a恒成立，1x2，2f（x）3，要使a2f（x）2+a恒成立，则，即，1a4，故答案为1a4【点睛】（1）本题主要考查充分条件，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是转化为a2f（x）2+a恒成立.13.一个五位数满足,且,(如3720145412),则称这个五位数符合“正弦规律”,那么,共有_个五位数符合“正弦规律”.【答案】2892【解析】分析】将情况分为五个数中没有数相同；五个数中有两个数相同；五个数中有三个数相同三种情况，分别计算得到答案.【详解】根据意义知，五位数中，最大，最小.当五个数中没有数相同时：选五个数，最大数赋值给，最小数赋值给，剩余三个全排列，共有个；当五个数中有两个数相同时：选四个数，最大数赋值给，最小数赋值给，剩余两个数赋值给，共有个；当五个数中有三个数相同时：选三个数，最大数赋值给，最小数赋值给，剩余的一个数赋值给，共有个；故共有故答案为：【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，分类讨论是解题的关键.14.关于函数，给出以下四个命题，其中真命题的序号是_.时，单调递减且没有最值；方程一定有解；如果方程有解，则解的个数一定是偶数；是偶函数且有最小值.【答案】【解析】【分析】将函数表示为分段函数，结合分式型函数的单调性进行判断；由函数是偶函数，在且时，判定函数与函数在时有唯一交点，同理得出，当且时，函数与函数在时有交点，从而可得方程有解；求方程的解，即可判断出命题的正误；利用偶函数的定义判定函数为偶函数，再利用绝对值的性质得出且，即可判断出命题的正误.【详解】对于命题，当时，.当时，则函数在上单调递增，此时，当时，当时，则函数在上单调递减，所以，当时，函数不单调且没有最值，命题错误；对于命题，当时，当时，当时，构造函数，则函数在上单调递增，当时，当时，所以，函数在上有且只有一个零点，即当时，方程在上有解.函数的定义域为，关于原点对称，则函数为偶函数，同理可知，当时，方程在上有解.所以，命题正确；对于命题，当时，令，解得，则命题错误；对于命题，由可知，函数是偶函数，由绝对值的性质可知且，则函数为偶函数且最小值为，命题正确.因此，正确命题的序号为.故答案为.【点睛】本题考查与函数基本性质相关的命题真假的判断，涉及单调性、奇偶性、零点的存在性以及最值问题，考查分析问题与解决问题的能力，属于难题.二选择题15.设，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质中有条件“均为正数”，否则不等式不一定成立，如本题中当都是负数时，都不成立，当然只能选D，事实上由于函数是增函数，故是正确的考点：不等式的性质16.为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）A. 向右平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍；B. 向左平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍；C. 向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的倍；D. 向左平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的倍【答案】B【解析】【分析】根据函数yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论【详解】把函数y2sinx，xR的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得函数y2sin（x）的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），可得函数y2sin（），xR的图象，故选：B【点睛】本题主要考查函数yAsin（x+）图象变换规律，属于中档题17.已知函数,则的值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算得到，代入化简得到答案.【详解】，则 故选：【点睛】本题考查了函数值的计算，确定是解题的关键.18.已知集合,若对于任意,存在,使得成立,则称集合是“垂直对点集”,给出下列四个集合:;其中是“垂直对点集”的序号是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】依次判断每个选项：，无解不是；根据图像知满足；取则不存在使等式成立，不是，得到答案.【详解】，则，无解，不是；，根据图像知：对于任意，与函数相交，验证时也满足，故满足条件；，则，取则不存在使等式成立，不是；，根据图像知：对于任意，与函数相交，验证时也满足，故满足条件；故选： 【点睛】本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的理解能力和应用能力.三解答题19.如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,平面,与平面所成角的大小为,为的中点,求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数表示)【答案】.【解析】【分析】如图所示，连接交于点，连接，计算得到，利用余弦定理计算得到答案.【详解】如图所示：连接交于点，连接，易知为，中点.底面是边长为2的菱形,，则， 平面，则为与平面所成角， 为的中点，为中点，故，为异面直线与所成角在中， 利用余弦定理：故异面直线与所成角的大小为【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20.已知是椭圆上一动点.(1)记点,求的取值范围;(2)记点,当且仅当为椭圆右顶点时最小,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）计算得到，根据二次函数单调性得到答案.（2）计算得到，根据题意得到，解不等式到答案.【详解】（1）是椭圆上一动点当时，有最小值为；当时，有最大值为故（2）当且仅当为椭圆右顶点时最小，故即【点睛】本题考查了椭圆相关长度的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.21.如图，设是单位圆上一点，一个动点从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.秒时，动点到达点，秒时动点到达点.设，其纵坐标满足.（1）求点的坐标，并求；（2）若，求的取值范围.【答案】(1) 点B的坐标是，；(2)【解析】【详解】试题分析：(1)这是一个三角函数问题，要求点坐标，我们只要求出，首先求出从到旋转的角度是多少即可，在中是初始值，就是，旋转速度是，故有；（2）在（1）的解题过程中知秒时点的坐标为，因此我们可把表示为的函数，转化为求三角函数的取值范围问题试题解析：(1)当时，所以所以，点B的坐标是（0，1） 又秒时，. （2）由，得，又， ，所以，的取值范围是考点：（1）单位圆的点的坐标；（2）现是的数量积与三角函数的取值范围22.已知函数f(x)x2(x1)|xa|.(1)若a1，解方程f(x)1；(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；(3)是否存在实数a，使不等式f(x)2x3对任意xR恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】（1）x|x1或x1；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）把代入函数解析式，分段后分段求解方程的解集，取并集后得答案；（2）分段写出函数的解析式，由在上单调递增，则需第一段二次函数的对称轴小于等于，第二段一次函数的一次项系数大于0，且第二段函数的最大值小于等于第一段函数的最小值，联立不等式组后求解的取值范围；（3）把不等式对一切实数恒成立转化为函数对一切实数恒成立，然后对进行分类讨论，利用函数单调性求得的范围，取并集后得答案.试题解析：(1)当时，则；当时，由，得，解得或；当时，恒成立，方程的解集为或(2)由题意知，若在R上单调递增，则解得，实数的取值范围为.(3)设，则，不等式对任意恒成立，等价于不等式对任意恒成立若，则，即，取，此时，即对任意，总能找到，使得，不存在，使得恒成立若，则，的值域为，恒成立若，当时，单调递减，其值域为，由于，所以恒成立，当时，由，知，在处取得最小值，令，得，又，综上，23.设是数列的前项和，对任意都有成立（其中是常数）.（1）当时，求：（2）当时，若，求数列的通项公式：设数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“数列”，如果，试问：是否存在数列为“数列”，使得对任意，都有，且，若存在，求数列的首项的所有取值构成的集合；若不存在说明理由.【答案】（1）（2）存在，首项所有取值构成的集合为【解析】【分析】（1）当时，得到，进而得到，两式作差，得到数列为等比数列，即可求解（2）时，进而得到，两式作差，得到数列为等差数列，即可求解确定数列的通项，利用是“数列”，得到是偶数，从而可得，再利用条件，验证，即可求解数列的首项的所有取值【详解】（1）由题意，当时，得到，用代替，可得，两式相减，可得，即，即，令，可得，解答，所以数列是以1为首项，公比为3的等比数列，所以（2）当时，用代替，可得，两式相减可得，用代替，可