同济第六版《高等数学》教案word版第02章 导数与微分

同济第六版高等数学教案word版第02章 导数与微分 第二章导数与微分教学目的 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 4、会求分段函数的导数。 5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 2.1导数概念 一、引例1直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动,时刻t质点的坐标为s,s是t的函数:s=f(t),求动点在时刻t0的速度.考虑比值0000)()(t ttf tft tss?=?,这个比值可认为是动点在时间间隔t?t0内的平均速度.如果时间间隔选较短,这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度.但这样做是不精确的,更确地应当这样:令t?t00,取比值00)()(t ttf tf?的极限,如果这个极限存在,设为v,即00)()(lim0t ttf tfvt t?=,这时就把这个极限值v称为动点在时刻t0的速度.2切线问题设有曲线C及C上的一点M,在点M外另取C上一点N,作割线MN.当点N沿曲线C趋于点M时,如果割线绕点旋转而趋于极限位置MT,直线就称为曲线有点处的切线.设曲线C就是函数y=f(x)的图形.现在要确定曲线在点M(x0,y0)(y0=f(x0)处的切线,只要定出切线的斜率就行了.为此,在点M外另取C上一点N(x,y),于是割线MN的斜率为0000)()(tanx xx f x fx xy y?=?=?,其中?为割线MN的倾角.当点N沿曲线C趋于点M时,xx0.如果当x0时,上式的极限存在,设为k,即00)()(lim0x xx f x fkx x?=存在,则此极限k是割线斜率的极限,也就是切线的斜率.这里k=tan,其中是切线MT的倾角.于是,通过点M(x0,f(x0)且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线. 二、导数的定义1.函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出,非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:00)()(lim0x xx f x fx x?.令x=x?x0,则y=f(x0+x)?f(x0)=f(x)?f(x0),xx0相当于x0,于是00)()(lim0x xx f x fx x?成为xyx0lim或xx f x x fx?+)()(lim000.定义设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处取得增量x(点x0+x仍在该邻域内)时,相应地函数y取得增量y=f(x0+x)?f(x0);如果y与x之比当x0时的极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数,记为0|x xy=,即xx f x x fxyx fx x?+=)()(lim lim)(00000,也可记为0|x xy=,0x x dxdy=或0)(x x dxx df=.函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点x0具有导数或导数存在.导数的定义式也可取不同的形式,常见的有hx fh xfx fh)()(lim)(0000?+=,000)()(lim)(0x xxf xfx fx x?=.在实际中,需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题,在数学上就是所谓函数的变化率问题.导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.如果极限xxf x xfx?+)()(lim000不存在,就说函数y=f(x)在点x0处不可导.如果不可导的原因是由于=?+xxf x xfx)()(lim000,也往往说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大.如果函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导,就称函数f(x)在开区间I内可导,这时,对于任一xI,都对应着f(x)的一个确定的导数值.这样就构成了一个新的函数,这个函数叫做原来函数y=f(x)的导函数,记作y,)(xf,dxdy,或dxx df)(.导函数的定义式:xxf x xfyx?+=)()(lim0=hx fh xfh)()(lim0?+.f(x0)与f(x)之间的关系:函数f(x)在点x0处的导数f(x)就是导函数f(x)在点x=x0处的函数值,即0)()(0x xxfxf=.导函数f(x)简称导数,而f(x0)是f(x)在x0处的导数或导数f(x)在x0处的值.