北京市朝阳区2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2015年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分 有一项是符合题目要求的 . 1下列各组中的两个集合 M 和 N，表示同一集合的是（ ） A M=， N=B M=2， 3， N=（ 2， 3） C M=x| 1 x1， xN， N=1 D ， 2若 a b，则下列命题成立的 是（ ） A C D 若函数 f（ x） =x3+2x 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： f（ 1） = 2 f（ =f（ = f（ = f（ =f（ = 么方程 x3+2x 2=0 的一个近似根（精确到 为（ ） A 某程序框图如图所示，若输出的 S=57，则判断框内为（ ） A k 4？ B k 5？ C k 6？ D k 7？ 5给定函数 ， ， y=|2x|， ，其中在区间（ 0， 1）上单调递减的函数序号是（ ） A B C D 第 2 页（共 19 页） 6已知 a= ， b=c= a， b， c 三者的大小关系是（ ） A b c a B b a c C a b c D c b a 7函数 的图象的大致形状是（ ） A B CD 8某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了 10 株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数 甲 ， 乙 和方差进行比较，下面结论正确的是（ ） A 甲 乙 ，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定 B 甲 乙 ，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定 C 甲 乙 ，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定 D 甲 乙 ，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定 9如图是王老师锻炼时所走的离家距离（ S）与行走时间（ t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ） A B C D 第 3 页（共 19 页） 10已知函数 f（ x） =a（ x a）（ x+a+3）， g（ x） =2x 2，若对任意 xR，总有 f（ x） 0或 g（ x） 0 成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 4） B 4， 0） C（ 4， 0） D（ 4， +） 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分 . 11已知函数 则 的值是 12从某小学随机抽取 100 名同学，将他们身高（单位：厘 米）数据绘制成频率分布直方图（如图）由图中数据可知 a= 若要从身高在 120， 130， 130， 140， 140，150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动，则从身高在 140， 150内的学生中选取的人数应为 13已知 0 x 函数 y=4x（ 3 2x）的最大值为 14如图，一不规则区域内，有一边长为 1 米的正方形，向区域内随机地撒 1000 颗黄豆，数得落在正方形区域内 （含边界）的黄豆数为 360 颗，以此实验数据 1000 为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米（用分数作答） 15若函数 的图象关于 y 轴对称，则 a= 16关于函数 有以下四个命题： 对于任意的 xR，都有 f（ f（ x） =1； 第 4 页（共 19 页） 函数 f（ x）是偶函数； 若 T 为一个非零有理数，则 f（ x+T） =f（ x）对任意 xR 恒成立； 在 f（ x）图象上存在三个点 A， B， C，使得 等边三角形 其中正确命题的序号是 三、解答题：本大题共 4小题，共 40分 . 17已知函数 的定义域为集合 A，函数 g（ x） = x+m）的定义域为集合 B （ ）当 m=3 时，求 A （ ）若 AB=x| 1 x 4，求实数 m 的值 18空气质量指数 位： g/示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，解代表空 气污染越严重： 均浓度 0 35 35 75 75 115 115 150 150 250 250 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某市 2012 年 3 月 8 日 4 月 7 日（ 30 天）对空气质量指数 行检测，获得数据后整理得到如图条形图： （ 1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率； （ 2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取 2 个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率 19已知定义域为 R 