上海市川沙中学2017届高三上学期开学摸底考数学试题（解析版）

2017届高三第一学期摸底考试数学试卷一、填空题1.不等式的解集是_【答案】【解析】【详解】解：或2.过点且一个方向向量为的直线方程是_.【答案】【解析】【分析】根据方向向量可以求出直线的斜率，再根据点斜式即可求出【详解】依题可知，所以直线方程：，即故答案为：【点睛】本题主要考查方向向量的应用和直线方程的求法，属于基础题3.向量在向量方向上的投影为_ _【答案】3【解析】试题分析：由数量积的定义，所以考点：向量的数量积4.若，则= 【答案】【解析】试题分析：，故答案为.考点：诱导公式；二倍角的余弦.5.设函数，则函数的零点是_.【答案】0或1【解析】【分析】根据零点的定义，解方程即可求出【详解】等价于或，解得或，所以，函数的零点是0或1故答案为：0或1【点睛】本题主要考查函数零点求法，属于基础题6.已知等差数列中，则过点，（为正整数）的直线的倾斜角为_.【答案】【解析】【分析】根据等差数列的性质和斜率公式可求出直线的斜率，即可根据，求出倾斜角【详解】因为等差数列公差，所以直线的斜率，即直线的倾斜角为故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的性质，斜率公式的应用以及根据斜率求直线倾斜角，属于基础题7.若，（为虚数单位），则复数_.【答案】【解析】【分析】根据三阶行列式展开可得，即可求出详解】根据行列式展开可得，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查三阶行列式的展开式的应用，以及复数代数形式的运算法则的应用，属于基础题8.执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=_【答案】4【解析】如果输入，由循环变量初值为1，那么：经过第一次循环得到 满足 ，继续循环，经过第二次循环得到 第三次循环， ，此时不满足，退出循环，此时输出即答案为4.9.把函数的图像向右平移个单位长度，所得到的图像正好关于轴对称，则的最小正值是_.【答案】【解析】【分析】根据题意得平移后的函数解析式，因为其图像关于轴对称，所以代入，得到的表达式，从而得到其最小正值.【详解】将的图像向右平移个单位长度，得的图像.的图像关于轴对称，.当时，取得最小正值.【点睛】本题考查函数的平移变换，根据图像的对称轴求参数的范围，属于中档题.10.已知函数，对于任意的都能找到，使得，则实数的取值范围是 【答案】【解析】【分析】分别求出函数、在上的值域，然后由题意可以求出实数的取值范围.【详解】因为，所以，又因为，所以有，要想对于任意的都能找到，使得成立，则有.【点睛】本题考查了对任意性和存在性的理解，考查了一次函数和二次函数在闭区间上的值域问题，考查了数学运算能力.11.如图所示，已知为双曲线（）的两个焦点，且，若以坐标原点为圆心，为直径的圆与该双曲线的左支相交于两点，且为正三角形，则双曲线的实轴长为_.【答案】【解析】【分析】根据圆和三角形的几何性质可知，所以，再根据双曲线的定义即可求出【详解】依题可知，所以，即双曲线的实轴长为故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用以及圆和三角形的几何性质的应用，属于基础题12.设函数，点表示坐标原点，若向量，是与的夹角，（其中）设，则_.【答案】1【解析】【分析】根据向量加法的多边形法则可以求出，即可求出的坐标，再根据向量夹角的定义和三角函数的定义求出，然后根据裂项相消法求出，最后依据数列极限的计算公式即可求出【详解】依题可得，因为，所以的坐标为 ， 即，故，故答案为：1【点睛】本题主要考查向量加法的多边形法则，向量夹角的定义和三角函数的定义应用，数列极限的运算，以及裂项相消法的应用，意在考查学生综合运用所学知识的能力，属于中档题二、选择题13.设，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【详解】若、皆是实数，则一定不是虚数，因此当是虚数时，则“、中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当、中至少有一个数是虚数，不一定是虚数，如，即充分性不成立，故选B.考点：复数概念，充要关系【此处有视频，请去附件查看】14.数列中，则（ ）A. 0B. 1C. 0或1D. 不存在【答案】B【解析】【分析】根据数列极限的定义以及运算法则，即可求出【详解】故选：B【点睛】本题主要考查数列极限的定义的理解和数列极限的运算，属于基础题15.若直线与曲线有交点，则 ( )A. 有最大值，最小值B. 有最大值，最小值C. 有最大值0，最小值 D. 有最大值0，最小值【答案】C【解析】如图所示，曲线表示以为圆心，为半径的圆（轴上方部分），当直线与曲线相切时，有最大值，最小值故答案选点睛：本题考查直线与圆的位置关系，根据题目条件可知当直线与半圆相切时，直线的斜率最小，再利用点到直线的距离公式就可以求出最小值，当直线过圆心时斜率最大，据此可以求出斜率最大值16.