左右导数:所列极限存在,则定义f(x)在0x的左导数:hx fh xfx fh)()(lim)(0000?+=?;f(x)在0x的右导数:hx fh xfx fh)()(lim)(0000?+=+.如果极限hx fh xfh)()(lim000?+?存在,则称此极限值为函数在x0的左导数.如果极限hx fh xfh)()(lim000?+存在,则称此极限值为函数在x0的右导数.导数与左右导数的关系:A xf=)(0?A xfxf=+?)()(00.2求导数举例例1求函数f(x)=C（C为常数）的导数.解:hx fh xfx fh)()(lim)(0?+=0lim0=?=hC Ch.即(C)=0.例2.求xxf1)(=的导数.解:hx h xhx fh xfx fhh11lim)()(lim)(00?+=?+=xx)(1lim)(limx x h x x h x hhhh?=+?=+?=.例3.求x xf=)(的导数.解:hx h xhx fh xfx fhh?+=?+=00lim)()(lim)(x xh x xh x hhhh211lim)(lim00=+=+=.例2求函数f(x)=x n(n为正整数)在x=a处的导数.解:f(a)a xafxfa x?=)()(lima xa xn na x?=lima x=lim(x n?1+ax n?2+?+a n?1)=na n?1.把以上结果中的a换成x得f(x)=nx n?1,即(x n)=nx n?1.(C)=0,21)1(x x?=,xx21)(=,1)(?=x x.更一般地,有(x)=x?1,其中为常数.例3求函数f(x)=sin x的导数.解:f(x)hx fh xfh)()(lim0?+=hx h xhsin)sin(lim0?+=2sin)2cos(21lim0h hxhh+?=xhhhxhcos22sin)2cos(lim0=?+=.即(sin x)=cos x.用类似的方法,可求得(cos x)=?sin x.例4求函数f(x)=a x(a0,a1)的导数.解:f(x)hx fh xfh)()(lim0?+=ha axh xh?=+0lim haahhx1lim0?=t ah=?1令)1(loglim0ttaatx+a aeaxaxlnlog1=.特别地有(e x)=e x.例5求函数f(x)=log a x(a0,a1)的导数.解:hx h xhx fh xfx fa ah hlog)(loglim)()(lim)(00?+=?+=hxahahah xhx xhhxx xh xh)1(log lim1)1(log lim1)(log1lim000+=+=+=a xexaln1log1=.解:hx h xx fa ahlog)(loglim)(0?+=)1(log1lim0xhhah+=hxah xhx)1(log lim10+=a xexaln1log1=.即a xxaln1)(log=.:特殊地xx1)(ln=.a xxaln1)(log=,xx1)(ln=.3单侧导数:极限hx fh xfh)()(lim0?+存在的充分必要条件是hx fh xfh)()(lim0?+?及hx fh xfh)()(lim0?+都存在且相等.f(x)在0x处的左导数:hx fh xfx fh)()(lim)(00?+=?,f(x)在0x处的右导数:hx fh xfx fh)()(lim)(00?+=+.导数与左右导数的关系:函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数左导数f?(x0)和右导数f+(x0)都存在且相等.如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导,且右导数f+(a)和左导数f?(b)都存在,就说f(x)有闭区间a,b上可导.例6求函数f(x)=|x|在x=0处的导数.解:1|lim)0()0(lim)0(00?=?+=?hhhf hffh h,1|lim)0()0(lim)0(00=?+=+hhhf hffh h,因为f? (0)f+ (0),所以函数f(x)=|x|在x=0处不可导. 四、导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0)处的切线的斜率,即f(x0)=tan,其中是切线的倾角.如果y=f(x)在点x0处的导数为无穷大,这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置,即曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0)处具有垂直于x轴的切线x=x0.:由直线的点斜式方程,可知曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线方程为y?y0=f(x0)(x?x0).过切点M(x0,y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M处的法线如果f(x0)0,法线的斜率为)(10xf?,从而法线方程为)()(1000x xxfy y?