孝感市汉川市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1页（共 16页） 2015年湖北省孝感市汉川市高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 1下列关系正确的是（ ） A 0N B 1R C Q D 3Z 2若函数 y=f（ x）的定义域为 M=x| 2x2，值域为 N=y|0y2，则函数 y=f（ x）的图象可能是（ ） A B C D 3若 0 且 0，则 是（ ） A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 4在四边形 ，若 ，则四边形 （ ） A矩形 B菱形 C正方形 D平行四边形 5设 a ，则使函数 y=，且为奇函数的所有 ） A 1， 3 B 1， 1 C 1， 3 D 1， 1， 3 6若 f（ x） =2（ mR） 在 2， +）单调递增，则 m 的取值范围为（ ） A m=2 B m 2 C m2 D m2 7同时满足两个条件： 定义域内是减函数 定义域内是奇函数的函数是（ ） A f（ x） = x|x| B f（ x） = f（ x） = f（ x） = 8函数 的定义域是（ ） A 0， 2） B （ 1， 2） C（ 1， 2） D 0， 1） 9设函数 f（ x） = ，则满足 f（ x） 3 的 x 的取值范围是（ ） A 0， +） B 1， 3 C 0， 3 D 1， +） 第 2页（共 16页） 10若向量 ， ，且，若 ，则 的值为（ ） A 或 B C D 或 11已知函数 f（ x） =x+）（其中 0| ）图象相邻对称轴的距离为 ，一个对称中心为（ ， 0），为了得 到 g（ x） =图象，则只要将 f（ x）的图象（ ） A向右平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向左平移 个单位 12偶函数 f（ x）满足 f（ x 1） =f（ x+1），且在 x0， 1时， f（ x） =g（ x） =ln|x|，则函数 f（ x）与 g（ x）图象交点的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 13已知 的终边过点 P（ 12， 5），则 14 f（ x） = ，则 ff（ 2） = 15在 ， M 是 中点， ，点 P 在 且满足 ，则= 16已知函数 ，若方程 f（ x） a=0 有三个不同的实数根，则 a 的取值范围为 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17计算下列式子的值： 第 3页（共 16页） （ 1） ； （ 2） 18已知集合 A=x|2x8， B=x|1 x 6， C=x|x a， U=R （ 1）求 A B； （ 2）求（ B； （ 3）如果 AC， 求 a 的取值范围 19已知平面上三点 A， B， C， =（ 2 k， 3）， =（ 2， 4） （ 1）若三点 A， B， C 不能构成三角形，求实数 k 应满足的条件； （ 2）若 角 A 为直角，求 k 的值 20一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元，此外每生产 1 件该产品还需要增加投资 1 万元，年产量为 x（ xN*）件当 x20 时，年销售总收入为（ 33x 元；当 x 20 时，年销售总收入为 260 万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元 （ 1）求 y（万元）与 x（件）的函数关系式，并写出自 变量 x 的取值范围 （ 2）该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？（年利润 =年销售总收入年总投资） 21已知函数 f（ x） =2 xR） （ ）当 x0， 时，求函数 f（ x）的单调递增区间； （ ）若方程 f（ x） t=1 在 x0， 内恒有两个不相等的实数解，求实数 t 的取值范围 22已知 f（ x）是定义在 1， 1上的奇函数，且 f（ 1） =1，若 m， n 1， 1， m+n0 时，有 （ 1）求证： f（ x）在 1， 1上为增函数； （ 2）求不等式 的解集； （ 3）若 对所有恒成立，求实数 t 的取值范围 第 4页（共 16页） 2015年湖北省孝感市汉川市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 1下列关系正确的是（ ） A 0N B 1R C Q D 3Z 【考点】 元素与集合关系的判断 【专题】 集合 【分析】 根据各字母表示的集合，判断元素与集合的关系 【解答】 解： N 为自然数， 0 是自然数，故 A 正确； 1 是元素， R 是集合，元素和集合的关系不是 “”，故 B 错； 是无 理数，而 Q 是有理数，故 C 不正确； Z 表示整数集合， 3 是整数，故 D 不正确； 故选 A 【点评】 本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题 2若函数 y=f（ x）的定义域为 M=x| 2x2，值域为 N=y|0y2，则函数 y=f（ x）的图象可能是（ ） A B C D 【考点】 函数的概念及其构成要素 【专题】 数形结合 【分析】 此题考查的是函数的定义和函数的图象问题在解答时可以就选项逐一排查对 可获得解答；对 B 满足函数定义，故可知 结果；对 C 出现了一对多的情况，从而可以否定；对 D 值域当中有的元素没有原象，故可否定 【解答】 解：对 A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除； 