例谈测量问题中的数学模型.doc

例谈测量问题中的数学模型初中几何里面所涉及的测量问题比较多，如测量学校旗杆高度、河的宽度等，但因其涉及全等三角形、相似三角形、解直角三角形等内容且又分布在不同的学段（八年级、九年级），如果教师在教学过程中不加以整合，则难免给人以“零散、不具有系统性”之嫌.鉴于此，笔者特将初中阶段出现过的基本类型进行归类整理，建立如下模型.模型一、测量地面上两点之间的距离当两点之间因存在一些障碍，或某一点无法到达，难以直接测量它们之间的距离时，常构造全等三角形进行间接测量. 例1 如图1所示，在湖泊的岸边有A、B两点（A、B两点均可到达），但难以直接测量出A、B两点间的距离.请设计一种测量出A、B两点之间距离的方案.并简要说明你设计的理由.解：测量方案：在岸上取一点C，连接AC，延长AC到点E，使CEAC；连接BC，延长BC到点D，使CDBC.量出DE的长度.理由如下：由于ABC与EDC两边及夹角相等，所以这两个三角形全等，故DEAB. 例2 如图2所示，A、B两点表示我军与敌军阵地所在位置，现我军欲动用炮兵部队进行进攻，但炮手因不知A、B两地之间的距离而发愁.亲爱的同学，假若你是阵地的指战员，你能为炮手提供测量A、B两地之间距离的方案吗？解：测量方案：指战员站在C点，运用测角器测出点B的俯角（设为）.再转身，在保持俯角不变的前提下，选择我后方的某个参照物D.量出AD的长度.理由如下：在ABC与ADC中，DB，DACCAB90，ACAC，所以ABCADC，故ADAB.模型二、测量平面上某点到某直线的距离例3 如图3所示，有一条东西方向的铁路，在铁路的北边有一村庄A（村庄与铁路被一座小山隔开），为改善A村的交通状况，决定从A村修建一条公路与铁路相连，请你设计一种方案，测量这条公路的最短长度.解：（1）测量工具：测角器、尺子.（2）测量步骤：在铁路上选定B、C两点（要求能测出村庄A的方位角）；分别测出A的方位角；测量B、C两点之间的距离.（3）测得数据：BCm米，ABC，ACD.（4）求解过程：过A点作ADBC于D点，设ADx米. 模型三、测量底部能够到达的建筑物的高度例4 请设计一个测量方案，能在太阳光下测量学校旗杆的高度（测量工具不限）.解：方案一：利用平面镜、尺子测量旗杆高度.（1）测量步骤：如图4所示，在直线BE上的C点放置一面平面镜（或一盆水），操作人员在射线CE上移动，直到能在平面镜中看到旗杆的顶部.（2）需测数据：BC、CE的长度及操作人员的身高DE.（3）测得数据：BCm，CEn，DEk.（4）求解过程：根据平面镜反射原理有ACBDCE.图 4又ABCDEC90，所以ABCDEC，则有AB:DE=BC:EC，即AB:k=m:n，解得AB=mk/n.（注：此方案在没有太阳光的情况下同样有效）方案二：利用尺子测量旗杆高度.（1）测量步骤：如图5所示，在太阳光下同一时刻分别测出旗杆BC、操作人员的影长EF及操作人员的身高DF.（2）测得数据：BCm，EFn，操作人员身高DFk.（3）求解过程：因为太阳光线可近似看成是一束平行光线，因此ACBDEF.而ABCDFE90，所ABCDFE，则有AB:DF=BC:EF，即AB:k=m:n，得AB=mkn.方案三：利用小测杆、尺子测量旗杆高度.（1）测量步骤：如图6所示，操作人员手持小测杆DF站在B点，操作人员眼睛所在位置E点、小测杆的顶端D与旗杆的顶端C恰好在同一条直线上；操作人员眼睛所在位置E点、小测杆的底部F与旗杆的底部A恰好在同一条直线上（要求：小测杆DF与手臂EG垂直，手臂EG与躯干EB垂直）.（2）需测数据：操作人员与旗杆之间的距离AB、小测杆的长度DF、操作人员的手臂的长度EG.（3）测得数据：ABm，DFn，EGk.（4）求解过程：因BEDFAC，故AECFED.根据相似三角形对应边上的高线之比等于相似比得AC:DF=AB:EG，即AC:n=m：k解得AC=mn/k方案四：利用测角器、尺子测量旗杆高度.（1）测量步骤：如图7所示，在地面上的B点用测角仪分别测出点C的仰角、点A的俯角，并测出A、B两点之间的距离.（2）测得数据：ABm，CDE，ADE.（3）求解过程：在RtCDE中，CE=DEtan=mtan；同理AE=DEtanmtan.故AC=m（tan+tan）.说明：利用测角仪、尺子测量旗杆高度还可采用图8所示的测量方案，在B点用测角仪测出点C的仰角（设为），用尺子测出测角仪的高度（设为m），A、B之间的距离（设为n），则旗杆高度AC=m+ntan.模型四、测量底部不能到达的建筑物的高度例5 试设计一个方案，测出如图9所示的古塔的高度.解：方案一：（1）测量工具：测角器、尺子.（2）测量步骤：如图9所示，在地面上选C、D两点，使C、D两点与塔底在同一直线上；在C、D两点分别用测角仪测出A点的仰角；用尺子测出C、D点之间的距离及测角仪的高度ED.（3）测得数据：CDm，CFn，AFH，AEH.（4）求解过程：设AHx. 在RtAFH中，HF=AH/tan=x/tan.同理HE=AHtan=xtan.根据EFEHFH，列方程xtanxtan=m，解得AHmtantantantan.故塔高AB=n+mtantantantan.方案二：（1）测量工具：测杆，尺子.（2）测量步骤：如图10所示，在地面上选定C、D两点，使C、D两点与塔底在同一直线上，并经过C、D两点作射线CM；将测杆竖直地置于C地，操作员在射线CM上运动至H点，使塔顶A、测杆顶部F、眼睛的位置P点在同一直线上；在射线CM上向后移动测杆至D点，操作员移动至K点，使塔顶A、测杆顶部E、眼睛的位置N点在同一直线上；分别测量测杆高度，操作员的身高，线段CH、DK、CK的长度.（3）测得数据：DEm，NKn，CHp，DKk，CKq.（4）求解过程：根据上述操作易知PFOPAG，NEQNAG，则有FO:AG=PO