=?.例8.求等边双曲线xy1=在点)2,21(处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.解:21xy?=,所求切线及法线的斜率分别为4)1(2121?=?=xxk,41112=?=kk.所求切线方程为)21(42?=?x y,即4x+y?4=0.所求法线方程为)21(412?=?x y,即2x?8y+15=0.例9求曲线x x y=的通过点(0,?4)的切线方程.解设切点的横坐标为x0,则切线的斜率为0212302323)()(0x x x xfx x=.于是所求切线的方程可设为)(230000x x x x x y?=?.根据题目要求,点(0,?4)在切线上,因此)0(2340000x x x x?=?,解之得x0=4.于是所求切线的方程为)4(42344?=?x y,即3x?y?4=0. 四、函数的可导性与连续性的关系设函数y=f(x)在点x0处可导,即)(lim00x fxyx=存在.则00)(lim lim lim lim00000=?=?=?=xfxxyxxyyx x x x.这就是说,函数y=f(x)在点x0处是连续的.所以,如果函数y=f(x)在点x处可导,则函数在该点必连续.另一方面,一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.例7函数3)(x xf=在区间(?,+)内连续,但在点x=0处不可导.这是因为函数在点x=0处导数为无穷大hf hfh)0()0(lim0?+=?=hhh0lim30.2.2函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则理定理1如果函数u=u(x)及v=v(x)在点x具有导数,那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数,并且u(x)v(x)=u(x)v(x);u(x)?v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x);)()()()()()()(2x vx v x u x v x ux vx u?=?.x证明 (1)hx v x u h x v h x ux v x uh)()()()(lim)()(0?+=?+?+=hx v h x vhx u h x uh)()()()(lim0=u(x)v(x).法则 (1)可简单地表示为(uv)=uv. (2)hx v x uh x v h x ux v x uh)()()()(lim)()(0?+=?)()()()()()()()(1lim0x v xuh xv xuh xvxuh xv h x uh h?+?+=?+?+=hx v hx vx uhx vhx uhxuh)()()()()()(lim0hx v hx vx uhxvhx uhxuh hh)()(lim)()(lim)()(lim000?+?+?+=u(x)v(x)+u(x)v(x),其中0limhv(x+h)=v(x)是由于v(x)存在,故v(x)在点x连续.法则 (2)可简单地表示为(uv)=uv+uv. (3)hxvhxvh xvxu xvhxuhx vx uh xvhxux vxuhh)()()()()()(lim)()()()(lim)()(00+?+=?+=?hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0+?+?+=)()()()()()()()(lim0xvhxvhx vhxvxuxvhxuhxuh+?+?+=)()()()()(2xvxvxuxvxu?=.法则 (3)可简单地表示为2)(vv u v uvu?=.(uv)=uv,(uv)=uv+uv,2)(vv u v uvu?=.定理1中的法则 (1)、 (2)可推广到任意有限个可导函数的情形.例如,设u=u(x)、v=v(x)、w=w(x)均可导,则有(u+v?w)=u+v?w.(uvw)=(uv)w=(uv)w+(uv)w=(uv+uv)w+uvw=uvw+uvw+uvw.即(uvw)=uvw+uvw+uvw.在法则 (2)中,如果v=C(C为常数),则有(Cu)=Cu.例1y=2x3?5x2+3x?7,求y解:y=(2x3?5x2+3x?7)=(2x3)?(5x2)+(3x)? (7)=2(x3)?5(x2)+3(x)=2?3x2?5?2x+3=6x2?10x+3.例2.2sin cos4)(3?+=x x xf,求f(x)及)2(f.解解:x x x x xfsin43)2(sin)cos4()()(23?=?+=,443)2(2?=f.例3y=e x(sin x+cos x),求y.解:y=(e x)(sin x+cos x)+e x(sin x+cos x)=e x(sin x+cos x)+e x(cos x?sin x)=2e xcos x.例4y=tan x,求y.