的单调减函数 f（ x）是奇函数，当 x 0 时， （ ）求 f（ 0）的值； （ ）求 f（ x）的解析式； （ ）若对任意的 tR，不等式 f（ 2t） +f（ 2k） 0 恒成立，求实数 k 的取值范围 20定义在（ 0， +）上的函数 f（ x），如果对任意 x（ 0， +），都有 f（ =x）（ k2，kN*）成立，则称 f（ x）为 k 阶伸缩函数 第 5 页（共 19 页） （ ）若函数 f（ x）为二阶伸缩函数，且当 x（ 1， 2时， ，求的值； （ ）若函数 f（ x）为三阶伸缩函数，且当 x（ 1， 3时， ，求证：函数 在（ 1， +）上无零点； （ ）若函数 f（ x）为 k 阶伸缩函数，且当 x（ 1， k时， f（ x）的取值范围是 0， 1），求f（ x）在（ 0， （ nN*）上的取值范围 第 6 页（共 19 页） 2015年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分 有一项是符合题目要求的 . 1下列各组中的两个集合 M 和 N，表示同一集合的是（ ） A M=， N=B M=2， 3， N=（ 2， 3） C M=x| 1 x1， xN， N=1 D ， 【考点】 集合的相等 【分析】 根据两个集合相等，元素相同，排除 A； 根据两个集合相等，元素相同，排除 B 先解集合 M，然后判断元素是否相同，排除 C 先化简集合 N，然后根据集合元素的无序性，选择 D 【解答】 解： A： M=， N=因为 元素不同，集合也不同，故排除 B： M=2， 3， N=（ 2， 3） ，因为 M 的元素为 2 和 3，而 N 的元素为一个点（ 2， 3），故元素不同，集合不同，故排除 C： M=x| 1 x1， xN， N=1，由 M=x| 1 x1， xN得， M=0， 1，故两个集合不 同，故排除 D： = ，根据集合元素的无序性可以判断 M=N，故选择 D 故答案为 D 【点评】 本题考查两个集合相等的条件，涉及到元素相同以及集合元素的三个性质：无序性，互异性，确定性，为基础题 2若 a b，则下列命题成立的是（ ） A C D 考点】 不等式的基本性质 【专题】 计算题 【分析】 通过给变量取特殊值，举反例可得 A、 B、 C 都不正确，对于 a b，由于 ，故有 D 成立 【解答】 解： a b，故当 c=0 时， ac=，故 A 不成立 当 b=0 时，显然 B、 C 不成立 对于 a b，由于 ，故有 D 成立 故选 D 【点评】 本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法， 属于基础题 3若函数 f（ x） =x3+2x 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： f（ 1） = 2 f（ = 7 页（共 19 页） f（ = f（ = f（ =f（ = 么方程 x3+2x 2=0 的一个近似根（精确到 （ ） A 考点】 二分法求方程的近似解 【专题】 应用题 【分析】 由二分法的定义进行判断，根据其原理零 点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确选项 【解答】 解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（ ，观察四个选项，与其最接近的是 C， 故应选 C 【点评】 本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解属于基本概念的运用题 4某程序框图如图所示，若输出的 S=57，则判断框内为（ ） A k 4？ B k 5？ C k 6？ D k 7？ 【考点】 程序框图 【专题】 算法和程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入 S 的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案 【解答】 解：程序在运行过程中各变量值变化如下表： K S 是否继续循环 循环前 1 1/ 第一圈 2 4 是 第二圈 3 11 是 第三圈 4 26 是 第四圈 5 57 否 故退出循环的条 件应为 k 4 故答案选 A 第 8 页（共 19 页） 【点评】 算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有： 分支的条件 循环的条件 变量的赋值 变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误 5给定函数 ， ， y=|2x|， ，其中 在区间（ 0， 1）上单调递减的函数序号是（ ） A B C D 【考点】 函数单调性的判断与证明 【专题】 函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 根据增函数、减函数的定义，对数函数的单调性，二次函数的单调性，以及指数函数的单调性即可判断每个函数在（ 0， 1）上的单调性，从而找出正确选项 【解答】 解： y= ， x 增大时， 增大，即 y 增大； 该函数在（ 0， 1）上单调递增； ， x 增大时， x+1 增大， 减小； 该函数在（ 0， 1）上单调递减； ； x（ 0， 1）时， y= x，对称轴为 x=1； 该函数在（ 0， 1）上单调递增； ， 指数函数 在（ 0， 1）上单调递减； 在区间（ 