已知直线：与函数的图象交于，两点，记的面积为（为坐标原点），则函数是（ ）A. 奇函数且在上单调递增B. 偶函数且在上单调递增C. 奇函数且在上单调递减D. 偶函数且在上单调递减【答案】B【解析】试题分析：由题意，如下图：设，联立得，则，点到直线的距离，.，为偶函数.当时，易知单调递增.故选B.考点：1.函数奇偶性；2.三角形面积应用.三、解答题17.已知集合，（I）当m=3时，求；（II）若，求实数m的值【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】（I）由分式不等式的解法化简集合，由一元二次不等式的解法化简集合，根据补集的定义求得，利用交集的定义可得结果；（II）由，结合可得是方程的根，从而可得结果.【详解】由，得，（I）当时，则， .（II），有，解得，此时，符合题意，故实数m的值为8.【点睛】本题主要考查一元二次不等式与分式不等式的解法，以及求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意，在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.【此处有视频，请去附件查看】18.已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）函数的最小正周期为，单调递增区间为，（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）先利用两角和与差的正弦公式，二倍角公式，辅助角公式化简，可得，即可根据周期公式求出最小正周期，由即可求出单调递增区间；（2）令，由在上递增，在上递减，即可求出函数在区间上的最大值和最小值【详解】（1）所以，函数的最小正周期为令，解得，所以，函数的单调递增区间为，（2）令，在上递增，在上递减，所以，当即时，当即时，【点睛】本题主要考查三角恒等变换，三角函数的单调区间和最小正周期的求法，以及正弦型函数在闭区间上的最值求法，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题19.如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点（1）求抛物线的焦点F的坐标及准线的方程；（2）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值【答案】（1）（2）8【解析】【详解】试题分析：（1）根据抛物线的标准方程，可求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（2）作ACl，BDl，垂足为C，D，求出|FA|，|FB|，即可得到结论试题解析：（1）解：设抛物线的标准方程为，则，从而因此焦点的坐标为（2，0）又准线方程的一般式为从而所求准线l的方程为（2）解法一：如图（21）图作ACl，BDl，垂足为C、D，则由抛物线的定义知|FA|=|AC|,|FB|=|BD|记A的横坐标别为xx，则|FA|AC|解得，类似地有，解得记直线m与AB的交点为E，则，所以故解法二：设，直线AB的斜率为，则直线方程为将此式代入,得，故记直线m与AB的交点为，则，故直线m的方程为令y=0,得P的横坐标故从而为定值考点：1直线与圆锥曲线关系；2抛物线的标准方程20.已知函数，实数且（1）设，判断函数在上的单调性，并说明理由；（2）若不等式对恒成立，求的范围.【答案】（1）函数在上单调递增，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据反比列函数的单调性，即可判断在上的单调性，由函数的单调性的定义即可证明；（2）依题有，在恒成立，即在恒成立通过分离变量可知，在恒成立，再分别求出在上的最大值，在在上的最小值，解不等式组即可求出的范围【详解】（1）函数的定义域为，因为，所以在和上单调递增，而或，所以函数在上单调递增设，则，因，所以或，即，又，因此，即故函数在上单调递增（2）依题可得，在恒成立，即在恒成立通过分离变量可知，在恒成立设，所以在上单调递减，故设，所以在上单调递增，故因此，解得，且故的范围为【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和证明，以及不等式恒成立问题的接法，涉及绝对值不等式的解法和一元二次不等式的解法应用，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于较难题21.已知数列、满足：.（1）求（2）证明：数列为等差数列，并求数列和的通项公式；（3）设，求实数为何值时恒成立.【答案】（1）；（2），；【解析】【详解】试