解解:xx x x xxxx y2cos)(cos sin cos)(sin)cossin()(tan?=xx xx x22222seos1cossin cos=+=.即(tan x)=sec2x.例5y=sec x,求y.解:xx xxx y2cos)(cos1cos)1()cos1()(sec?=xx2cossin=sec xtan x.即(sec x)=sec xtan x.用类似方法,还可求得余切函数及余割函数的导数公式:(cot x)=?csc2x,(csc x)=?csc xcot x. 二、反函数的求导法则定理2如果函数x=f(y)在某区间I y内单调、可导且f(y)0,那么它的反函数y=f?1(x)在对应区间I x=x|x=f(y),yI y内也可导,并且)(1)(1y fxf=?.或dydx dxdy1=.简要证明:由于x=f(y)在I y内单调、可导(从而连续),所以x=f(y)的反函数y=f?1(x)存在,且f?1(x)在I x内也单调、连续.任取xI x,给x以增量x(x0,x+xI x),由y=f?1(x)的单调性可知y=f?1(x+x)?f?1(x)0,于是yx xy=1.因为y=f?1(x)连续,故0lim0=yx从而)(11lim lim)(001y fyx xyx fy x=?.上述结论可简单地说成:反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例6设x=sin y,2,2?y为直接函数,则y=arcsin x是它的反函数.函数x=sin y在开区间)2,2(?内单调、可导,且(sin y)=cos y0.因此,由反函数的求导法则,在对应区间I x=(?1,1)内有2211sin11cos1)(sin1)(arcsinx yy yx?=?=.类似地有:211)(arosxx?=.例7设x=tan y,)2,2(?y为直接函数,则y=arctan x是它的反函数.函数x=tan y在区间)2,2(?内单调、可导,且(tan y)=sec2y0.因此,由反函数的求导法则,在对应区间I x=(?,+)内有22211tan11sec1)(tan1)(arctanx yy yx+=+=.类似地有:211)cot arc(xx+?=.例8设x=a y(a0,a1)为直接函数,则y=log a x是它的反函数.函数x=a y在区间I y=(?,+)内单调、可导,且(a y)=a yln a0.因此,由反函数的求导法则,在对应区间I x=(0,+)内有axaaaxy yaln1ln1) (1)(log=.到目前为止,所基本初等函数的导数我们都求出来了,那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x、3xe、的导数怎样求？ 三、复合函数的求导法则理定理3如果u=g(x)在点x可导,函数y=f(u)在点u=g(x)可导,则复合函数y=fg(x)在点x可导,且其导数为)()(x gu fdxdy?=或dxdududydxdy?=.证明:当u=g(x)在x的某邻域内为常数时,y=f?(x)也是常数,此时导数为零,结论自然成立.当u=g(x)在x的某邻域内不等于常数时,u0,此时有xx gx x gx gx x gx gfx x gfxx gfx xgfxy?+?+?+=?+=)()()()()()()()(xx gx xguu fu uf?+?+=)()()()(,xx gx xguu fu ufxydxdyx ux?+?+=)()(lim)()(lim lim000=f(u)?g(x).简要证明:xuuyxydxdyx x?=00lim lim)()(lim lim00xgu fxuuyxu=?=.例93xe y=,求dxdy.解函数3xe y=可看作是由y=e u,u=x3复合而成的,因此32233x ue x x edxdududydxdy=?=?=.例10212sinxxy+=,求dxdy.解函数212sinxxy+=是由y=sin u,212xxu+=复合而成的,因此2222222212cos)1()1 (2)1()2()1(2cosxxxxxx xudxdududydxdy+?+?=+?+?=?=.对复合函数的导数比较熟练后,就不必再写出中间变量,例11lnsin x,求dxdy.解:)(sinsin1)sin(ln?=xxxdxdyx xxcotcossin1=?=.例123221x y?=,求dxdy.解:)21()21(31)21(2322312?=?=?xxxdxdy322)21(34xx?=.复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形.例如,设y=f(u),u=?(v),v=(x),则dxdvdvdududydxdududydxdy?=?=.例13y=lncos(e x),求dxdy.解:)cos()cos(1)cos(ln?=xxxeeedxdy)tan()()sin()cos(1xxx xxe e eee?=?=.