0， 1）上单调递减 的函数序号是 故选： B 【点评】 考查增函数、减函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，对数函数的单调性，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数的单调性，以及指数函数的单调性 6已知 a= ， b=c= a， b， c 三者的大小关系是（ ） A b c a B b a c C a b c D c b a 【考点】 不等关系与不等式 【专题】 不等式的解法及应用 【分析】 利用指数函数的单调性即可判断出 【解答 】 解： ， b c a 故选 A 【点评】 熟练掌握指数函数的单调性是解题的关键 第 9 页（共 19 页） 7函数 的图象的大致形状是（ ） A B CD 【考点】 函数的图象 【专 题】 数形结合 【分析】 先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于 y 轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案 【解答】 解： y= = 当 x 0 时，其图象是指数函数 y=y 轴右侧的部分，因为 a 1，所以是增函数的形状， 当 x 0 时，其图象是函数 y= y 轴左侧的部分，因为 a 1，所以是减函数的形状， 比较各选项中的图象知， C 符合题意 故选 C 【点评】 本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题 8某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了 10 株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数 甲 ， 乙 和方差进行比较，下面结论正确的是（ ） A 甲 乙 ，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定 B 甲 乙 ，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定 C 甲 乙 ，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定 D 甲 乙 ，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定 第 10 页（共 19 页） 【考点】 茎叶图 【专题】 对应思想；定义法；概率与统计 【分析】 根据茎叶图，计算甲、乙的平均数，再根据数据的分布情况与方差的概念，比较可得答案 【解答】 解：根据茎叶图有： 甲地树苗高度的平均数为 =28 乙地树苗高度的平均数为 =35 甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数； 甲地树苗高度分布在 19 41 之间，且成单峰分布，且比较集中在平均数左右， 乙地树苗高度分布在 10 47 之间，不是明显的单峰分布，相对分散些； 甲地树苗高度与乙地树苗高度比较，方差相对小些，更稳定些； 故选： B 【点评】 本题考查了利用茎叶图估计平均数与方差的应用问题，关键是正确读出茎叶图，并分析数据，是基础题 9如图是王老师锻炼时所走的离家距离（ S）与行走时间（ t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【专题】 转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 由题意可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项得出结论 【解答】 解：根据王老师锻炼时所走的离家距离（ S）与行走时间（ t）之间的函数关系图， 可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧， 结合所给的选项， 故选： C 【点评】 本题主要函数的解析式表示的意义，函数的图象特征，属于中档题 10已知函数 f（ x） =a（ x a）（ x+a+3）， g（ x） =2x 2，若对任意 xR，总有 f（ x） 0或 g（ x） 0 成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 4） B 4， 0） C（ 4， 0） D（ 4， +） 【考点】 函数的值 【专题】 函数的性质及应用 第 11 页（共 19 页） 【分析】 由题意可知 x 1 时， g（ x） 0 成立，进 而得到 a（ x+a）（ x 2a+1） 0 对 x1均成立，得到 a 满足的条件 ，求解不等式组可得答案 【解答】 解：由 g（ x） =2x 2 0，得 x 1，故对 x1 时， g（ x） 0 不成立， 从而对任意 x1， f（ x） 0 恒成立， 由于 a（ x a）（ x+a+3） 0 对任意 x1 恒成立，如图所示， 则必满足 ， 解得 4 a 0 则实数 a 的取值范围是（ 4， 0） 故选： C 【点评】 本题考查了函数的值，考查了不等式的解法，体现了恒成立思想的应用，属于中档题 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分 . 