对 B 满足函数定义，故符合； 对 C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定； 对 D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定 故选 B 【点评】 此题考查的是函数的定义和函数的图象问题在解答的过程当中充分体现了函数概念的理解、一对一、多对一、定义域当中的元素必须有象等知识，同时用排除的方法解答选择题亦值得体会 3若 0 且 0，则 是（ ） A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 第 5页（共 16页） 【考点】 三角函数值的符号 【分析】 由正弦和正切的符号确定角的象限，当正弦值小于零时，角在第三四象限，当正切值大于零，角在第一三象限，要同时满足这两个条件，角的位置是第三象限，实际上我们解的是不等式组 【解答】 解： 0， 在三、四象限； 0， 在一、三象限 故选： C 【点评】 记住角在各象限的三角函数符号是解题的关键，可用口诀帮助记忆：一全部，二正弦，三切值，四余弦，它们在上 面所述的象限为正 4在四边形 ，若 ，则四边形 （ ） A矩形 B菱形 C正方形 D平行四边形 【考点】 向量的加法及其几何意义 【专题】 作图题 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则，即可得解 【解答】 解： 在四边形 ，若 ，且 共起点 由向量加法加法的平行四边形法则知，线段 以 邻边的平行四边形的对角线 四边形 平行四边形 故选 D 【点评】 本题考查向量的加法共起点的两个向量相加时满足平行四边形法则；首尾相接的两个向量相加时满足三角形法 则；多个向量相加时满足多边形法则属简单题 5设 a ，则使函数 y=，且为奇函数的所有 ） A 1， 3 B 1， 1 C 1， 3 D 1， 1， 3 【考点】 指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断 【专题】 计算题 【分析】 分别验证 a= 1， 1， ， 3 知当 a=1 或 a=3 时，函数 y= 且为奇函数 【解答】 解：当 a= 1 时， y=x 1 的定义域是 x|x0，且为奇函数； 当 a=1 时，函数 y=x 的定义域是 R 且为奇函数； 当 a= 时，函数 y= 的定 义域是 x|x0 且为非奇非偶函数 当 a=3 时，函数 y=x 的定义域是 R 且为奇函数 故选 A 【点评】 本题考查幂函数的性质和应用，解题时要熟练掌握幂函数的概念和性质 6若 f（ x） =2（ mR） 在 2， +）单调递增，则 m 的取值范围为（ ） A m=2 B m 2 C m2 D m2 【考点】 二次函数的性质 第 6页（共 16页） 【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 可求出 f（ x）的对称轴为 x=m，从而得出二次函数 f（ x）的单调递增区间为 m， +），从而根据 f（ x）在 2， +）上单调递增便可得出 m 的取值范围 【解答】 解：二次函数 f（ x）的对称轴为 x=m； f（ x）的单调增区间为 m， +）； 又 f（ x）在 2， +）上单调递增； m2 故选： C 【点评】 考查二次函数的对称轴的计算公式，以及二次函数的单调区间的求法，可借助数轴 7同时满足两个条件： 定义域内是减函数 定义域内是奇函数的函数是（ ） A f（ x） = x|x| B f（ x） = f（ x） = f（ x） = 【考点】 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 【专题】 综合题 【分析】 解决此类问题通常利用比较熟悉的函数排除或选出答案，若还没有选出答案则根据函数奇偶性的基本概念进一步刷选答案，即在定义域内对于任意的 x 都有 f（ x） = f（ x），则 f（ x）是奇函数，在定义域内对于任意的 x 都有 f（ x） =f（ x），则 f（ x）是偶函数 【解答】 解： A、 f（ x） = ，由函数性质可知符合题中条件，故 A 正确； B、对于比较熟悉的函数 f（ x） = B 不正确 C、 f（ x） =定义域内不具有单调性，故 C 不正确； D、定义域关于原点不对称，故 D 不正确 故选 A 【点评】 本题考查函数奇偶性的应用问题、函数单调性的判断与证明，考查数形结合思想和等价转化思想关键要把握准函数图象的增减趋势 8函数 的定义域是（ ） A 0， 2） B （ 1， 2） C（ 1， 2） D 0， 1） 【考点】 函数的定义域及其求法 【专题】 计算题 【分析】 给出的函数解析式含有分式，分子含有根式，需要根式内部的代数式大于等于 0，分母含有对数式，需要对数式的真数大于 0 且不等于 1，最后取交集 【解答】 解：要使原函数有意义，则 ，解得： 0x 2，且 x1 所以原函数的定义域为 0， 1） （ 1， 2） 故选 B 【点评】 本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型 第 7页（共 16页） 9设函数 f（ x） = ，则满足 f（ x） 3 的 x 的取值范围是（ ） A 0， +） B 1， 3 C 0， 3 D 1， +） 【考点】 分段函数的应用 【专题】 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用 【分析】 由分段函数可得 或 ，分别应用指数函数、对数函数的单调性，即可解出不等式，注意最后求并集 【解答】 解： 函数 f（ x） = ， 或 ， 或 0x1 或 x 1， 则 x 的取值范围是 0， +） 故选 A 【点评】 