例14xe y1sin=,求dxdy.解:)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin?=?=x xexe edxdyx xx xexx1cos11sin2?=.例15设x0,证明幂函数的导数公式(x)=x?1.解因为x=(e ln x)=eln x,所以(x)=(eln x)=eln x?(ln x)=eln x?x?1=x?1. 四、基本求导法则与导数公式1基本初等函数的导数: (1)(C)=0, (2)(x)=x?1, (3)(sin x)=cos x, (4)(cos x)=?sin x, (5)(tan x)=sec2x, (6)(cot x)=?csc2x, (7)(sec x)=sec x?tan x, (8)(csc x)=?csc x?cot x, (9)(ax)=axln a, (10)(e x)=e x, (11)a xxaln1)(log=, (12)xx1)(ln=, (13)211)(arcsinxx?=, (14)211)(arosxx?=. (15)211)(arctanxx+=, (16)211)cot arc(xx+?=.2函数的和、差、积、商的求导法则设u=u(x),v=v(x)都可导,则 (1)(uv)=uv, (2)(C u)=C u, (3)(uv)=u?v+u?v, (4)2)(vv uv uvu?=.3反函数的求导法则设x=f(y)在区间I y内单调、可导且f(y)0,则它的反函数y=f?1(x)在I x=f(I y)内也可导,并且)(1)(1y fxf=?.或dydx dxdy1=.4复合函数的求导法则设y=f(x),而u=g(x)且f(u)及g(x)都可导,则复合函数y=fg(x)的导数为dxdududydxdy?=或y(x)=f(u)?g(x).例例16.求双曲正弦sh x的导数.解:因为)(21sh xxee x?=,所以x eeee xx xxxch) (21) (21)sh(=+=?=?,即(sh x)=ch x.类似地,有(ch x)=sh x.例例17.求双曲正切th x的导数.解:因为xxxch shth=,所以xx xx222chsh ch)(th?=x2ch1=.例例18.求反双曲正弦arsh x的导数.解:因为)1ln(arsh2xxx+=,所以22211)11 (11)arsh(x xxx xx+=+?+=.由)1ln(arch2?+=xxx,可得11)arch(2?=xx.由xxx?+=11ln21arth,可得211)arth(xx?=.类似地可得11)arch(2?=xx,211)arth(xx?=.例例19y=sin nx?sin n x(n为常数),求y.解:y=(sin nx)sin n x+sin nx?(sin nx)=n cosnx?sin nx+sin nx?n?sin n?1x?(sin x)=ncosnx?sin nx+n sinn?1x?cos x=n sinn?1x?sin(n+1)x.2.3高阶导数一般地,函数y=f(x)的导数y=f(x)仍然是x的函数.我们把y=f(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数,记作y、f(x)或22dxy d,即y=(y),f(x)=f(x),)(22dxdydxddxy d=.相应地,把y=f(x)的导数f(x)叫做函数y=f(x)的一阶导数.类似地,二阶导数的导数,叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数,?,一般地,(n?1)阶导数的导数叫做n阶导数,分别记作y,y (4),?,y(n)或33dxy d,44dxy d,?,nndxy d.函数f(x)具有n阶导数,也常说成函数f(x)为n阶可导.如果函数f(x)在点x处具有n阶导数,那么函数f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数.二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.y称为一阶导数,y,y,y (4),?,y(n)都称为高阶导数.例1y=ax+b,求y.解:y=a,y=0.例2s=sint,求s.解:s=cost,s=?2sint.例3证明:函数22xx y?=满足关系式y3y+1=0.证明:因为22212222x xxx xxy?=?=,22222222)1(2x xx xxxxxy?=)2()2()1(22222xxx xxxx?+?=32321)2(1yx x?=?=,所以y3y+1=0.例4求函数y=e x的n阶导数.解;y=e x,y=e x,y=e x,y (4)=e x,一般地,可得y(n)=e x,即(e x)(n)=e x.例5求正弦函数与余弦函数的n阶导数.解:y=sin x,)2sin(cos+=xx y,)22sin()22sin()2cos(?+=+=+=xxx y,)23sin()222sin()22cos(?+=+?