11已知函数 则 的值是 2 【考点】 函数的值 【专题】 函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 将 x= 代入函数的表达式，求出函数值即可 【解答】 解： f（ ） = = 2， 故答案为： 2 【点评】 本题考查了求函数值问题，考查分段函数以及对数函数的性质，是一道基础题 12从某小学随机抽取 100 名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）由图中数据可知 a= 若要从身高在 120， 130， 130， 140， 140， 150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动，则从身高在 140， 150内的学生中选取的 人数应为 3 第 12 页（共 19 页） 【考点】 频率分布直方图 【专题】 概率与统计 【分析】 欲求 a，可根据直方图中各个矩形的面积之和为 1，列得一元一次方程，解出 a，欲求选取的人数，可先由直方图找出三个区域内的学生总数，及其中身高在 140， 150内的学生人数，再根据分层抽样的特点，代入其公式求解 【解答】 解： 直方图中各个矩形的面积之和为 1， 10（ a+=1， 解得 a= 由直方图可知三个区域内的学生总数为 10010（ =60 人 其中身高在 140， 150内的学生人数为 10 人， 所以身高在 140， 150范围内抽取的学生人数为 10=3 人 故答案为： 3 【点评】 本题考查频率分布直方图的相关知识直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为 1同时也考查了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的，都等于 13已知 0 x 函数 y=4x（ 3 2x）的最大值为 【考点】 二次函数的性质 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 将二次函数进行配方，根据二次函数的图象和性质进行求值即可 【解答】 解： y=4x（ 3 2x） = 82x= 8（ x ） 2+ ， 当 x= 时，函数取得最大值 ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方得到函数的对称轴是解决二次函数的关键 14如图，一不规则区域内，有一边长为 1 米的正方形，向区域内随机地撒 1000 颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为 360 颗，以此实验数据 1000 为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米（用分数作答） 第 13 页（共 19 页） 【考点】 模拟方法估计概率 【专题】 计算题；方程思想；综合法；概率与统计 【分析】 根据几何概型的意义进行模拟试验计算不规则图形的面积，利用面积比可得结论 【解答】 解： 向区域内随机地撒 1000 颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为 360 颗， 记 “黄豆落在正方形区域内 ”为事件 A， P（ A） = = ， S 不规则图形 = 平方米， 故答案为： 【点评】 几何概型的概率估算公式中的 “几何度量 ”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个 “几何度量 ”只与 “大小 ”有关，而与形状和位置无关 15若函数 的图象关于 y 轴对称，则 a= 【考点】 函数的图象 【专题】 转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 由题意可得函数 f（ x）为偶函数，函数 f（ x）的定义域关于原点对称，从而求得 【解答】 解：由于函数 的图象关于 y 轴对称，故该函数为偶函数， 故函数 f（ x）的定义域关于原点对称，故 a= ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查偶函数的图象特征，偶函数的定义域关于原点对称，属于基础题 16关于函数 有以下四个命题： 对于任意的 xR，都有 f（ f（ x） =1； 函数 f（ x）是偶函数； 若 T 为一个非零有理数，则 f（ x+T） =f（ x）对任意 xR 恒成立； 第 14 页（共 19 页） 在 f（ x）图象上存在三个点 A， B， C，使得 等边三角形 其中正确命题的序号是 【考点】 命题的真假判断与应用；分段函数的应用 【专题】 函数思想；函数的性质及应用；简易逻辑 【分析】 根据函数的对应法则，可得不管 x 是有理数还是无理数，均有 f（ f（ x） =1； 根据函数奇偶性的定义，可得 f（ x）是偶函数； 根据函数的表达式，结合有理数和无理数 的性质； 取 ， ， ，可得 A（ ， 0）， B（ 0， 1）， C（ ， 0），三点恰好构成等边三角形 【解答】 解：对于 ，若 x 是有理数，则 f（ x） =1，则 f（ 1） =1，若 x 是无理数，则 f（ x）=0，则 f（ 0） =1， 即对于任意的 xR，都有 f（ f（ x） =1；故 正确， 对于 ， 有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， 对任意 xR，都有 f（ x） = f（ x），则函数 f（ x）是偶函数，故 正确； 对于 ，若 x 是有理数，则 x+T 也是有理数； 若 x 是无理数，则 x+T 也是无理数， 根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数 T， f（ x+T） =f（ x）对 xR 恒成立，故 正确； 对于 ，取 ， ， ，可得 f（ =0， f（ =1， f（ =0， A（ ， 0）， B（ 0， 1）， C（ ， 0），恰好 等边三角形，故 正确 故答案为： 【点评】 本题主要考查命题的真假判断，给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题 三、解答题：本大题共 4小题，共 40分 . 