本题考查分段函数及应用，考查指数不等式、对数不等式的解法，考查运算能力，属于中档题 10若向量 ， ，且，若 ，则 的值为（ ） A 或 B C D 或 【考点】 平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用 【专题】 计算题；整体思想；转化法；平面向量及应用 【分析】 由 与 表示出 ，由 （ ），得到 （ ） =0，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，由同角三角函数间的基本关系及两角和与差的 余弦函数公式化简，求出 的度数即可 【解答】 解： =（ =（ 22 =（ 22 （ ）， （ ） =0，即 2+ 2=0， 第 8页（共 16页） 整理得： 2 2 2，即 ， ） = ， ， 0 ， 则 = 故选： B 【点评】 此题考查了平面向量数量积的运算，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键 11已知函数 f（ x） =x+）（其中 0| ）图象相邻对称轴的距离为 ，一个对称中心为（ ， 0），为了得到 g（ x） =图象，则只要将 f（ x）的图象（ ） A向右平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向左平移 个单位 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【专题】 三角函数的图像与性质 【分析】 由周期求得 ，根据图象的对称中心求得 的值，可得函数的解析式，再根据函数 y=x+）的图象变换规律得出结论 【解答】 解：由题意可得函数的最小正周期为 =2 ， =2 再根据 2+=| ， kz，可得 = ， f（ x） =2x+ ）， 故将 f（ x）的图象向左平移 个单位，可得 y=（ x+ ） + =2x+ ） = 故选： D 【点评】 本题主要考查由函数 y=x+）的部分图象求解析式，诱导公式的应用，函数 y=x+）的图象 变换规律，属于基础题 12偶函数 f（ x）满足 f（ x 1） =f（ x+1），且在 x0， 1时， f（ x） =g（ x） =ln|x|，则函数 f（ x）与 g（ x）图象交点的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 抽象函数及其应用 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 利用条件得 f（ x） =x 1， 1，又周期为 2，可以画出其在整个定义域上的图象，利用数形结合可得结论 第 9页（共 16页） 【解答】 解：由 f（ x 1） =f（ x+1）得 f（ x+2） =f（ x+1+1） =f（ x+1 1） =f（ x），可知函数周 期为 2，且函数为偶函数，图象关于 y 轴对称， 又 当 x0， 1时， f（ x） = x 1， 0时， x0， 1， f（ x） =（ x） 2= x 1， 1时， f（ x） =在同一直角坐标系中做出其函数图象和 g（ x） =ln|x|图象，由图可知有 2 个交点 故选： B 【点评】 本题考查了数形结合的数学思想，数形结合的应用大致分两类：一是以形解数，即借助数的精确性，深刻性来讲述形的某些属性；二是以形辅数，即借助与形的直观性，形象性来揭示数之间的某种关系，用形作为探究解题途径，获得问题结果的 重要工具 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 13已知 的终边过点 P（ 12， 5），则 【考点】 任意角的三角函数的定义 【专题】 计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 先求出 的终边上点 P（ 12， 5）到原点的距离为 r，再利用任意角的三角函数的定义求出结果 【解答】 解： 的终边过点 P（ 12， 5）， x= 12， y=5， r=13， 由任意角的三角函数的定义得 = 故答案为： 【点评】 本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距 离公式的应用 14 f（ x） = ，则 ff（ 2） = 0 【考点】 函数的值；分段函数的应用 【专题】 计算题；数学模型法；函数的性质及应用 【分析】 根据已知中分段函数的解析式，将 x=2 代入可得答案 【解答】 解： f（ x） = ， f（ 2） =2=， ff（ 2） =f（ 1） =， 故答案为： 0 【点评】 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题 15在 ， M 是 中点， ，点 P 在 且满足 ，则= 4 第 10页（共 16页） 【考点】 平面 向量数量积的运算 【专题】 计算题 【分析】 先根据 ，点 P 在 且满足 ，求 | |的值，再根据 M 是 中点，计算 ，最后计算 即可 【解答】 解： ，点 P 在 且满足 ， | |=2 M 是 中点， =2 = = = = 4 故答案为 4 【点评】 本题考查了向量的加法与向量的数量积的运算，属基础题，必须掌握 16已知函数 ，若方程 f（ x） a=0 有三个不同的实数根，则 a 的取值范围为 0 a 1 【考点】 分段函数的应用 【专题】 函数的性质及应用 【分 析】 根据分段函数 f（ x）的解析式，作出分段函数的图象，方程 f（ x） a=0 有三个不同的实数根，即为函数 y=f（ x）的图象与 y=a 的图象有三个不同的交点，结合函数的图象即可求得实数 a 的取值范围 【解答】 解： 函数 ， 作出函数 f（ x）的图象如右图所示， 方程 f（ x） a=0 有三个不同的实数根， 则函数 y=f（ x）的图象与 y=a 