+=?+=xxxy,)24sin()23cos()4(?+=?+=xxy,一般地,可得)2sin()(?+=nxyn,即)2sin()(sin)(?+=nxxn.用类似方法,可得)2cos()(cos)(?+=nxxn.例6求对函数ln(1+x)的n阶导数解解:y=ln(1+x),y=(1+x)?1,y=?(1+x)?2,y=(?1)(?2)(1+x)?3,y (4)=(?1)(?2)(?3)(1+x)?4,一般地,可得y(n)=(?1)(?2)?(?n+1)(1+x)?nnnxn)1()!1()1(1+?=?,即nn nxnx)1()!1()1()1ln (1)(+?=+?.例6求幂函数y=x(是任意常数)的n阶导数公式.解:y=x?1,y=(?1)x?2,y=(?1)(?2)x?3,y (4)=(?1)(?2)(?3)x?4,一般地,可得y(n)=(?1)(?2)?(?n+1)x?n,即(x)(n)=(?1)(?2)?(?n+1)x?n.当=n时,得到(x n)(n)=(?1)(?2)?3?2?1=n!.而(x n)(n+1)=0.如果函数u=u(x)及v=v(x)都在点x处具有n阶导数,那么显然函数u(x)v(x)也在点x处具有n阶导数,且(uv)(n)=u(n)+v(n).(uv)=uv+uv(uv)=uv+2uv+uv,(uv)=uv+3uv+3uv+uv,用数学归纳法可以证明?=?=nkk kn knnvu Cuv0)()()()(,这一公式称为莱布尼茨公式.例8y=x2e2x,求y (20).解:设u=e2x,v=x2,则(u)(k)=2k e2x(k=1,2,?,20),v=2x,v=2,(v)(k)=0(k=3,4,?,20),代入莱布尼茨公式,得y (20)=(uv) (20)=u (20)?v+C201u (19)?v+C202u (18)?v=220e2x?x2+20?219e2x?2x!21920?+218e2x?2=220e2x(x2+20x+95).2.4隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率 一、隐函数的导数显函数:形如y=f(x)的函数称为显函数.例如y=sin x,y=ln x+e x.隐函数:由方程F(x,y)=0所确定的函数称为隐函数.例如,方程x+y3?1=0确定的隐函数为y31xy?=.如果在方程F(x,y)=0中,当x取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的y值存在,那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数.把一个隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化.隐函数的显化有时是有困难的,甚至是不可能的.但在实际问题中,有时需要计算隐函数的导数,因此,我们希望有一种方法,不管隐函数能否显化,都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.例例1求由方程e y+xy?e=0所确定的隐函数y的导数.解:把方程两边的每一项对x求导数得(e y)+(xy)?(e)= (0),即e y?y+y+xy=0,从而ye xyy+?=(x+e y0).例例2求由方程y5+2y?x?3x7=0所确定的隐函数y=f(x)在x=0处的导数y|x=0.解:把方程两边分别对x求导数得5y?y+2y?1?21x6=0,由此得2521146+=yxy.因为当x=0时,从原方程得y=0,所以21|25211|0460=+=x xyxy.例例3.求椭圆191622=+y x在)323,2(处的切线方程.解:把椭圆方程的两边分别对x求导,得0928=?+y yx.从而yxy169?=.当x=2时,323=y,代入上式得所求切线的斜率43|2?=xy k.所求的切线方程为)2(43323?=?xy,即03843=?+y x.解:把椭圆方程的两边分别对x求导,得0928=?+yyx.将x=2,323=y,代入上式得03141=?+y,于是k=y|x=243?=.所求的切线方程为)2(43323?=?xy,即03843=?+y x.例例4求由方程0sin21=+?yyx所确定的隐函数y的二阶导数.解:方程两边对x求导,得0cos211=?+?dxdyydxdy,于是y dxdycos22?=.上式两边再对x求导,得3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxy d?=?=.对数求导法:这种方法是先在y=f(x)的两边取对数,然后再求出y的导数.设y=f(x),两边取对数,得ln y=ln f(x),两边对x求导,得)(ln1=xfyy,y=f(x)?ln f(x).对数求导法适用于求幂指函数y=u(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数.例5求y=x sin x(x0)的导数.