17已知函数 的定义域为集合 A，函数 g（ x） = x+m）的定义域为集合 B （ ）当 m=3 时，求 A （ ）若 AB=x| 1 x 4，求实数 m 的值 【考点】 对数函数的定义域；交集及其运算；交、并、补集的混合运算 【专题】 计算题；集合思想；定义法；集合 【分析】 （ ）先化简集合 A， B，再根据补集和交集的定义即可求出； （ ）根据交集的定义即可求出 m 的范围 【解答】 解：（ ）由 的定义域得 A=x| 1 x5 当 m=3 时， B=x| 1 x 3， 则 x|x 1 或 x3 所以 Ax|3x5 （ ）因为 A=x| 1 x5， AB=x| 1 x 4， 第 15 页（共 19 页） 所以有 42+24+m=0 解得 m=8 此时 B=x| 2 x 4，符合题意 所以 m=8 【点评】 本题考查了函数的定义域的求法和集合的基本运算，属于基础题 18空气质量指数 位： g/示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，解代表空气污染越严重： 均浓度 0 35 35 75 75 115 115 150 150 250 250 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某市 2012 年 3 月 8 日 4 月 7 日（ 30 天）对空气质量指数 行检测，获得数据后整理得到如图条形图： （ 1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率； （ 2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取 2 个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分布的意义和作用 【专题】 图表型；概率与统计 【分析】 （ 1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为 16 天，从而可求此次监测结果中空气质量类别为良的概率； （ 2）样本中空气质量级别为三级的有 4 天，设其编号为 a， b， c， d样本中空气质量级别为四级的有 2 天，设其编号为 e， f列举出基本事件及符合条件的事件，根据概率公式求出相应的概率即可 【解答】 解：（ 1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为 16 天， 所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为 （ 2）样本中 空气质量级别为三级的有 4 天，设其编号为 a， b， c， d 样本中空气质量级别为四级的有 2 天，设其编号为 e， f则基本事件有： （ a， b），（ a， c），（ a， d），（ a， e），（ a， f），（ b， c）， （ b， d），（ b， e），（ b， f），（ c， d），（ c， e），（ c， f）， （ d， e），（ d， f），（ e， f），共 15 个 其中至少有一天空气质量类别为中度污染的有 9 个， 至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为 第 16 页（共 19 页） 【点评】 本题考查条形图，考查学生的阅读能力 ，考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属于基础题 19已知定义域为 R 的单调减函数 f（ x）是奇函数，当 x 0 时， （ ）求 f（ 0）的值； （ ）求 f（ x）的解析式； （ ）若对任意的 tR，不等式 f（ 2t） +f（ 2k） 0 恒成立，求实数 k 的取值范围 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 （ ）利用定义域为 R 的函数 f（ x）是奇函数，求 f（ 0）的值； （ ）求出 x 0 的解析 式，即可求 f（ x）的解析式； （ ）若对任意的 tR，不等式 f（ 2t） +f（ 2k） 0 恒成立， f（ x）在 R 上是减函数，所以 2t k 2 32t k 0 对任意 tR 恒成立，即可求实数 k 的取值范围 【解答】 解：（ ）因为定义域为 R 的函数 f（ x）是奇函数， 所以 f（ 0） =0 （ ）因为当 x 0 时， x 0， 所以 又因为函数 f（ x）是奇函数，所以 f（ x） = f（ x） 所以 综上， （ ）由 f（ 2t） +f（ 2k） 0 得 f（ 2t） f（ 2k） 因为 f（ x）是奇函数，所以 f（ 2t） f（ k 2又 f（ x）在 R 上是减函数，所以 2t k