的图象有三个不同的交点， 根据图象可知， a 的取值范围为 0 a 1 故答案为： 0 a 1 【点评】 本题考查了分段函数的应用，考查了分段函数图象的作法解题的关键在于正确作出函 数图象，能将方程 f（ x） a=0 有三个不同的实数根的问题转化为函数图象有三个不同的交点的问题解题中综合运用了数形结合和转化化归的数学思想方法属于中档题 第 11页（共 16页） 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17计算下列式子的值： （ 1） ； （ 2） 【考点】 同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值 【专题】 转化思想；综合法；函数的性质及应用；三角函数的求值 【分析】 （ 1）由条件利用对数的运算性质，计算求得结果 （ 2）由条件利用诱导公式，计算求得结果 【解答】 解：（ 1）原式 = = = =1 （ 2）原式 = = 【点评】 本题主要考查对数的运算性质，诱导公式的应用，属于基础题 18已知集合 A=x|2x8， B=x|1 x 6， C=x|x a， U=R （ 1）求 A B； （ 2）求（ B； （ 3）如果 AC，求 a 的取值范围 【考点】 交、并、补集的混合运算 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）集合 A 的所有元素和集合 B 的所有元素合并到一起，构成集合 A B，由此利用 A=x|2x8， B=x|1 x 6，能求出 A B （ 2）由 A=x|2x8， U=R知 x|x 2，或 x 8，再由 B=x|1 x 6，能求出（ B （ 3）由 A=x|2x8， C=x|x a， AC，能求出 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1） A=x|2x8， B=x|1 x 6， A B=x|1 x8 （ 2） A=x|2x8， U=R x|x 2，或 x 8， B=x|1 x 6， （ B=x|1 x 2 （ 3） A=x|2x8， C=x|x a， AC， a 8 故 a 的取值范围（ ， 8） 【点评】 本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答 19已知平面上三点 A， B， C， =（ 2 k， 3）， =（ 2， 4） （ 1）若三点 A， B， C 不能构成三角形，求实数 k 应满足的条件； 第 12页（共 16页） （ 2）若 角 A 为直角，求 k 的值 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 计算题；向量法；综合法；平面向量及应用 【分析】 （ 1） A， B， C 不能构成三角形，从而可得到 A， B， C 三点共线，从而有 ，这样根据平行向量的坐标关 系即可得出关于 k 的方程，解方程即得实数 k 应满足的条件； （ 2）根据 可求出向量 的坐标，而根据 A 为直角便有 而可得到，这样即可建立关于 k 的方程，解方程便可得出 k 的值 【解答】 解：（ 1）由三点 A， B， C 不能构成三角形，得 A， B， C 在同一直线上； 即向量 与 平行； 4（ 2 k） 23=0； 解得 k= ； （ 2） =（ 2 k， 3）， =（ k 2， 3）； = + =（ k， 1）； 当 A 是直角时， ，即 =0； 2k+4=0； k= 2 【点评】 考查三点可构成三角形的充要条 件，平行向量的坐标关系，向量坐标的加法和数乘运算，向量垂直的充要条件，以及数量积的坐标运算 20一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元，此外每生产 1 件该产品还需要增加投资 1 万元，年产量为 x（ xN*）件当 x20 时，年销售总收入为（ 33x 元；当 x 20 时，年销售总收入为 260 万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元 （ 1）求 y（万元）与 x（件）的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围 （ 2）该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？（年利润 =年销售总收入年总投资） 【考点】 函数模型的选择与应用 【专题】 应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 （ 1）根据已知，分当 x20 时和当 x 20 时两种情况，分别求出年利润的表达式，综合可得答案； （ 2）根据（ 1）中函数的解析式，分类求出各段上的最大值点和最大值，综合可得答案 【解答】 解：（ 1）当 0 x20 时， y=（ 33x x 100= 2x 100； 当 x 20 时， y=260 100 x=160 x 故 y= （ xN*） （ 2）当 0 x20 时， y= 2x 100=（ x 16） 2+156， x=16 时， 56 第 13页（共 16页） 而当 x 20 时， 160 x 140，故 x=16 时取得最大年利润 【点评】 本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，分段函数的应用，难度中档 21已知函数 f（ x） =2 xR） （ ）当 x0， 时，求函数 f（ x）的单调递增区间； （ ）若方程 f（ x） t=1 在 x0， 内恒有两个不相等的实数解，求实数 t 的取值范围 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦定理 【专题】 函数的性质及应用