解法一:两边取对数,得ln y=sin x?ln x,上式两边对x求导,得xxxx yy1sin lncos1?+?=,于是)1sin ln(cosxx xxyy?+?=)sinln(cossinxxx x xx+?=.解法二:这种幂指函数的导数也可按下面的方法求:y=x sin x=e sin xln x,)sinln(cos)ln(sinsin lnsinxxx xxxxeyxxx+?=?=?.例例6.求函数)4)(3()2)(1(?=xxxxy的导数.解:先在两边取对数(假定x4),得ln y21=ln(x?1)+ln(x?2)?ln(x?3)?ln(x?4),上式两边对x求导,得)41312111(211?+?=xxx xyy,于是)41312111(2?+?=xxx xyy.当x1时,)4)(3()2)(1(xxxxy?=;当24,x1,2 二、由参数方程所确定的函数的导数设y与x的函数关系是由参数方程?=)()(t yt x?确定的.则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.在实际问题中,需要计算由参数方程所确定的函数的导数.但从参数方程中消去参数t有时会有困难.因此,我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数.设x=?(t)具有单调连续反函数t=?1(x),且此反函数能与函数y=(t)构成复合函数y=?1(x),若x=?(t)和y=(t)都可导,则)()(1ttdtdx dtdydxdtdtdydxdy?=?=?=,即)()(ttdxdy?=或dtdxdtdydxdy=.若x=?(t)和y=(t)都可导,则)()(ttdxdy?=.例例7.求椭圆?=t byt axsincos在相应于4=t点处的切线方程.解:tabt atbt atbdxdycotsincos)cos()sin(?=?=.所求切线的斜率为abdxdyt?=4.切点的坐标为224cos0aax=,224sin0b by=.切线方程为)22(22a xabby?=?,即bx+ay2?ab=0.例例8抛射体运动轨迹的参数方程为?=22121gt tv ytvx,求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向.y=v2t?g t2解:先求速度的大小.速度的水平分量与铅直分量分别为x(t)=v1,y(t)=v2?gt,所以抛射体在时刻t的运动速度的大小为22)()(t ytxv+=2221)(gt vv?+=.再求速度的方向,设是切线的倾角,则轨道的切线方向为12)()(tanvgt vt xt ydxdy?=.已知x=?(t),y=(t),如何求二阶导数y?由x=?(t),)()(ttdxdy?=,dxdtttdtddxdydxddxy d)()()(22?=) (1)()()()()(2t tt t tt?=)()()()()(3tt ttt?=.例例9计算由摆线的参数方程?=?=)cos1()sin(t ayt t ax所确定的函数y=f(x)的二阶导数.解:)()(txtydxdy=)cos1(sin)sin()cos1(t at at t ata?=?=2cotcos1sin ttt=?=(t2n,n为整数).dxdt tdtddxdydxddxyd?=)2(cot) (2222)cos1 (1)cos1(12sin21tatat?=?=(t2n,n为整数). 三、相关变化率设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数,而变量x与y间存在某种关系,从而变化率dtdx与dtdy间也存在一定关系.这两个相互依赖的变化率称为相关变化率.相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系,以便从其中一个变化率求出另一个变化率.例10一气球从离开观察员500f处离地面铅直上升,其速度为140m/min(分).当气球高度为500m时,观察员视线的仰角增加率是多少？解设气球上升t(秒)后,其高度为h,观察员视线的仰角为,则500tanh=.其中及h都是时间t的函数.上式两边对t求导,得dtdhdtd?=?5001sec2.已知140=dtdh(米/秒).又当h=500(米)时,tan=1,sec2=2.代入上式得14050012?=dtd,所以14.050070=dtd(弧度/秒).即观察员视线的仰角增加率是每秒0.14弧度.2.5函数的微分 一、微分的定义引例函数增量的计算及增量的构成.一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由x0变到x0+x,问此薄片的面积改变了多少？设此正方形的边长为x,面积为A,则A是x的函数:A=x2.金属薄片的面积改变量为A=(x0+x)2?(x0)2=2x0x+(x)2.几何意义:2x0x表示两个长为x0宽为x的长方形面积;(x)2表示边长为x的正方形的面积.数学意义:当x0时,(x)2是比x高阶的无穷小